Commutatore [x,p^n]

[judoca1992]

Salve,
Sto calcolando il commutatore [x,p^n]

Con il seguente calcolo
https://www.dropbox.com/s/7bw0hhv5njjpv ... 0.jpg?dl=0
Non mi trovo con il risultato : \(\displaystyle [x,p^n] = i \hbar n p^{n-1} \)
Dove sbaglio ???
Grazie a tutti

[Palliit]

Ciao. Premetto che sarebbe bene che intervenisse qualche utente più fresco di studi, comunque sbagli nel passaggio dalla terza alla quarta riga dei tuoi appunti, dove scrivi che:

$(partial^n)/(partialx^n)(x psi)=x(partial^n)/(partialx^n)psi+psi(partial^n)/(partialx^n)x$.

Tra l'altro l'ultimo termine sarebbe identicamente nullo per $n>1$.

In realtà direi che è:

$(partial^n)/(partialx^n)(x psi)=(partial^(n-1))/(partialx^(n-1))(partial)/(partial x)(x psi)=(partial^(n-1))/(partialx^(n-1))(psi+x(partial)/(partialx)psi)$.

Nelle ultime righe di questa pagina di wiki trovi la dimostrazione per induzione dell'identità $[x,p^n]=i$ \(\displaystyle \hbar \)$np^(n-1)$.

Il metodo più diretto comunque sarebbe facendo uso della: $[x,A]=i$ \(\displaystyle \hbar \)$(partial A)/(partial p)$, con $A=p^n$ ti dà subito la conclusione. Tuttavia la dimostrazione di questa (nella stessa pagina) fa uso dell'identità precedente. Quindi direi che resta buona quella per induzione.