Condensatore cilindrico
un condensatore cilindrico (altezza $h=12.1 cm$, raggio interno $a=2.62 cm$, raggio esterno $b=2.72 cm$) è completamente riempito con un materiale con costante dielettrica relativa $\epsilon_r=2.72$ e resistività $\rho=524 \Omegam$. al tempo t=0 sul condensatore è presente una carica libera $Q_0=2.34 nC$. determinare dopo quanto tempo, in secondi, la carica sul condensatore si è ridotta esattamente della metà del valore iniziale.
io ho pensato che il dielettrico all'interno del cilindro potesse essere considerato come una resistore di resistenza $R=\rhoL\pi(b^2-a^2)$. la capacità del condensatore si può trovare tramite il rapporto tra la carica e la tensione tra le due pareti del cilindro. il campo elettrico all'interno del condensatore è $E=Q/(2\pi\epsilon_0\epsilon_rL\rhor)$, dunque la differenza di potenziale sarà $\DeltaV=ln(b/a)Q/(2\pi\epsilon_0\epsilon_rL)$ e la capacità $C=(2\pi\epsilon_0\epsilon_rL)/ln(b/a)$.
a questo punto posso finalmente impostare l'equazione differenziale $RI(t)=-Q(t)/C rarr dot(Q)+Q/(RC)=0$ da cui ho ricavato come soluzione $Q(t)=Q_0e^(-t/(RC))$ ora andando ad imporre $Q(t_1)=Q_0/2$ e sostituendo tutti i valori il risultato non mi viene congruente con quello della soluzione..
devo intestardirmi con i conti oppure ho commesso qualche errore nel procedimento?
grazie se mi risponderete!!
io ho pensato che il dielettrico all'interno del cilindro potesse essere considerato come una resistore di resistenza $R=\rhoL\pi(b^2-a^2)$. la capacità del condensatore si può trovare tramite il rapporto tra la carica e la tensione tra le due pareti del cilindro. il campo elettrico all'interno del condensatore è $E=Q/(2\pi\epsilon_0\epsilon_rL\rhor)$, dunque la differenza di potenziale sarà $\DeltaV=ln(b/a)Q/(2\pi\epsilon_0\epsilon_rL)$ e la capacità $C=(2\pi\epsilon_0\epsilon_rL)/ln(b/a)$.
a questo punto posso finalmente impostare l'equazione differenziale $RI(t)=-Q(t)/C rarr dot(Q)+Q/(RC)=0$ da cui ho ricavato come soluzione $Q(t)=Q_0e^(-t/(RC))$ ora andando ad imporre $Q(t_1)=Q_0/2$ e sostituendo tutti i valori il risultato non mi viene congruente con quello della soluzione..
devo intestardirmi con i conti oppure ho commesso qualche errore nel procedimento?
grazie se mi risponderete!!
Risposte
Non mi torna la resistenza. Come l'hai calcolata la resistenza di uno strato cilindrico ?
Per la resistenza puoi vedere qui: http://www.matematicamente.it/forum/resistenza-di-un-condensatore-cilindrico-t81259.html
si il calcolo della resistenza l'avevo completamente sbagliato!! meno male che il resto dovrebbe essere giusto perchè il risultato numerico mi torna perfettamente uguale a quello della soluzione..
grazie 1000 ad entrambi per aver risposto!
grazie 1000 ad entrambi per aver risposto!
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