Condensatore nella Materia
Salve ragazzi ho tale problema :
Le armature di un condensatore piano , di superficie $S$ e distanti fra loro $d$ , posseggono cariche $\pm Q$ . L'interno del condensatore è riempito con un dielettrico isotropo $\epsilon_r$ cresce linearmente da 1 a 2 man mano che si passa dall'armatura carica positivamente a quella carica negativamente . Si determini :
a) $|\vec{D}|$ , $|\vec{E}|$ e $|\vec{P}|$ ;
b) la carica totale di polarizzazione su ciascuna delle due superfici del dielettrico affacciate alla armature ;
c) la densità volumetrica delle cariche si polarizzazione all'interno del dielettrico ;
d) la capacità del condensatore ;
L'unico mio dubbio è nell'esprimere la $\epsilon_r$ , come potrei fare?
ho provato ad esprimerla come una retta passante per i punti 1 e 2 ma non ha molto senso..
Per il resto mi è tutto chiaro ..
Le armature di un condensatore piano , di superficie $S$ e distanti fra loro $d$ , posseggono cariche $\pm Q$ . L'interno del condensatore è riempito con un dielettrico isotropo $\epsilon_r$ cresce linearmente da 1 a 2 man mano che si passa dall'armatura carica positivamente a quella carica negativamente . Si determini :
a) $|\vec{D}|$ , $|\vec{E}|$ e $|\vec{P}|$ ;
b) la carica totale di polarizzazione su ciascuna delle due superfici del dielettrico affacciate alla armature ;
c) la densità volumetrica delle cariche si polarizzazione all'interno del dielettrico ;
d) la capacità del condensatore ;
L'unico mio dubbio è nell'esprimere la $\epsilon_r$ , come potrei fare?
ho provato ad esprimerla come una retta passante per i punti 1 e 2 ma non ha molto senso..
Per il resto mi è tutto chiaro ..
Risposte
"MillesoliSamuele":
L'unico mio dubbio è nell'esprimere la $\epsilon_r$ , come potrei fare?
ho provato ad esprimerla come una retta passante per i punti 1 e 2 ma non ha molto senso..
Perchè non dovrebbe?
Se $\epsilon_r$ varia linearmente fra i valori $\epsilon_{r1}$ e $\epsilon_{r2}$ avrai che, preso il riferimento $x=0$ sull'armatura positiva, avrai
$\epsilon_r(x) = \epsilon_{r1} + ( \epsilon_{r2}- \epsilon_{r1}) \frac{x}{d}= 1 + \frac{x}{d}$
Ci provo da due settimane , mi ero scoraggiato all'idea..
Tale $\epsilon_r(x)$ va poi integrata da 0 a 2 esatto?
Tale $\epsilon_r(x)$ va poi integrata da 0 a 2 esatto?
"MillesoliSamuele":
...
Tale $\epsilon_r(x)$ va poi integrata da 0 a 2 esatto?
Direi di no, perché mai dovresti?
Avrai semplicemente una costante dielettrica che sarà funzione di x e che probabilmente andrà a rendere dipendente da x anche qualche altra grandezza.
Per descrivere la "totalità" della costante dentro il condensatore, ma evidentemente non è cosi.. Mmm
Comunque ho scoperto l'errore! Domani posto la risoluzione in modo che essere a servizio di tutti 
$|\vec{P}|=|\vec{D}|-\epsilon_0 |\vec{E}|=\frac{Q}{S}-\frac{dQ}{S(d+x)}=\frac{xQ}{S(x+d)}$
$\sigma_P=\pm \vec{P} \cdot hat{n}$
$\rho_P=-\vec{\nabla} \cdot \vec{P}=-\frac{Qd}{S(x+d)^2} $
$C^-1=\int_0^d \frac{dx}{\epsilon_0 S (\frac{(d+x)}{d})}$ da cui $C=\frac{\epsilon_0 S}{dln(2)}$
$\sigma_P=\pm \vec{P} \cdot hat{n}$
$\rho_P=-\vec{\nabla} \cdot \vec{P}=-\frac{Qd}{S(x+d)^2} $
$C^-1=\int_0^d \frac{dx}{\epsilon_0 S (\frac{(d+x)}{d})}$ da cui $C=\frac{\epsilon_0 S}{dln(2)}$
A parte un paio di \cdot mancanti, uno dei quali che trasforma una divergenza in un gradiente , direi che ad occhio e croce, concordo sostanzialmente sulle prime due righe, mentre non concordo sul calcolo della capacità, dove sbagli gli estremi di integrazione.
, direi che ad occhio e croce, concordo sostanzialmente sulle prime due righe, mentre non concordo sul calcolo della capacità, dove sbagli gli estremi di integrazione.
Hai ragione li ci va messo necessariamente! e gli estremi sono 1 e 2 
Il Rosati vol.2 mi da altri risultati...( alcuni coincidono )
Il Rosati vol.2 mi da altri risultati...( alcuni coincidono )
Scusa ma direi che non ci siamo ancora ... dovresti aggiungi un \cdot nella relazione della densità di carica di polarizzazione superficiale e cambiare quell'estremo di integrazione da 2 a d; ti ricordo che stai integrando in x.
Ok ora risulta tutto! Ma non mi è chiara una cosa.. come mai si integra da 2 a d?
Intendevo dire che dovevi cambiare l'estremo superiore da 2 a d e lasciare quello inferiore a 0
$C^-1=\int_0^d \frac{dx}{\epsilon_0 S (\frac{(d+x)}{d})}$
$C^-1=\int_0^d \frac{dx}{\epsilon_0 S (\frac{(d+x)}{d})}$
Ah ora mi è chiaro , grazie per i consigli
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