Condensatore sferico intorno a una sfera
Una sfera conduttrice a potenziale costante (grazie al collegamento con un generatore) è circondata concentricamente da un guscio conduttore inizialmente scarico, riempito con un dielettrico. Lo spazio fra la sfera e il guscio è riempito con un altro (diverso) dielettrico.
Calcolare il lavoro meccanico compiuto dalle forze esterne necessario per estrarre il dielettrico del guscio.
Calcolare anche il lavoro compiuto dal generatore durante il processo.
Io ho calcolato la variazione di energia fra la situazione finale e quella iniziale, usando la formula della densità di energia del campo elettrostatico e integrando. L'energia finale è maggiore di quella iniziale, quindi $ Delta Erg>0 $.
Ho dei dubbi.
1)La variazione di energia $ Delta Erg $ coincide con il lavoro delle forze esterne?
Effettivamente tale lavoro dovrebbe avere segno positivo (essendo necessaria una spesa per estarre il dielettrico che è spontaneamente risucchiato all'interno del guscio).
2)Il lavoro del generatore è banalmente $ 2*Delta Erg $ ?
Grazie in anticipo
Calcolare il lavoro meccanico compiuto dalle forze esterne necessario per estrarre il dielettrico del guscio.
Calcolare anche il lavoro compiuto dal generatore durante il processo.
Io ho calcolato la variazione di energia fra la situazione finale e quella iniziale, usando la formula della densità di energia del campo elettrostatico e integrando. L'energia finale è maggiore di quella iniziale, quindi $ Delta Erg>0 $.
Ho dei dubbi.
1)La variazione di energia $ Delta Erg $ coincide con il lavoro delle forze esterne?
Effettivamente tale lavoro dovrebbe avere segno positivo (essendo necessaria una spesa per estarre il dielettrico che è spontaneamente risucchiato all'interno del guscio).
2)Il lavoro del generatore è banalmente $ 2*Delta Erg $ ?
Grazie in anticipo
Risposte
Up
"SalvatCpo":
Una sfera conduttrice ...... è circondata concentricamente da un guscio conduttore inizialmente scarico, riempito con un dielettrico..
Non si capisce.
UN guscio conduttore (e come si fa a riempirlo?) o
DUE gusci conduttori privi di spessore con un dielettrico in mezzo?
Con guscio intendevo due superfici sferiche che avranno raggi Ra e Rb mentre possiamo chiamare Ro quello della sfera.
Forse ho usato il termine sbagliato (scrivo questo problema senza avere il testo ma solo una figura con dei dati).
Fra Ro e Ra c'è un dielettrico mentre fra Ra e Rb ce n'è un altro (diverso).
Non mi interessano i calcoli, che ho saputo svolgere, ma solo le due domande che ho fatto
Forse ho usato il termine sbagliato (scrivo questo problema senza avere il testo ma solo una figura con dei dati).
Fra Ro e Ra c'è un dielettrico mentre fra Ra e Rb ce n'è un altro (diverso).
Non mi interessano i calcoli, che ho saputo svolgere, ma solo le due domande che ho fatto
1) Direi di no. Estraendo il dielettrico si deve fornire lavoro, e insieme la capacità della sfera interna diminuisce, per cui la carica diminuisce e deve rifluire all'indietro verso il generatore,
2) Quindi il generatore fa un lavoro negativo , e 1) il lavoro necessario per estrarre il dielettrico deve tener conto sia della differente energia dei due stati, sia del lavoro del generatore.
2) Quindi il generatore fa un lavoro negativo , e 1) il lavoro necessario per estrarre il dielettrico deve tener conto sia della differente energia dei due stati, sia del lavoro del generatore.
A me sembra che la sfera abbia carica costante.
Poi l'induzione sulle due superfici esterne è tale che anche le cariche su di esse restino le stesse.
Sia all'inizio che alla fine abbiamo Q su Ro, -Q su Ra e Q su Rb. Dove Q = potenziale costante * Ro / (costante di Coulomb).
Poi l'induzione sulle due superfici esterne è tale che anche le cariche su di esse restino le stesse.
Sia all'inizio che alla fine abbiamo Q su Ro, -Q su Ra e Q su Rb. Dove Q = potenziale costante * Ro / (costante di Coulomb).
"SalvatCpo":
A me sembra che la sfera abbia carica costante.
Io direi di no.
Siamo 2 a 1.
Sarebbe comunque interessante vedere questa misteriosa "figura".
Dunque, ora rifletto...
1)Quindi il fatto che la sfera sia collegata ad un generatore mi impedisce di calcolare la carica semplicemente in funzione del potenziale e del raggio?
2) Per curiosità: se il generatore non fosse messo a terra, avendo comunque la stessa fem, cambierebbe qualcosa?
"SalvatCpo":
... il fatto che la sfera sia collegata ad un generatore mi impedisce di calcolare la carica semplicemente in funzione del potenziale e del raggio?
Sì, non puoi determinarla in quel modo; sostanzialmente puoi "vedere" il sistema come serie di tre condensatori in serie: il primo fra sfera e primo guscio, il secondo fra i due gusci e il terzo fra il secondo guscio e l'infinito [nota]Che, vista l'estensione della "terra", non può che condividere lo stesso potenziale.[/nota].
"SalvatCpo":
... se il generatore non fosse messo a terra, avendo comunque la stessa fem, cambierebbe qualcosa?
Certo che potrebbe cambiare, ma dipenderebbe da dove andresti a collegare il suo morsetto negativo.
$ Q/(Rb)+1/(K2)(Q/(Ra)-Q/(Rb))+1/(K1)(Q/(Ro)-Q/(Ra))=(fem)/(Kc) $
da cui trovo Q iniziale.
$ Q/(Rb)+(Q/(Ra)-Q/(Rb))+1/(K1)(Q/(Ro)-Q/(Ra))=(fem)/(Kc) $
da cui trovo Q finale.
Le Q sono positive perchè fem>0 come si deduce osservando che il morsetto negativo ha potenziale nullo.
$ W"gen"=Delta Q*fem<0 $ perchè la Q finale è minore di quella iniziale.
$ W"forze elettriche"=(W"gen")/2<0 $
Il lavoro meccanico delle forze esterne è $ =-W"forze elettriche " $ ?
da cui trovo Q iniziale.
$ Q/(Rb)+(Q/(Ra)-Q/(Rb))+1/(K1)(Q/(Ro)-Q/(Ra))=(fem)/(Kc) $
da cui trovo Q finale.
Le Q sono positive perchè fem>0 come si deduce osservando che il morsetto negativo ha potenziale nullo.
$ W"gen"=Delta Q*fem<0 $ perchè la Q finale è minore di quella iniziale.
$ W"forze elettriche"=(W"gen")/2<0 $
Il lavoro meccanico delle forze esterne è $ =-W"forze elettriche " $ ?
Up
Up. @Renzo DF?
Se mi dai la risposta finale chiudiamo l'argomento
Se mi dai la risposta finale chiudiamo l'argomento
Dovresti prima spiegarmi il perché delle due ultime righe. 
Il fatto che il lavoro da compiere sia l'opposto di quello della forza elettrica è intuitivo, una mia idea.
Il fatto che il generatore faccia lavoro doppio rispetto a quello della forza elettrica sta scritto sul libro.
Il fatto che il generatore faccia lavoro doppio rispetto a quello della forza elettrica sta scritto sul libro.
Eh no, scusa ma queste risposte non sono accettabili; se ci pensi un po' sono sicuro che sai dimostrare quelle relazioni.
Provo a riflettere.
Pensiamo ad un corpo che viene lasciato cadere da un piano inclinato con attrito.
Per far cadere il corpo con accelerazione naturale g, bisogna applicare un lavoro esterno W che è esattamente uguale ma opposto al lavoro della forza spontanea che è l'attrito.
L'attrito è in analogia con le forze elettriche, il lavoro per tenere il carrello ad accelerazione g è analogo a quello necessario per estrarre il dielettrico esterno.
Così spero di aver giustificato che $ Westerno=-W"forze elettriche" $ .
Il fatto che $ W"gen"=Delta Q*fem $ è banalmente giustificato dal fatto che l'energia spesa è proporzionale alla carica trasportata e al potenziale a cui tale processo avviene all'interno del generatore.
(La variazione di carica sulla sfera è uguale alla carica che il generatore è costretto a far muovere da un polo all'altro per tenere costante la sua fem, cioè $ Delta Q $) .
La variazione di energia del sistema è $ Delta U=1/2((Qf)^2/(Cf)-(Qi)^2/(Ci)) $ dove non è difficile determinare Ci e Cf considerando che i vari condensatori sono in serie.
Oltre non riesco ad andare
Non riesco a dimostrare che il lavoro del generatore è il doppio di quello delle forze elettriche.
Le cose sono complicate dal fatto che le ddp dei condensatori "complessivi" finale e iniziale sono diverse (perchè variano i campi).
Pensiamo ad un corpo che viene lasciato cadere da un piano inclinato con attrito.
Per far cadere il corpo con accelerazione naturale g, bisogna applicare un lavoro esterno W che è esattamente uguale ma opposto al lavoro della forza spontanea che è l'attrito.
L'attrito è in analogia con le forze elettriche, il lavoro per tenere il carrello ad accelerazione g è analogo a quello necessario per estrarre il dielettrico esterno.
Così spero di aver giustificato che $ Westerno=-W"forze elettriche" $ .
Il fatto che $ W"gen"=Delta Q*fem $ è banalmente giustificato dal fatto che l'energia spesa è proporzionale alla carica trasportata e al potenziale a cui tale processo avviene all'interno del generatore.
(La variazione di carica sulla sfera è uguale alla carica che il generatore è costretto a far muovere da un polo all'altro per tenere costante la sua fem, cioè $ Delta Q $) .
La variazione di energia del sistema è $ Delta U=1/2((Qf)^2/(Cf)-(Qi)^2/(Ci)) $ dove non è difficile determinare Ci e Cf considerando che i vari condensatori sono in serie.
Oltre non riesco ad andare
Non riesco a dimostrare che il lavoro del generatore è il doppio di quello delle forze elettriche.
Le cose sono complicate dal fatto che le ddp dei condensatori "complessivi" finale e iniziale sono diverse (perchè variano i campi).
Devi solo ricordare che l'energia accumulata in un condensatore si può anche scrivere come $1/2QV$.
Per l'energia relativa alle forze esterne, devi semplicemente scrivere la relazione del bilancio energetico fra il "sistema" (generatore + condensatore equivalente") e il "mondo esterno".
Per l'energia relativa alle forze esterne, devi semplicemente scrivere la relazione del bilancio energetico fra il "sistema" (generatore + condensatore equivalente") e il "mondo esterno".
Se l'espressione dell'energia del condensatore è $ QV/2 $ ALLORA è ovvio che $ Delta U_(cond)=Delta Q*V/2 $
e dunque $ W_(g e n)=Delta Q*V=2Delta U_(cond) $ dove sia $W_(g e n)$ che $Delta U_(cond)$ sono negativi perchè $ Delta Q<0 $ in quanto la sfera ha perso carica (positiva, perchè fem>0 e il morsetto negativo è a terra).
Questa carica positiva è passata dal morsetto positivo del generatore a quello negativo (potenziale nullo): tale passaggio è spontaneo e quindi il generatore non ha speso ma guadagnato lavoro (ecco giustificato il segno negativo).
Ovviamente l'equazione del bilancio energetico è questa:
$ Delta U_(cond)=W_(ext)+W_(g e n) $ da cui risulta $ W_(ext)=-Delta U_(cond)=-Delta Q*(fem)/2>0 $ come previsto (perchè il dielettrico è spontaneamente tirato dentro il sistema, quindi è necessario spendere per toglierlo, ecco perchè Wext>0).
Sperando di non aver detto fesserie, ora ho
due dubbi:
1) quanto è il lavoro delle forze elettriche?
2) quello che hai detto tu, ovvero che $ U_(cond)=QV/2 $ , vale per la sfera in solitaria ma il nostro sistema comprende anche due gusci (col dielettrico, fra l'altro): la generalizzazione è valida? Perchè?
E' facile calcolare le capacità iniziale e finale del condensatore complessivo (come hai detto tu, è come se avessimo dei condensatori in serie), dove il cambiamento fra l'inizio e la fine consiste nell'assenza del secondo dielettrico.
A tal punto ovviamente posso scrivere $ Delta U_(cond)=(Q_f)^2/(2C_f)-(Q_i)^2/(2C_i $.
Il $ Delta U_(cond) $ calcolato ora coincide con $ Delta U_(cond)=Delta Q*(fem)/2 $ ??
e dunque $ W_(g e n)=Delta Q*V=2Delta U_(cond) $ dove sia $W_(g e n)$ che $Delta U_(cond)$ sono negativi perchè $ Delta Q<0 $ in quanto la sfera ha perso carica (positiva, perchè fem>0 e il morsetto negativo è a terra).
Questa carica positiva è passata dal morsetto positivo del generatore a quello negativo (potenziale nullo): tale passaggio è spontaneo e quindi il generatore non ha speso ma guadagnato lavoro (ecco giustificato il segno negativo).
Ovviamente l'equazione del bilancio energetico è questa:
$ Delta U_(cond)=W_(ext)+W_(g e n) $ da cui risulta $ W_(ext)=-Delta U_(cond)=-Delta Q*(fem)/2>0 $ come previsto (perchè il dielettrico è spontaneamente tirato dentro il sistema, quindi è necessario spendere per toglierlo, ecco perchè Wext>0).
Sperando di non aver detto fesserie, ora ho
due dubbi:
1) quanto è il lavoro delle forze elettriche?
2) quello che hai detto tu, ovvero che $ U_(cond)=QV/2 $ , vale per la sfera in solitaria ma il nostro sistema comprende anche due gusci (col dielettrico, fra l'altro): la generalizzazione è valida? Perchè?
E' facile calcolare le capacità iniziale e finale del condensatore complessivo (come hai detto tu, è come se avessimo dei condensatori in serie), dove il cambiamento fra l'inizio e la fine consiste nell'assenza del secondo dielettrico.
A tal punto ovviamente posso scrivere $ Delta U_(cond)=(Q_f)^2/(2C_f)-(Q_i)^2/(2C_i $.
Il $ Delta U_(cond) $ calcolato ora coincide con $ Delta U_(cond)=Delta Q*(fem)/2 $ ??
"SalvatCpo":
... Sperando di non aver detto fesserie, ...
Non ne hai dette.
"SalvatCpo":
... quanto è il lavoro delle forze elettriche? ...
Limitandosi, per ovvie ragioni di "convenienza", a considerare le sole forze elettriche relative al condensatore, visto che nella fase di estrazione il dielettrico deve essere estratto lentamente (attraverso una successione di infinite condizioni di equilibrio), ... tu cosa diresti?
"SalvatCpo":
... quello che hai detto tu, ovvero che $ U_(cond)=QV/2 $ , vale per la sfera in solitaria ma il nostro sistema comprende anche due gusci (col dielettrico, fra l'altro): la generalizzazione è valida? Perchè?
Perché il condensatore equivalente presenterà la stessa variazione di carica di quella relativa ad una delle sue capacità componenti.
"SalvatCpo":
... A tal punto ovviamente posso scrivere $ Delta U_(cond)=(Q_f)^2/(2C_f)-(Q_i)^2/(2C_i $.
Il $ Delta U_(cond) $ calcolato ora coincide con $ Delta U_(cond)=Delta Q*(fem)/2 $ ??
Scusa, ma $Q_f/C_f$ così come anche $Q_i/C_i$ a che cosa sono uguali?
Mi suggerisci che c'è costantemente equilibrio durante l'estrazione.
Dunque la forza esterna di estrazione è costantemente compensata da qualche altra forza, che sarà quella elettrica.
Quindi il lavoro delle forze elettriche è uguale e opposto a quello delle forze esterne.
Cioè $ W_"ele"=Delta U_(cond) $
Poi:
$ Q_f/C_f=V=Q_i/C_i " e quindi "Delta U_(cond)=Delta Q*V/2 " e tutto torna" $
Dunque la forza esterna di estrazione è costantemente compensata da qualche altra forza, che sarà quella elettrica.
Quindi il lavoro delle forze elettriche è uguale e opposto a quello delle forze esterne.
Cioè $ W_"ele"=Delta U_(cond) $
Poi:
$ Q_f/C_f=V=Q_i/C_i " e quindi "Delta U_(cond)=Delta Q*V/2 " e tutto torna" $
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