Compressore. Esercizio.

[Antonio_80]

Un compressore aspira $15.0 (m^3)/(s)$ di aria a $20.0^oC$ e $1.00 b a r$ e la porta a $6.00 b a r$. Sapendo che il rendimento isoentropico è di $0.75$ e che la temperatura dell'ambiente è di $293 K$, calcolare:
1) La potenza meccanica necessaria.
2) La temperatura dell'aria all'uscita del compressore.
3) La generazione oraria di entropia.
4) Il rendimento exergetico.

Nelle turbine, compressori, si hanno trasformazioni che vengono considerate adiabatiche in quanto lo scambio di calore è infinitesimale.
Il primo principio della termodinamica per questo compressore diventa:

$dot(L) = - dot(m) (h_2 - h_1)$ (Potenza)

Si avrà $dot(L)$ positivo per turbine e negativo per compressori.

Conosciamo:

$dot(V)=15.0 (m^3)/(s)$
$T_1=20.0^oC= 293K$
$P_1=1.00 b a r$
$P_2=6.00 b a r$

Rendimento Isoentropico di formula: $eta_C = (dot(L))/(dot(L)_(is))= (h_1 - h_2)/(h_1-h_(2,is))$, (pedice $C$ sta a compressore), il suo valore dato dalla traccia è:

$eta_C = 0.75$

La temperatura dell'ambiente è $293K = 20^oC$.

Ho pensato qualcosa, cioè che si tratta di un compressore Ideale.

Allora non esistono attriti e quindi dispersioni di energia all'interno della massa fluida, e nemmeno attriti fra le parti della macchina.
La compressione ideale è Isoentropica e questo lo dice il testo dell'esercizio, quindi è questo che mi ha fatto pensare ad un compressore ideale.
La compressione ideale assorbe il minimo lavoro possibile, a parità di rapporto di compressione $beta = (p_2)/(p_1)$.
A questo punto posso dire che il rapporto di compressione posso calcolarlo e dire che $beta = (6)/(1)=6$, ma non so quanto mi potrebbe servire nel caso di questo esercizio!

Con questi ingredienti, a cosa posso pensare per rispondere al primo punto

Ho pensato una cosa.......
Prendo le Tabelle delle proprietà dell'aria come gas Ideale.
Vado alla temperatura di $293K$ e mi rendo conto che per qualsiasi grandezza che cerco dovrò interpolare, a me serve l'entropia specifica e interpolo tra $290K$ e $295K$.

a $ 290K$ si ha $1.66802(kJ)/(kg*K)$
a $ 295K$ si ha $1.68515(kJ)/(kg*K)$

Interpolando ottengo che a $293K$ si ha la seguente entropia specifica:

$s= 1.648298 (kJ)/(kg*K)$

Adesso vado sul diagramma $T,s$ e trovo il valore di $s= 1.648298 (kJ)/(kg*K)$ e salgo in verticale restando sempre sullo stesso valore di $s$, intersecherò la curva di pressione $0.6 MPa$ e in questo punto dovrei vedere la temperatura in cui mi trovo, ma in questo caso non si hanno intersezioni con nessun punto e quindi non posso vedere nessuna temperatura per $0.6MPa$

Edit: Ho messo tutto in spoiler così recuperò spazio!

[professorkappa]

"Antonio_80":Allora, ricapitoliamo....

Per aria secca $R= 287(J)/(kg*K)$
$pv=RT->v=(RT)/p= (287*293)/(100000)= 0.84(m^3)/(kg)$(e' evidente il perche' mi hai detto di calcolare in questo modo $v_1$)

$1b a r= 100000Pa$

$L=(100000)*(0.840)*((1.40)/(1.40-1))*[1-(6)^((1.40-1)/(1.40))]= -197794.8 J/(kg)$

$dot(m)= (dot(V))/(v) =(15(m^3)/(s))/(0.84(m^3)/(kg))=17.85 (kg)/(s)$ (va bene la portata massica )

La potenza sarà allora:

$-197794.8 J/(kg) * 17.85 (kg)/(s) = -3530637.18 J/s = dot(L)$ (cosa posso dedurre dal valore negativo )

Calcolo la temperatura $T_2$:

$c_p = 1.01 (kJ)/(kg*K)= 1.01*10^(-3) (J)/(kg*K)$

Ti avevo chiesto di lasciar perdere la portata massica, ma vabbe'. Se proprio ce la vuoi infilare, infiliamocela ora.
L'errore e' nel $C_p$, il valore corretto e' $c_p = 1.01 (kJ)/(kg*K)= 1.01*10^3 (J)/(kg*K)$

Quindi il $\DeltaT=(3,530*10^3J/sec)/((17.85(kg)/sec)*(1.001*10^3(J/(kgK))))$ circa 200K


(fai il calcolo preciso, per favore, non ho calcolatrice). Aggiunti ai 293K iniziali siamo intorno ai 500K di temperatura di arrivo.
Lo stesso valore lo trovavi direttamente dall'equazione che ti ho scritto nel post precedente $T_2=293*6^((k-1)/k)$. Leggermente piu' facile, che dici?

Il segno meno di cui chiedevi prima sta ad indicare che il lavoro ha da essere fornito al compressore.
Per favore, il $dotL$ si chiama watt, simbolo W. $dotL$ e' orrendo.

Ora che hai la potenza da fornire al compressore, in condizioni ideali, siccome conosci il rendimento politropico, quanto sara' la potenza reale da fornire per comprimere sto gas?

[Antonio_80]

Ma delle volte faccio delle cavolate assurde nei calcoli!
Calcolo la temperatura $T_2$:

$c_p = 1.01 (kJ)/(kg*K)= 1.01*10^3 (J)/(kg*K)$

$dot(L) = dot(m)c_p(T_1 - T_2)$

$-3530637.18 J/s = 17.85 (kg)/(s)*1.01*10^3 (J)/(kg*K)*(293K - T_2)$

$-3530637.18 J/s = 17.85 (kg)/(s)*1.01*10^3 (J)/(kg*K)*(293K - T_2)$

$(-3530637.18 J/s)/( 17.85 (kg)/(s)*1.01*10^3 (J)/(kg*K)) =(293K - T_2)$

$293K - T_2 = -(3530637.18 J/s)/( 17.85 (kg)/(s)*1.01*10^3 (J)/(kg*K)) $

$293K - T_2 = -195.836K $

$- T_2 = -293K -195.836K $

$ T_2 = 488.83 K $

"professorkappa":

Ora che hai la potenza da fornire al compressore, in condizioni ideali, siccome conosci il rendimento politropico, quanto sara' la potenza reale da fornire per comprimere sto gas?

Scusami, ma la traccia mi parla di rendimento isoentropico e non politropico, dici che sono la stessa cosa
Io uso la seguente:

$eta_(C,is)= (dot(L)_(is))/(dot(L))$

$0.75= (dot(L)_(is))/(-3530637.18 W)$

$dot(L)_(is) = -2647977.88 W= -264.79*10^4 kW$

[professorkappa]

E' stato un lapsus, intednevo isoentropico.

Sei sicuro di quella potenza che hai trovato?
Ti pare possibile? Tutte le macchine perdono qualcosa in condizioni reali, rispetto alle condizioni ideali.
LE macchine che producono lavoro in condizioni reali, ti danno meno lavoro lavoro che in condizioni ideali.
Quelle che assorbono lavoro te ne puppano di piu'.

Qui tu hai un compressore che IDEALMENTE, in condizioni perfette, ti assorbe 3.5MW.
Poi in condizioni reali, tu dici che assorbe 2.65MW. Cioe assorbe di meno.......

C'e' ancora qualcosa che non va. Riguarda

[Antonio_80]

"professorkappa":

C'e' ancora qualcosa che non va. Riguarda

Metto in uno spoiler:

Ho fatto tutte le verifiche e i conti mi ritornano sempre uguali!

Ho semplicemente applicato le formule e sono quelle!

Punto 1)
$dot(L)= -3530637.18 W$

Punto 2)
$ T_2 = 488.83 K $

Punto che non vedo nella traccia ma che stiamo cercando di calcolare e lo faccio volentieri perche' se me lo hai detto c'è un motivo:

$eta_(T,is)= (dot(L))/(dot(L)_(is))$ (per la turbina)

$eta_(C,is)= (dot(L)_(is))/(dot(L))$ (per il compressore)

$0.75= (dot(L)_(is))/(-3530637.18 W)$

$dot(L)_(is) = -2647977.88 W= -264.79*10^4 kW$

Non è che il mio testo non ha qualcosa che il tuo ha e adesso stiamo imbattendoci in qualcosa del genere a ciò che è accaduto oggi

Nel paragrafo inerente al rendimento isoentropico...., il testo parla di questa formula:

$dot(L) = - dot(m) (h_2 - h_1)$

e se i conti non tornano, l'unico motivo è solo questo!
Ma allora la formula che abbiamo visto per il calcolo della temperatura $T_2$, cioè la seguente
$dot(L) = dot(m)c_p(T_1 - T_2)$, non serve a questo scopo oggetto del punto!

Senza che ricominciamo con un ping pong di messaggi, sul mio testo non ho formule di più da andare a vedere, allora per evitare di scrivere ancora un sacco di messaggi, cosa ne dici
E questa la formula che serve
$dot(L) = - dot(m) (h_2 - h_1)$

P.S. Penso che ci siamo distratti un po e siamo andati fuori binario!

Dietro alla tua domanda che a mio parere non sembra essere appartenente a questo testo, ribadisco che i quesiti che ci restano da vedere sono:

3) La generazione oraria di entropia.
4) Il rendimento exergetico.

Ti vorrei chiedere se puoi indirizzarmi su come posso risolvere in primis il punto 3)

[professorkappa]

Non siamo assolutamente andati fuori binario.
Il punto 1 e il punto 2 non sono ancora risolti. Quei 3.5MW a cui siamo giunti e' la potenza isoentropica. La temperatura calcolata di 488K e' una temperatura ideale che si raggiungerebbe in condizioni ideali, isentropiche.
Il testo ti chiede la potenza e la temperatura finale reale. Entrambe devono essere maggiori di quelle calcolate finora.
Il valore di potenza meccanica necessaria NON PUO' ESSERE e' 2.65MW.

Stai applicando le formule, ma male. Per favore riguardale bene.

[Antonio_80]

Se continuo a rispondere so che perdiamo il filo, mi dispiace ma adesso non ti sto riuscendo a seguire piu'.
La cosa che so e' che la potenza reale e' maggiore di quella ideale e quindi mi trovo con in numeri che ho scritto io, mentre tu mi dici che ho sbagliato!

E' da troppo tempo che stiamo dietro a questo esercizio e forse e' meglio se lasciamo stare dato che non stiamo arrivando ad una conclusione, sara' per colpa mia, ma io non so piu' cosa dirti, ho fatto varie ricerche e mi sono impegnato un sacco prima di dirti questo!

A te la parola, io non so piu' cosa dirti!

[professorkappa]

"Antonio_80":Se continuo a rispondere so che perdiamo il filo, mi dispiace ma adesso non ti sto riuscendo a seguire piu'.
La cosa che so e' che la potenza reale e' maggiore di quella ideale e quindi mi trovo con in numeri che ho scritto io, mentre tu mi dici che ho sbagliato!

E' da troppo tempo che stiamo dietro a questo esercizio e forse e' meglio se lasciamo stare dato che non stiamo arrivando ad una conclusione, sara' per colpa mia, ma io non so piu' cosa dirti, ho fatto varie ricerche e mi sono impegnato un sacco prima di dirti questo!

A te la parola, io non so piu' cosa dirti!

Ok. Mi scrivi i valori di potenza reale e potenza ideale?
Fiono a ora io vedo potenza ideale 3.53MW. Potenza reale 2.65MW. Questo e' quello che hai scritto tu.

La cosa bella e' che le formule le hai scritte bene, ma poi fai i conti sbagliati.

[Antonio_80]

E allora se mi dici che devo rivedere i calcoli l'unica cosa che ti potrei dire e' che l'ultima formula che ho calcolato dove compare $eta=0.75$, e' l'inverso di quello che ho calcolato io, ma prima di mettermi a fare conti, lascio a te la parola!

[professorkappa]

Ohhhhhhhhhhh, finalmente.
Il rendimento e' dato dal lavoro isoentropico ideale (3.53MW) diviso per la potenza REALE.
Quindi la risposta a 1 e' $W=3.53/0.75=4.71MW$

[Antonio_80]

Ecco, mi sembra invece che il mio testo dica il contrario e forse c'e' un errore di battitura! E' che non riesci a visualizzare l'immagine, altrimenti ti farei vedere gli errori innumerevoli che trovo, solo che devo provvedere a individuarli in auanto all'esame il prof. ci fa tenere solo questo testo teorico per vedere le formule!

Tornando all'esecizio, adesso che sappiamo la potenza reale, dato che mi hai detto che il punto 1 e 2 non sono completi, cosa bisogna fare per concludere questi due punti?

P.S. Ti ringrazio per la pazienza, a me questo esercizio mi ha fatto venire mal di testa multipli!

[professorkappa]

Ma non e vero. La formula e giusta. Hai s cambiato tu numeratore con denominatore. Il punto 1 e fatto.
Ora sai il salto entalpico real. Calcola la temperatura real. Stessa formula che hai gia usato prima

[Antonio_80]

La temperatura in auesto caso mi misura il seguente valore:
$T_2= 554.15 K$

Adesso che ho fatto questi calcoli, puoi per favore spiegarmi cosa accade con queste situazioni ideali e reali?
Il mio testo non le esplicita chiaramente, accenna e basta, e adesso che ho messo le mani in questo esercizio, potresti per favore soiegarmi con qualche riga quello che succede in questo compressore?
Vorrei avere un idea piu' chiara e che mi faccia ragionare!

Ti ringrazio di cuore!

[professorkappa]

In che senso? cosa succede dentro il compressore? O il motivo delle differenze di potenza trovate?
E\ tutto spiegato molto chiaramente nella dispensa di DiMarco, quali dubbi ti restano?

[Antonio_80]

Ed in effetti alla pagina 4 ci sono delle spiegazioni con grafici, adesso sono anche sicuro,(grazie alla tua conferma) che quelle dispense sono mogliori delle spiegazioni del mio testo!

[Antonio_80]

Punto 3)
Calcolare:

3) La generazione oraria di entropia.

Ma perchè la chiama Oraria
Prima di andare a cercare formule, vorrei capire meglio cosa si intende per generazione oraria di entropia?

[professorkappa]

perche l'entropia aumenta nel tempo, vuole sapere quanta entropia e' prodotta ogni ora di lavoro

[Antonio_80]

Capisco!
Allora dobbiamo cercare un valore che dimensionalmente sia $((kJ)/(kg*K))/s$
Si tratta di entropia specifica $s$ oppure entropia $S$ al numeratore

Mi servirebbe un piccolo spunto per capire il paragrafo da cercare per vedere una qualche formula risolutiva?!?!
Puoi per favore dirmi cosa devo rivedere

Cioè, dove devo andare a sbattere adesso per rispondere a questa domanda

Essendo il compressore adiabatico, le equazioni di bilancio di energia ed entropia si riducono (indipendentemente dal fluido considerato e dal tipo di trasformazione) sapendo che per un gas ideale con calore specifico costante si ha :

$s_2 - s_1 = c_p ln((T_2)/(T_1))-R*ln((P_2)/(P_1))$

In numeri si ha:

$Delta S = 1.01*10^3 (J)/(kg*K)* ln((554.25)/(293))-287(J)/(kg*K)*ln((6)/(1)) = 129.58(J)/(kg*K)$

Pfk, cosa ne dici

[professorkappa]

si, va bene. Quindi? Quanto e' la produzione per unita di tempo?

Nota una cosa, e guarda come le cose tornano: per trovare la temperatura alla fine dell'adiabatica IDEALE, abbiamo visto due modi: uno sfrutta la relazione $\Deltah=C_p\Delta T$, l'altro sfrutta la relazione $T_2=T_1(p_2/p_1)^((k-1)/k)$.

Un terzo modo equivalente puo essere quello di sfruttare la produzione di entropia.
Nella compressione adiabatica IDEALE, la produzione di entropia e' nulla (nel piano TS e' una retta verticale)

Quindi $c_pln(T_2/T_1)-Rln(p_2/p_1)=0$ da cui $ln(T_2/T_1)^(c_p)-ln(p_2/p_1)^R=0$ da cui

$(T_2/T_1)^(c_p)=(p_2/p_1)^R$ cioe' $T_2/T_1=(p_2/p_1)^(R/c_p)$

E siccome $c_p-c_v=R$ e $c_p/c_v=k$, risolvendo ti trovi $T_2/T_1=(p_2/p_1)^((k-1)/k)$
Quindi, nota la temperatura iniziale e il salto di pressione, e' possibile calcolare immediatamente la temperatura alla fine di una trasformazione adiabatica ideale.

[Antonio_80]

"professorkappa":si, va bene. Quindi? Quanto e' la produzione per unita di tempo?

Penso che si deve dividere il valore che ho trovato del salto entropico, per $1h=3600s$
Cioe':
$Delta dot(S)=( 129.58(J)/(kg*K))/(3600s)= 0.036$

Si fa cosi'?

[Antonio_80]

Ho visto da quelle dispense che moltiplica la portata volumetrica per il salto entalpico, dici che si fa cosi'?
Solo che poi dimensionalmente ho dei $m^3$ al numeratore!