Condensatore piano riempito a metà con dielettrico
Dovrebbe essere semplice ma credo mi sfugga una equazione per risolvere un sistema..
Un condensatore piano a facce parallele distanti $ d $ ,con intercapedine inizialmente vuota, ha le armature di area $ A=25cm^2 $ . Il condensatore è caricato ad un potenziale $ V_0=100V $ e quindi lasciato isolato. Se una lamina dielettrica di costante dielettrica $ k=2,5 $ è inserita a riempire completamente lo spazio tra le armature ma di area $ A/2 $ , trovare la ddp finale ai capi delle armature del condensatore e trovare la densità di carica libera sulle armature del condensatore, lato dielettrico-conduttore e vuoto-conduttore, verificando quale è il loro rapporto.
Quello che sono riuscito a scrivere è:
considerando il condensatore vuoto: $ q_0=sigma _0A=C_0V_0=(epsilon _0A)/dV_0 $ da cui $ sigma _0=(epsilon _0)/dV_0 $
considerando il condensatore riempito a metà come due condensatori in parallelo: stessa ddp
$ q_(TOT)=q_1+q_2=C'_1V+C_2V=k(epsilon _0A/2)/dV+(epsilon _0A/2)/dV $ con $ V=V_0/k $ (ddp dopo l'inserimento del dielettrico)
ora i miei problemi sono due:
il primo è questo, se voglio esprimere $ q_(TOT) $ in funzione della densità di carica $ sigma $ , questa la devo moltiplicare per l'area $ A $ o $ A/2 $ , dato che si parla di carica totale?
il secondo invece è che non trovo la terza equazione per risolvere il sistema con le tre incognite $ sigma_0 $ , $ sigma $ e $ d $
Un condensatore piano a facce parallele distanti $ d $ ,con intercapedine inizialmente vuota, ha le armature di area $ A=25cm^2 $ . Il condensatore è caricato ad un potenziale $ V_0=100V $ e quindi lasciato isolato. Se una lamina dielettrica di costante dielettrica $ k=2,5 $ è inserita a riempire completamente lo spazio tra le armature ma di area $ A/2 $ , trovare la ddp finale ai capi delle armature del condensatore e trovare la densità di carica libera sulle armature del condensatore, lato dielettrico-conduttore e vuoto-conduttore, verificando quale è il loro rapporto.
Quello che sono riuscito a scrivere è:
considerando il condensatore vuoto: $ q_0=sigma _0A=C_0V_0=(epsilon _0A)/dV_0 $ da cui $ sigma _0=(epsilon _0)/dV_0 $
considerando il condensatore riempito a metà come due condensatori in parallelo: stessa ddp
$ q_(TOT)=q_1+q_2=C'_1V+C_2V=k(epsilon _0A/2)/dV+(epsilon _0A/2)/dV $ con $ V=V_0/k $ (ddp dopo l'inserimento del dielettrico)
ora i miei problemi sono due:
il primo è questo, se voglio esprimere $ q_(TOT) $ in funzione della densità di carica $ sigma $ , questa la devo moltiplicare per l'area $ A $ o $ A/2 $ , dato che si parla di carica totale?
il secondo invece è che non trovo la terza equazione per risolvere il sistema con le tre incognite $ sigma_0 $ , $ sigma $ e $ d $
Risposte
La carica totale sarà uguale a quella iniziale $q_{0}$, di conseguenza per calcolare la nuova tensione ti basterà il rapporto fra detta carica e la nuova capacità totale, tensione che ti permetterà poi di ricavare le cariche sulle due metà, che direi stiano in un rapporto k.
Già è vero!! Certe volte mi sfuggono le cose più semplici! Ti ringrazio 
Quindi deduco che se volessi esprimere la $ q_(TOT) $ in funzione della densità di carica dovrei scrivere $ q_(TOT)=sigmaA $
Quindi deduco che se volessi esprimere la $ q_(TOT) $ in funzione della densità di carica dovrei scrivere $ q_(TOT)=sigmaA $
"Granieri":
... Quindi deduco che se volessi esprimere la $ q_(TOT) $ in funzione della densità di carica dovrei scrivere $ q_(TOT)=sigmaA $
La carica q0 che il condensatore ha inizialmente non se ne può più andare da nessuna parte essendo l'armatura scollegata, quindi sigma zero, non sigma che sarà diversa per le due metà.
si, giusto! E' stato un errore di distrazione..
"Granieri":
si, giusto! E' stato un errore di distrazione..
Se posti la soluzione potrà essere utile ai posteri!
Anche seguendo le tue indicazioni non riesco ancora a trovare l'incognita $ d $ 
"Granieri":
Anche seguendo le tue indicazioni non riesco ancora a trovare l'incognita $ d $
Non devi trovartela in quanto, facendo il rapporto fra carica q0 e capacità equivalente finale, quella d andrà a sparire.
si semplifica se esprimo $ q_0 $ in questo modo :
$ q_0=sigma _0A $ dicendo che $ V=q_0/C_(eq)=(sigma _0A)/((epsilon _0A/2)/d(k+1))=(((epsilon _0V_0)/d)A)/(((epsilon_0A/2)/d)(k+1)) $ ma a me serve calcolare $ sigma_0 $ e $ d $ per trovare le altre densità di carica..
$ q_0=sigma _0A $ dicendo che $ V=q_0/C_(eq)=(sigma _0A)/((epsilon _0A/2)/d(k+1))=(((epsilon _0V_0)/d)A)/(((epsilon_0A/2)/d)(k+1)) $ ma a me serve calcolare $ sigma_0 $ e $ d $ per trovare le altre densità di carica..
"Granieri":
... ma a me serve calcolare $ sigma_0 $ e $ d $ per trovare le altre densità di carica..
Vedo che non leggi le risposte, comunque ripeto, visto che la tensione V (ora nota), sui due condensatori in parallelo è la stessa, le cariche si ripartiranno in proporzione alla costante dielettrica relativa k
$V=\frac{q_1}{C_1}=\frac{q_2}{C_2}$
e quindi ...
allora $ q_1/(kC_1)=q_2/C_2 $, $ q_1/((kepsilon_0A)/(2d))=q_2/((epsilon_0A)/(2d)) $ , $ q_1=kq_2 $
le altre equazioni che ho sono :
$ q_0=q_1+q_2 $ , $ sigma_0=(epsilon_0V_0)/d $ , $ V=V_o/k $ ..
le incognite sono: $ q_0,sigma_0,q_1,q_2,d $ e quindi $ C_1,C_2,C_(eq) $
Se ti va di darmi una mano nell'utilizzarle te ne sarei grato visto che stupidamente non riesco a trovare la via.. altrimenti pazienza..
le altre equazioni che ho sono :
$ q_0=q_1+q_2 $ , $ sigma_0=(epsilon_0V_0)/d $ , $ V=V_o/k $ ..
le incognite sono: $ q_0,sigma_0,q_1,q_2,d $ e quindi $ C_1,C_2,C_(eq) $
Se ti va di darmi una mano nell'utilizzarle te ne sarei grato visto che stupidamente non riesco a trovare la via.. altrimenti pazienza..
"Granieri":
allora .... $ V=V_o/k $ ..
Premesso che non concordo su alcune relazioni scritte, tipo quest'ultima sulla tensione,
"Granieri":
... le incognite sono: $ q_0,sigma_0,q_1,q_2,d $ e quindi $ C_1,C_2,C_(eq) $
non mi sembra che il testo ti chieda di calcolare quanto da te elencato.
"Granieri":
Se ti va di darmi una mano ... altrimenti pazienza..
Certo, se ti va di postare il testo originale del problema, ... "altrimenti pazienza".
Vedo che non sono l'unico a non leggere i post.. Il testo originale del problema è in cima alla discussione;
per incognite intendo dati sconosciuti al di là che siano richiesti o meno;
l'espressione $ V=V_0/k $ deriva dalla considerazione che i due condensatori in parallelo hanno lo stesso potenziale e se hanno lo stesso potenziale vuol dire che, dopo l'inserimento del dielettrico nel primo condensatore, calcolandone il potenziale ossia $ V=V_0/k $ si è automaticamente stabilito il potenziale dell'altro condensatore..
chiedo scusa se commetto errori della cui esattezza sono convinto ma sono ancora in fase di apprendimento..
per incognite intendo dati sconosciuti al di là che siano richiesti o meno;
l'espressione $ V=V_0/k $ deriva dalla considerazione che i due condensatori in parallelo hanno lo stesso potenziale e se hanno lo stesso potenziale vuol dire che, dopo l'inserimento del dielettrico nel primo condensatore, calcolandone il potenziale ossia $ V=V_0/k $ si è automaticamente stabilito il potenziale dell'altro condensatore..
chiedo scusa se commetto errori della cui esattezza sono convinto ma sono ancora in fase di apprendimento..
"Granieri":
Vedo che non sono l'unico a non leggere i post.. Il testo originale del problema è in cima alla discussione;
Per originale intendevo un'immagine o pdf del testo originale, non la tua trascrizione.
"Granieri":
... per incognite intendo dati sconosciuti al di là che siano richiesti o meno;
Una interessante filosofia, ma a volte le incognite non possono che rimanere incognite, se i dati non sono sufficienti per determinarle numericamente, non credi?
ma infatti è solo un modo per chiamarle non per questo debbano essere tutte trovate .. comunque ecco l'immagine:
esercizio III
esercizio III
Scusa ma mi ero "distratto" ... allora partiamo dalla tensione V sul condensatore finale, e al perché non concordavo con la tua relazione.
I miei passaggi sono
$V=\frac{q}{C_{eq}}=\frac{q_0}{C_{eq}}=V_0\frac{C}{C_{eq}}=V_0\frac{\frac{\epsilon _0A}{d}}{k\frac{\epsilon _0A}{2d}+\frac{\epsilon _0A}{2d}}=V_0\frac{2}{k+1}=\frac{400}{7}\text(V) $
La carica $q_0=q$ non è nota, però possiamo dire che, visto che la tensione V è la medesima sui i due mezzi-condensatori C1 (parte con dielettrico) e C2 , potremo scrivere che $q_1/C_1=q_2/C_2$ e quindi possiamo ricavare il rapporto fra le densità di carica
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=k$
e quindi da $q=q_0=q_1+q_2$
${ (q_1=\frac{k}{1+k}q_0 ),(q_2=\frac{1}{1+k}q_0 ):}$
e analogamente per le densità.
NB a dire il vero la domanda finale del testo è un po' sibillina con quel "... verificando ..."
I miei passaggi sono
$V=\frac{q}{C_{eq}}=\frac{q_0}{C_{eq}}=V_0\frac{C}{C_{eq}}=V_0\frac{\frac{\epsilon _0A}{d}}{k\frac{\epsilon _0A}{2d}+\frac{\epsilon _0A}{2d}}=V_0\frac{2}{k+1}=\frac{400}{7}\text(V) $
La carica $q_0=q$ non è nota, però possiamo dire che, visto che la tensione V è la medesima sui i due mezzi-condensatori C1 (parte con dielettrico) e C2 , potremo scrivere che $q_1/C_1=q_2/C_2$ e quindi possiamo ricavare il rapporto fra le densità di carica
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=k$
e quindi da $q=q_0=q_1+q_2$
${ (q_1=\frac{k}{1+k}q_0 ),(q_2=\frac{1}{1+k}q_0 ):}$
e analogamente per le densità.
NB a dire il vero la domanda finale del testo è un po' sibillina con quel "... verificando ..."
Devo ammettere che da solo non sarei riuscito proprio a trovare la strada per venirne fuori!Non ho parole, a livello teorico e concettuale non c'era niente di che .. era solo un labirinto di passaggi matematici..l'avevo già tristemente archiviato come esercizio irrisolto e ora lo ripesco Grazie davvero!
Grazie davvero!
Di nulla, figurati.
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