Condensatore sferico
Buongiorno,
vorrei capire come si calcola il potenziale all'interno di una sfera che a sua volta è circondata da un guscio sferico.
Ho trovato un esercizio guida nel quale, appunto prima di calcolare il potenziale mi calcola il campo in tutti i punti dello spazio, solo che non capisco perchè quando arrivo a calcolare il potenziale interno, mi somma tutti i Raggi;
l'esercizio in questione è :
Una sfera metallica cava ha raggio esterno R1 = 10 cm, raggio interno
R2 = 7 cm ed al suo interno, in modo concentrico, è presente una sfera
metallica piena di raggio R3 = 5 cm. Su entrambe le sfere è depositata
una carica Q = 10−8 C. Determinare il campo elettrico sui due corpi e
calcolare il potenziale elettrostatico al centro della sfera interna.
Risoluzione :
Il calcolo del campo elettrico va scomposto nelle diverse regioni di spazio. Partendo
dal centro della sfera, per r < R3:
E(r) = 0 Poichè in un conduttore il campo è sempre nullo.
Per calcolare il campo in R3
Di nuovo la regione R2 < r < R1 è interna ad un conduttore, quindi:
E(r) = 0
In ne, per r > R1, tramite teorema di Gauss:
E = 2Q/4 πε r^2
Per il calcolo del potenziale partiamo dalla super cie esterna di raggio R1:
V (R1)= 2Q/4 πε R1
Tra R1 ed R2 il campo è nullo, quindi il potenziale rimane costante
V (R2) = V (R1) = 2Q/4 πε R1
Tra R3 e R2:
V (R3) − V (R2) = Q/4 πε *(1/R3-1/R2)
Il potenziale V (R3) è anche quello presente al centro delle sfera, pari a
V (R3) = Q/4 πε* (1/R3 - 1/R2 + 1/R1) .....
Inoltre, perchè nel calcolo del potenziale tra R1 e R2 il raggio che prende in considerazione è R1? Non dovrebbe essere un r generico?
Grazie a chi mi aiuterà..!
vorrei capire come si calcola il potenziale all'interno di una sfera che a sua volta è circondata da un guscio sferico.
Ho trovato un esercizio guida nel quale, appunto prima di calcolare il potenziale mi calcola il campo in tutti i punti dello spazio, solo che non capisco perchè quando arrivo a calcolare il potenziale interno, mi somma tutti i Raggi;
l'esercizio in questione è :
Una sfera metallica cava ha raggio esterno R1 = 10 cm, raggio interno
R2 = 7 cm ed al suo interno, in modo concentrico, è presente una sfera
metallica piena di raggio R3 = 5 cm. Su entrambe le sfere è depositata
una carica Q = 10−8 C. Determinare il campo elettrico sui due corpi e
calcolare il potenziale elettrostatico al centro della sfera interna.
Risoluzione :
Il calcolo del campo elettrico va scomposto nelle diverse regioni di spazio. Partendo
dal centro della sfera, per r < R3:
E(r) = 0 Poichè in un conduttore il campo è sempre nullo.
Per calcolare il campo in R3
Di nuovo la regione R2 < r < R1 è interna ad un conduttore, quindi:
E(r) = 0
In ne, per r > R1, tramite teorema di Gauss:
E = 2Q/4 πε r^2
Per il calcolo del potenziale partiamo dalla super cie esterna di raggio R1:
V (R1)= 2Q/4 πε R1
Tra R1 ed R2 il campo è nullo, quindi il potenziale rimane costante
V (R2) = V (R1) = 2Q/4 πε R1
Tra R3 e R2:
V (R3) − V (R2) = Q/4 πε *(1/R3-1/R2)
Il potenziale V (R3) è anche quello presente al centro delle sfera, pari a
V (R3) = Q/4 πε* (1/R3 - 1/R2 + 1/R1) .....
Inoltre, perchè nel calcolo del potenziale tra R1 e R2 il raggio che prende in considerazione è R1? Non dovrebbe essere un r generico?
Grazie a chi mi aiuterà..!
Risposte
"doyleanto":
... solo che non capisco perchè quando arrivo a calcolare il potenziale interno, mi somma tutti i Raggi;
Tutti i reciproci dei raggi.
Li somma perché andando a determinare il potenziale della sfera interna dalla somma del potenziale della sfera esterna (assunto a zero il potenziale all'infinito) con la differenza di potenziale fra sfera interna ed esterna Q/4 πε *(1/R3-1/R2) può raccogliere il fattore comune Q/4 πε, ma direi che nella relazione ci sia un 2/R1 e non 1/R1.
"doyleanto":
... Inoltre, perchè nel calcolo del potenziale tra R1 e R2 il raggio che prende in considerazione è R1? Non dovrebbe essere un r generico?
Perché quei due potenziali sono uguali essendo relativi a punti di uno stesso conduttore (V(R1)=V(R2)).
Ti consiglio di tracciare l'andamento del campo e del potenziale su grafici sovrapposti, vedrai che ti sarà tutto più chiaro.
BTW Il sistema poteva anche essere "visto" come la serie di due condensatori, e il potenziale cercato come la somma delle due tensioni ai loro morsetti, ma ricordando che la carica presente sugli stessi non è uguale, ma doppia su quello "esterno".
Scusami RenzoDF potresti essere più chiaro! non ho capito molto bene il tutto 
Ciao Doyleanto se applichi la definizione di potenziale dovrebbe essere più chiaro:
\begin{equation}
V_1-V(\infty)=\int_0^\infty E dr=\int_0^{R_3} E dr+\int_{R_3}^{R_2} E dr+\int_{R_2}^{R_1} E dr+\int_{R_1}^{\infty} E dr
\end{equation}
Con $V_1$ potenziale della sfera di raggio $R_3$.
Utilizzando le espressioni del campo elettrico da te trovate, il primo e il terzo integrale sono nulli in quanto il campo elettrico è nullo nei conduttori. Il secondo e l'ultimo integrale trovi i potenziali che ti servono. Ponendo $V(\infty)=0$ ottieni il potenziale della sfera.
Se hai dei dubbi chiedi pure
\begin{equation}
V_1-V(\infty)=\int_0^\infty E dr=\int_0^{R_3} E dr+\int_{R_3}^{R_2} E dr+\int_{R_2}^{R_1} E dr+\int_{R_1}^{\infty} E dr
\end{equation}
Con $V_1$ potenziale della sfera di raggio $R_3$.
Utilizzando le espressioni del campo elettrico da te trovate, il primo e il terzo integrale sono nulli in quanto il campo elettrico è nullo nei conduttori. Il secondo e l'ultimo integrale trovi i potenziali che ti servono. Ponendo $V(\infty)=0$ ottieni il potenziale della sfera.
Se hai dei dubbi chiedi pure
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