Condensatore piano con carica variabile
Un condensatore piano è formato da due armature circolari di superficie $S$ distanti $d$ l'una dall'altra. All'interno si trova un dielettrico di costante \(\displaystyle \epsilon_r \). La carica varia nel tempo secondo la legge \(\displaystyle q(t)=q_0(1+bt) \).
(a) Si scriva l'espressione del campo elettrico e della differenza di potenziale tra le armature in funzione del tempo.
Allora, essendo nota la geometria posso ricavare la capacità del condensatore come \(\displaystyle C=\epsilon_0\epsilon_rS/d \), e quindi la differenza di potenziale e il campo come: \[\displaystyle V=\frac{q(t)}{C}=\frac{q_0(1+bt)d}{\epsilon_0\epsilon_rS}, \quad E=\frac{V}{d}=\frac{q_0(1+bt)}{\epsilon_0\epsilon_rS}. \] (b) Si determini il campo magnetico all'esterno e all'interno del condensatore in funzione del tempo.
Come prima cosa posso trovare la corrente elettrica che scorre nel condensatore: \(\displaystyle i(t)=\dot q(t)=q_0b \). Questa corrente induce un campo magnetico dato dalla legge di Ampère-Maxwell: \(\text{rot }\mathbf{H}=\mathbf{J}+\partial_t\mathbf{D}\).
Qui però ho un dubbio. Il termine \(\displaystyle J \) rappresenta la densità di corrente libera più quella di magnetizzazione, \(\displaystyle J=J_f+J_m \). Chiaramente qui \(\displaystyle J_m=0 \) visto che non si parla di magnetizzazione, e quindi \(\displaystyle B=H/\mu_0 \); ma la corrente $i(t)$ la posso considerare come una corrente libera? Oppure la includo già quando considero il termine di spostamento, \(\displaystyle \partial_tD \)? Sono un attimo confuso
(a) Si scriva l'espressione del campo elettrico e della differenza di potenziale tra le armature in funzione del tempo.
Allora, essendo nota la geometria posso ricavare la capacità del condensatore come \(\displaystyle C=\epsilon_0\epsilon_rS/d \), e quindi la differenza di potenziale e il campo come: \[\displaystyle V=\frac{q(t)}{C}=\frac{q_0(1+bt)d}{\epsilon_0\epsilon_rS}, \quad E=\frac{V}{d}=\frac{q_0(1+bt)}{\epsilon_0\epsilon_rS}. \] (b) Si determini il campo magnetico all'esterno e all'interno del condensatore in funzione del tempo.
Come prima cosa posso trovare la corrente elettrica che scorre nel condensatore: \(\displaystyle i(t)=\dot q(t)=q_0b \). Questa corrente induce un campo magnetico dato dalla legge di Ampère-Maxwell: \(\text{rot }\mathbf{H}=\mathbf{J}+\partial_t\mathbf{D}\).
Qui però ho un dubbio. Il termine \(\displaystyle J \) rappresenta la densità di corrente libera più quella di magnetizzazione, \(\displaystyle J=J_f+J_m \). Chiaramente qui \(\displaystyle J_m=0 \) visto che non si parla di magnetizzazione, e quindi \(\displaystyle B=H/\mu_0 \); ma la corrente $i(t)$ la posso considerare come una corrente libera? Oppure la includo già quando considero il termine di spostamento, \(\displaystyle \partial_tD \)? Sono un attimo confuso
Risposte
Fare le cose troppo difficili confonde le idee. La densità di corrente di spostamento è $J=\epsilon_0d/(dt)E$ . Poi usa semplicemente la circuitazione di ampere su una circonferenza concentrica all'asse del condensatore $\int B dl = \int \mu_0 J dS$ . Il discriminante sarà il raggio del cerchio maggiore o minore di quello del condensatore: aumenterà linearmente con $r$ fino al raggio del condensatore e poi decrescerà come $1/r$ all'esterno.
Ok, dovrei essere a posto. Ho risolto il dubbio, grazie...
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