Composizione di forze
Una losanga come in figura (un rombo che ruota attorno a un asse, O il vertice in alto, B , C e A gli altri vertici segnati in senso orario, $theta$ è l'angolo che OB forma con l'asse, comunque la figura la potete vedere qui http://www.df.unipi.it/~califano/ALTRO/ ... 2011_a.pdf) ruota intorno a un asse verticale fisso, $\Delta$, a velocità angolare costante $\omega$. L'angolo $\theta$ corrisponde al sistema in configurazione di equilibrio. Il punto di articolazione $O$ è fisso. Le tre masse poste in $A$, $B$ e $C$ sono puntiformi e uguali. La massa in $C$ scivola senza attrito attaccata all'asse $\Delta$. Le aste della losanga di lunghezza $L$ sono rigide e di massa trascurabile. Non ci sono attriti di alcun genere.
Penso di averlo risolto, ma siccome ho dovuto spendere parecchio tempo per chiarirmi le idee vi vorrei chiedere se pensate la mia soluzione sia giusta:
2. Calcolare la tensione $T_2$ esercitata dall'asta $BC$ sulla massa in $C$ in funzione di $\theta$.
Siccome l'unica forza in gioco è la forza peso, con un po' di trigonometria si ricava $T_2=\frac{mg}{2sin\theta}$
1. Calcolare la tensione $T_1$ esercitata dall'asta $OB$ sulla massa in $B$ in funzione di $\theta$
I conti li ho fatti per il punto $A$ e non per $B$ ma è simmetrico...
Le forze in gioco sono il peso, la forza centrifuga (se ci mettiamo in un riferimento solidale alla losanga), $T_2$ e $T_1$.
La componente secondo $X$ della risultante è nulla poichè il sistema è in equilibrio, $-C+T_1 sin\theta T_2 sin\theta=0$ dove $C$ è la forza centrifuga, similmente la componente lungo $Y$, $T_1 cos \theta-T_2 cos \theta -mg =0$, risolvendo il sistema si ha $T_1=\frac{mg}{2sin\theta}+mg{cos\theta}$.
3. Determinare $\theta$ in funzione di $\omega$.
Per il sistema del punto 2 si ha $C=mg+mgtg\theta$, quindi da $C=mr\omega^2=ml\sin \theta \omega ^2$ si ricava $\theta=arcos(\frac{g}{l\omega^2-g}$
4. Il valore minimo per il quale all'equilibrio $\theta$ è non nullo.
Dal punto 3 segue che $\omega >\sqrt{2g/l}$
5. calcola l'energia cinetica e l'energia potenziale gravitazionale del sistema, Si conserva?
$K=m(r\omega)^2=ml^2 sin^2 \theta \omega^2$, l'energia potenziale invece la calcolo con $mgh$ e il valore dipende da dove fisso l'altezz zero. Comunque la somma si dovrebbe conservare perchè siamo in un campo conservativo, no?
Grazie
Penso di averlo risolto, ma siccome ho dovuto spendere parecchio tempo per chiarirmi le idee vi vorrei chiedere se pensate la mia soluzione sia giusta:
2. Calcolare la tensione $T_2$ esercitata dall'asta $BC$ sulla massa in $C$ in funzione di $\theta$.
Siccome l'unica forza in gioco è la forza peso, con un po' di trigonometria si ricava $T_2=\frac{mg}{2sin\theta}$
1. Calcolare la tensione $T_1$ esercitata dall'asta $OB$ sulla massa in $B$ in funzione di $\theta$
I conti li ho fatti per il punto $A$ e non per $B$ ma è simmetrico...
Le forze in gioco sono il peso, la forza centrifuga (se ci mettiamo in un riferimento solidale alla losanga), $T_2$ e $T_1$.
La componente secondo $X$ della risultante è nulla poichè il sistema è in equilibrio, $-C+T_1 sin\theta T_2 sin\theta=0$ dove $C$ è la forza centrifuga, similmente la componente lungo $Y$, $T_1 cos \theta-T_2 cos \theta -mg =0$, risolvendo il sistema si ha $T_1=\frac{mg}{2sin\theta}+mg{cos\theta}$.
3. Determinare $\theta$ in funzione di $\omega$.
Per il sistema del punto 2 si ha $C=mg+mgtg\theta$, quindi da $C=mr\omega^2=ml\sin \theta \omega ^2$ si ricava $\theta=arcos(\frac{g}{l\omega^2-g}$
4. Il valore minimo per il quale all'equilibrio $\theta$ è non nullo.
Dal punto 3 segue che $\omega >\sqrt{2g/l}$
5. calcola l'energia cinetica e l'energia potenziale gravitazionale del sistema, Si conserva?
$K=m(r\omega)^2=ml^2 sin^2 \theta \omega^2$, l'energia potenziale invece la calcolo con $mgh$ e il valore dipende da dove fisso l'altezz zero. Comunque la somma si dovrebbe conservare perchè siamo in un campo conservativo, no?
Grazie
Risposte
Ti conviene correggere il messaggio, perché al momento dopo il punto 1. ci sono porzioni illeggibili.
"JoJo_90":
Ti conviene correggere il messaggio, perché al momento dopo il punto 1. ci sono porzioni illeggibili.
grazie
, non avevo notatoora dovrebbe andare
Per $\omega=0$ si ha $\theta=0$. In questa condizione poniamo come $z=0$ l'altezza di $C$, quindi, $O$ si troverà ad altezza $z=2l$, mentre $A$ e $B$ si troveranno ad altezza $z=l$.
Facciamo finta cioè, che la losanga sia articolata in A e B,e che quindi possa variare l'apertura in funzione di $\theta$
L'energia meccanica totale del sistema, dato che tutto è fermo, è uguale all'energia potenziale delle due masse A e B, dato che C, è ad altezza 0 (dova abbiamo posto l'energia potenziale essere 0).
Le due masse sono uguali, quindi:
$E_m=2(mgl)$
Mettiamo che una forza acceleri il sistema, potrandolo a ruotare ad una velocità angolare $\omega$ non nulla
Per effetto della rotazione, e del fatto che le aste sono inestensibili, la massa C si alza dall'altezza 0, ed anche A e B si alzano. Se fai qualche considerazione sui triangoli, si trova che l'energia potenziale totale è:
$E_p=mg(2l-2lcos\theta)+2mg(2l-lcos\theta)$
Il raggio della circonferenza su cui ruotano A e B, è $R=lsin\theta$ e siccome conosciamo la velvocità angolare, allora conosciamo $v$ e possiamo anche scrivere l'energia cinetica totale, cioè la somme dell'energia cinetica associata ad ogni particella. C è ferma, e non ha energia cinetica, invece, A e B, ruotano:
$E_k=2(1/2mv^2)=mR^2\omega^2=m*l^2sin^2\theta*\omega^2$
Quindi possiamo scrivere l'energia cinetica totale nello stato finale:
$E_m=mg(2l-2lcos\theta)+2mg(2l-lcos\theta)+m*l^2sin^2\theta*\omega^2$
Ora se avessimo la certezza che l'energia meccanica si conservi, potremmo semplicemente imporre l'energia iniziale uguale a quella finale e trovare l'espressione di \theta in funzione di \omega.
Non ho fatto altri calcoli, ma sono quasi sicuro che la forza che porta il sistema da fermo,a ruotare a velocità \omega, non sia una forza conservativa, e che la differenza delle due energie sia proprio il lavoro di questa forza non conservativa.
Inoltre la forza che porta il sistema da fermo a ruotare, deve avere necessariamente una compoonente diretta in direzione tangente alla circonferenza, e quindi, deve necessariamente compiere lavoro.
Comunque appena torno a casa lo finisco e ti faccio sapere
Facciamo finta cioè, che la losanga sia articolata in A e B,e che quindi possa variare l'apertura in funzione di $\theta$
L'energia meccanica totale del sistema, dato che tutto è fermo, è uguale all'energia potenziale delle due masse A e B, dato che C, è ad altezza 0 (dova abbiamo posto l'energia potenziale essere 0).
Le due masse sono uguali, quindi:
$E_m=2(mgl)$
Mettiamo che una forza acceleri il sistema, potrandolo a ruotare ad una velocità angolare $\omega$ non nulla
Per effetto della rotazione, e del fatto che le aste sono inestensibili, la massa C si alza dall'altezza 0, ed anche A e B si alzano. Se fai qualche considerazione sui triangoli, si trova che l'energia potenziale totale è:
$E_p=mg(2l-2lcos\theta)+2mg(2l-lcos\theta)$
Il raggio della circonferenza su cui ruotano A e B, è $R=lsin\theta$ e siccome conosciamo la velvocità angolare, allora conosciamo $v$ e possiamo anche scrivere l'energia cinetica totale, cioè la somme dell'energia cinetica associata ad ogni particella. C è ferma, e non ha energia cinetica, invece, A e B, ruotano:
$E_k=2(1/2mv^2)=mR^2\omega^2=m*l^2sin^2\theta*\omega^2$
Quindi possiamo scrivere l'energia cinetica totale nello stato finale:
$E_m=mg(2l-2lcos\theta)+2mg(2l-lcos\theta)+m*l^2sin^2\theta*\omega^2$
Ora se avessimo la certezza che l'energia meccanica si conservi, potremmo semplicemente imporre l'energia iniziale uguale a quella finale e trovare l'espressione di \theta in funzione di \omega.
Non ho fatto altri calcoli, ma sono quasi sicuro che la forza che porta il sistema da fermo,a ruotare a velocità \omega, non sia una forza conservativa, e che la differenza delle due energie sia proprio il lavoro di questa forza non conservativa.
Inoltre la forza che porta il sistema da fermo a ruotare, deve avere necessariamente una compoonente diretta in direzione tangente alla circonferenza, e quindi, deve necessariamente compiere lavoro.
Comunque appena torno a casa lo finisco e ti faccio sapere
se hai almeno i valori delle soluzioni postali, così magari mi accorgo se ho sbagliato qualcosa.
"Flamber":
se hai almeno i valori delle soluzioni postali, così magari mi accorgo se ho sbagliato qualcosa.
no, mi dispiace... non ho le soluzioni
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