Condensatore con dielettrico variabile
Si ha un condensatore a facce piane e parallele con un dielettrico con $\epsilon(z) = \epsilon_0 + \alpha*z$ .
Trovare $\vec{E}, \vec{P}, \vec{D}, \rho_{pol}, \sigma_{pol}$
Ho pensato di procedere così:
Calcolo il flusso di $\vec{D}$ su un cilindro con una faccia dentro una delle armature (supponendo siano conduttori), devo aver:
$(\epsilon_0 + \alpha*z)*E=4\pi\sigma_{lib}$
$E=4\pi\sigma_{lib}/(\epsilon_0 + \alpha*z)$
Ma ho che: $ D = E + 4\piP = 4\pi\sigma_{lib}$
Combinando le due equazioni ho che: $P =\frac{ E(\epsilon_0 + \alpha*z -1)}{4\pi}$
Inoltre: $\vec{\nabla}*\vec{P} = -\rho_{pol}$
Questo mi condice all'equazione: $\rho_{pol} = \sigma_{lib}*\frac{1}{(\epsilon_0 + \alpha*z)^2}$
Infine $\DeltaV_{armature}=\frac{4\pi\sigma_{lib}}{\alpha}*ln(\frac{\epsilon_0 + \alpha*d}{\epsilon_0})$
Dove $d$ è la distanza tra le armature.
Qualcuno può dirmi se è corretto?
Trovare $\vec{E}, \vec{P}, \vec{D}, \rho_{pol}, \sigma_{pol}$
Ho pensato di procedere così:
Calcolo il flusso di $\vec{D}$ su un cilindro con una faccia dentro una delle armature (supponendo siano conduttori), devo aver:
$(\epsilon_0 + \alpha*z)*E=4\pi\sigma_{lib}$
$E=4\pi\sigma_{lib}/(\epsilon_0 + \alpha*z)$
Ma ho che: $ D = E + 4\piP = 4\pi\sigma_{lib}$
Combinando le due equazioni ho che: $P =\frac{ E(\epsilon_0 + \alpha*z -1)}{4\pi}$
Inoltre: $\vec{\nabla}*\vec{P} = -\rho_{pol}$
Questo mi condice all'equazione: $\rho_{pol} = \sigma_{lib}*\frac{1}{(\epsilon_0 + \alpha*z)^2}$
Infine $\DeltaV_{armature}=\frac{4\pi\sigma_{lib}}{\alpha}*ln(\frac{\epsilon_0 + \alpha*d}{\epsilon_0})$
Dove $d$ è la distanza tra le armature.
Qualcuno può dirmi se è corretto?
Risposte
Tanto per cominciare, occhio alla seguente relazione
Visto che nel testo la costante dielettrica assoluta è chiaramente fornita in versione "SI" non puoi usarla direttamente in versione "G", dove è espressa da una quantità adimensionale, ma solo dopo averla (diciamo) "convertita".
"Black Magic":
...devo aver:
$(\epsilon_0 + \alpha*z)*E=4\pi\sigma_{lib}$
Visto che nel testo la costante dielettrica assoluta è chiaramente fornita in versione "SI" non puoi usarla direttamente in versione "G", dove è espressa da una quantità adimensionale, ma solo dopo averla (diciamo) "convertita".
Non capisco. Che intendi per versione?
Se stai parlando del sistema di misura, sto usando il CGS. Ma è solo questione di costanti. Il procedimento, invece, come vi sembra?
Edit:
No, nel testo la costante dielettrica è fornita in CGS. Ma ripeto, è solo una questione di costanti che non hanno influenza sul problema.
Se stai parlando del sistema di misura, sto usando il CGS. Ma è solo questione di costanti. Il procedimento, invece, come vi sembra?
Edit:
No, nel testo la costante dielettrica è fornita in CGS. Ma ripeto, è solo una questione di costanti che non hanno influenza sul problema.
"Black Magic":
... Se stai parlando del sistema di misura, sto usando il CGS. Ma è solo questione di costanti. Il procedimento, invece, come vi sembra?
Si, mi riferivo ai sistemi di misura, ad ogni modo, segni, costanti e calcoli a parte, direi che il procedimento è corretto.
BTW Giusto per curiosità potrei vedere il testo originale?
È un esercizio che il prof ha lasciato per casa, non ha detto se lo ha preso da qualche libro.
Il testo è quello.
Comunque credo di avere scritto una cosa non molto corretta a riguardo della $\sigma_{pol}$ che non dovrebbe avere senso per $z=0$ e $z=d$, giusto?
Ad ogni modo, grazie!
Il testo è quello.
Comunque credo di avere scritto una cosa non molto corretta a riguardo della $\sigma_{pol}$ che non dovrebbe avere senso per $z=0$ e $z=d$, giusto?
Ad ogni modo, grazie!
"Black Magic":
È un esercizio che il prof ha lasciato per casa, non ha detto se lo ha preso da qualche libro.
Il testo è quello.
Quindi da risolvere solo per via simbolica?
"Black Magic":
Comunque credo di avere scritto una cosa non molto corretta a riguardo della $\sigma_{pol}$ che non dovrebbe avere senso per $z=0$ e $z=d$, giusto?
Non vedo nessuna relazione che faccia riferimento a $\sigma_{pol}$ , ad ogni modo il mio dubbio era su $\rho_{pol}$.
Di solito gli esercizi che dà sono di questo tipo: dato un sistema fisico, trovare tutti i campi che ci interessano.
La $\sigma_{pol}$ la si può trovare (io non ho fatto il conto esplicito perché è immediato, in questo caso) dal prodotto scalare
$\vec{P}*\vec{n}$
dove $\vec{n}$ è il versore normale alla superficie del dielettrico.
La $\sigma_{pol}$ la si può trovare (io non ho fatto il conto esplicito perché è immediato, in questo caso) dal prodotto scalare
$\vec{P}*\vec{n}$
dove $\vec{n}$ è il versore normale alla superficie del dielettrico.
Ok, ma non lo potevo indovinare. 
... e quale sarebbe il dubbio sulla stessa?
... e quale sarebbe il dubbio sulla stessa?
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