Componenti cartesiane del rotazionale di un campo vettoriale

[Brawler]

Salve, sono alle prese con il Teorema di Stokes, e in particolare sto affrontando un paragrafo in cui è presente il calcolo delle componenti cartesiane del rotazionale di un campo vettoriale (in questo caso E). Non capisco come vengono svolti questi calcoli, in particolare il segno delle componenti del campo E sull'asse x e y. Grazie mille a chiunque mi aiuterà!

https://i.imgur.com/7lPW7mT.jpg

[killing_buddha]

Il rotore di un campo in tre dimensioni risulta dal determinante formale
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} &\partial_x & E_x\\
\mathbf{j} &\partial_y & E_y \\
\mathbf{k} & \partial_z & E_z
\end{array}
\right|
\] mi sembra esattamente quello che è stato fatto (evitando anche quei brutti integrali).

[mgrau]

"killing_buddha":Il rotore di un campo in tre dimensioni risulta dal determinante formale
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} &\partial_x & E_x\\
\mathbf{j} &\partial_y & E_y \\
\mathbf{k} & \partial_z & E_z
\end{array}
\right|
\] mi sembra esattamente quello che è stato fatto (evitando anche quei brutti integrali).

Certo, ma questa è solo la brutale definizione di rotore, calata dal cielo. Se si vuole far capire perchè il rotore ha quella espressione, bisognerà proprio passare da quei brutti integrali, o comunque calcolarsi direttamente, in qualche modo, la circuitazione.

[Brawler]

"mgrau":[quote="killing_buddha"]Il rotore di un campo in tre dimensioni risulta dal determinante formale
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} &\partial_x & E_x\\
\mathbf{j} &\partial_y & E_y \\
\mathbf{k} & \partial_z & E_z
\end{array}
\right|
\] mi sembra esattamente quello che è stato fatto (evitando anche quei brutti integrali).

Certo, ma questa è solo la brutale definizione di rotore, calata dal cielo. Se si vuole far capire perchè il rotore ha quella espressione, bisognerà proprio passare da quei brutti integrali, o comunque calcolarsi direttamente, in qualche modo, la circuitazione.[/quote]

Ed è esattamente quel che voglio capire, cioè quei segni e quei risultati.

[mgrau]

Se guardi la figura che hai messo nel primo post, si capisce abbastanza bene.Tu devi calcolare l'integrale di linea su quella spira quadrata, giusto?
Allora, comincia a considerare i due lati paralleli ad x: il più vicino a x è percorso in senso concorde a x, l'altro in senso contrario. Siccome ci interessa un prodotto scalare, dobbiamo considerare la componente di $E$ secondo x. Si capisce subito che, se la componente $E_x$ è la stessa sui due lati, i due contributi si annullano. Se invece no, cioè se $E_x$ varia spostandosi secondo y allora i due contributi danno una somma non nulla. Quindi ciò fa capire che quello che conta è la variazione di $E_x$ secondo y, cioè $(\partial E_x)/(\partial y)$.
Per quanto riguarda il segno, vedi che se $E_x$ aumenta spostandosi secondo y, allora prevale il contributo del lato di destra, cioè quello che va in direzione opposta a x, da cui il segno meno.
Se invece consideri gli altri due lati, quelli paralleli a y, il discorso è analogo, conta $(\partial E_y)/(\partial x)$, ma il discorso sul segno va a rovescio, quindi c'è il segno più.