Condensatore sferico

[Desirio]

Supponiamo ci sia la carica +Q sull’ armatura interna e -Q sulla esterna, a causa dell’ applicazione del potenziale V costante.
Sappiamo che la capacità è in generale pari a C = Q / V.

Con il teorema di Gauss calcolo il flusso di E attraverso una superficie sferica di raggio a < r < b;
Il campo E è radiale rispetto al centro del cilindro, e simmetrico; Quindi dipende da r. Inoltre è parallelo al cammino che scelgo radiale per andare da a a b.
Quindi Gauss diviene

E 4Pir^2 = Q /e0

Da cui

E = Q / 4Pie0 r^2

Il campo all’ esterno della sfera è nullo perchè Q interna alla sfera di raggio r > b è nettamente nulla, e il campo E al’ interno della sfera di raggio a, cioè per r < a, è nullo perchè la carica +Q sull’ armature interna è tutta sulla superficie (per definizione di condensatore).

Calcoliamo la ddp fra le due armature (con * indico lo scalare)

V = - Int (E * dr) = - Q/4Pie0 (- 1/R2 + 1 / R1 ) = Q / 4Pie0 (R2-R1)/(R1 R2)

Quindi la capacità del condensatore sferico in questione è data da

C = 4Pi e0 (R1 R2) / (R2-R1) F

Con i dati a disposizione mi viene C = 14,8 pF

L’ energia U racchiusa è pari a

U = 1/2 C V^2 = 18.500 * 10^-12 J

( Dubbio: Conoscendo quando vale V = 50 V, volendo posso calcolare la carica Q sulle armature con Q = CV , C capacità trovata e V = 50 V ? )

Per il punto B ho dei problemi…

V = Q (R2-R1)/ 4Pie0 (R1R2) = Q (b - a)/ 4Pie0 (a b)

Se a varia, deve variare Q affinché V sia costante ?

Non saprei come andare avanti…

[Palliit]

Scusa la franchezza ma se non scrivi decentemente le formule non si capisce granchè. Comincia col digitare prima e dopo l'espressione un simbolo di dollaro; così, ad esempio: " 1/(4pi) int_a^b (f(x))/xdx " diventa: $1/(4pi) int_a^b (f(x))/xdx$.

Se clicchi CITA sul mio messaggio vedi meglio come fare.

[Desirio]

$ C = Q / V= (ab4piε0)/(b-a) $

"Palliit":Scusa la franchezza ma se non scrivi decentemente le formule non si capisce granchè. Comincia col digitare prima e dopo l'espressione un simbolo di dollaro; così, ad esempio: " 1/(4pi) int_a^b (f(x))/xdx " diventa: $1/(4pi) int_a^b (f(x))/xdx$.

Se clicchi CITA sul mio messaggio vedi meglio come fare.

Scusami, hai ragione!!! Provo a riscrivere i passaggi con le formule

1) Calcolo il campo E fra a e b con il teorema di Gauss

$ E (4pir^2) $ = $ (Q/(ε0)) $

$E = Q/(4piε0r^2)$

2) Trovo il potenziale V

$V = int_a^b (Q/(4piε0r^2)) dr = Q(b-a)/(4piε0 ab)$

3) $C = Q / V= (ab4piε0)/(b-a)$

Facendo i conti torna 14,8 pF ...

4) L' energia $U = 1/2 C V^2 = (1/2) 14,8 * (10^-12) * 50^2 = 18.500 * 10^-12 J$

Per il punto B non saprei come fare ... Pensavo di calcolare il campo E in a

$E(a) = (Q)/(4piε0 a^2)$

.. Però poi mi fermo

[Desirio]

Però ripensandoci, mi verrebbe da sostituire a Q la quantità CV dove C è in funzione di a

$C = (ab 4pie0) / (b-a) $

.. Così trovo E in a che dipende solo da a, e lo derivo rispetto ad a

$E(a) = (0,08)/(a(0,08-a)) $

$(dE)/(da) = (0,08)/(a(0,08-a)^2) - 1 / (a^2(0,08-a)) $

Pongo la derivata = 0 e mi viene a = 0,04..... Ora non so se è giusto il ragionamento

[Palliit]

Se $V$ e $b$ restano costanti, deve necessariamente variare la carica $Q$. In particolare, hai:

$V=Q/(4 pi epsilon_0)(b-a)/(ab)" "$, da cui: $" "Q/(4 pi epsilon_0)=V*(ab)/(b-a)" "$;

sostituisci quest'ultima relazione nel campo elettrico sulla superficie della sfera interna:

$E(a)=Q/(4 pi epsilon_0)*1/a^2=(bV)/(a(b-a))" "$,

che è la funzione di $a$ da rendere minima (ovviamente nell'intervallo $0
EDIT:

"Desirio":Ora non so se è giusto il ragionamento

direi che il ragionamento è giusto, ed anche il risultato.

[Desirio]

"Palliit":Se $V$ e $b$ restano costanti, deve necessariamente variare la carica $Q$. In particolare, hai:

$V=Q/(4 pi epsilon_0)(b-a)/(ab)" "$, da cui: $" "Q/(4 pi epsilon_0)=V*(ab)/(b-a)" "$;

sostituisci quest'ultima relazione nel campo elettrico sulla superficie della sfera interna:

$E(a)=Q/(4 pi epsilon_0)*1/a^2=(bV)/(a(b-a))" "$,

che è la funzione di $a$ da rendere minima (ovviamente nell'intervallo $0
EDIT: [quote="Desirio"]Ora non so se è giusto il ragionamento

direi che il ragionamento è giusto, ed anche il risultato.[/quote]

Grazie mille

[Palliit]

Prego!