Commutatore Spin-Momento Angolare
Sto studiando un po' di meccanica quantistica per un esame e mi sono imbattuto in un risultato che non riesco a comprendere. Premetto che il corso che ho seguito ha carattere istituzionale quindi forse è per questo che non mi è chiara questa cosa.
Considero il momento angolare orbitale [tex]\vec{L}[/tex] e il momento di spin [tex]\vec{S}[/tex] di un sistema. Questi sono entrambi dei "momenti angolari" nel senso che rispettano la regola di commutazione [tex][J_i, J_j] = \iota \varepsilon_{ijk}J_k[/tex] con [tex]\vec{J}[/tex] un momento angolare generico.
Quello che non capisco è che a me era noto il fatto che per [tex]\vec{J}[/tex] generico valevano tante altre regole di commutazione, tipo quella che definisce uno scalare (ovvero [tex]\alpha[/tex] è scalare se vale [tex][L_i, \alpha] = 0 \quad \forall i[/tex]) e quella che definisce un vettore (ovvero [tex]\vec{\beta}[/tex] è un vettore se le sue componenti seguono [tex][L_i, \beta_j] = \iota \varepsilon_{ijk}\beta_k \quad \forall i,j[/tex]). Ma ad un certo punto ho trovato scritto che le componenti del momento angolare orbitale e quelle dello spin commutano (cito il testo: [tex][L_i, S_j] = 0[/tex]). Non capisco come possa questa cosa andare di pari passo alla definizione di vettore che si dava sopra, perché se lo spin è un vettore dovrebbe commutare come [tex][L_i, S_j] = \iota \varepsilon{ijk}S_k[/tex] con un momento angolare come [tex]\vec{L}[/tex]; o viceversa visto che lo spin è un momento angolare, allora il commutatore col momento angolare orbitale che è un vettore deve essere [tex][L_i, S_j] = \iota \varepsilon{ijk}S_k[/tex].
Ringrazio già chiunque riesca ad aiutarmi con questo dubbio.
Considero il momento angolare orbitale [tex]\vec{L}[/tex] e il momento di spin [tex]\vec{S}[/tex] di un sistema. Questi sono entrambi dei "momenti angolari" nel senso che rispettano la regola di commutazione [tex][J_i, J_j] = \iota \varepsilon_{ijk}J_k[/tex] con [tex]\vec{J}[/tex] un momento angolare generico.
Quello che non capisco è che a me era noto il fatto che per [tex]\vec{J}[/tex] generico valevano tante altre regole di commutazione, tipo quella che definisce uno scalare (ovvero [tex]\alpha[/tex] è scalare se vale [tex][L_i, \alpha] = 0 \quad \forall i[/tex]) e quella che definisce un vettore (ovvero [tex]\vec{\beta}[/tex] è un vettore se le sue componenti seguono [tex][L_i, \beta_j] = \iota \varepsilon_{ijk}\beta_k \quad \forall i,j[/tex]). Ma ad un certo punto ho trovato scritto che le componenti del momento angolare orbitale e quelle dello spin commutano (cito il testo: [tex][L_i, S_j] = 0[/tex]). Non capisco come possa questa cosa andare di pari passo alla definizione di vettore che si dava sopra, perché se lo spin è un vettore dovrebbe commutare come [tex][L_i, S_j] = \iota \varepsilon{ijk}S_k[/tex] con un momento angolare come [tex]\vec{L}[/tex]; o viceversa visto che lo spin è un momento angolare, allora il commutatore col momento angolare orbitale che è un vettore deve essere [tex][L_i, S_j] = \iota \varepsilon{ijk}S_k[/tex].
Ringrazio già chiunque riesca ad aiutarmi con questo dubbio.
Risposte
La regola di commutazione che hai scritto per un operatore vettoriale vale soltanto se questo è costruito con le [tex]x[/tex] e le [tex]p[/tex]. La caratteristica dello spin è quella di non dipendere dalle coordinate e dai momenti (è un grado di libertà interno), pertanto commuta con le componenti del momento angolare.
Ok credo di essermi fatto un'idea.
Confermo quello che hai detto eredir, infatti ho trovato una ottima trattazione del problema nel libro di Cohen-Tannoudji. Quello che in realtà non mi era chiaro era che anche due operatori (e non solo due ket) possono essere definiti su spazi diversi (o meglio su sottospazi diversi dello stesso spazio di Hilbert di tutti i ket ammissibili). Un po' di conti se volete fare a meno del Cohen-Tannoudji, li trovate anche qui: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=396031
Confermo quello che hai detto eredir, infatti ho trovato una ottima trattazione del problema nel libro di Cohen-Tannoudji. Quello che in realtà non mi era chiaro era che anche due operatori (e non solo due ket) possono essere definiti su spazi diversi (o meglio su sottospazi diversi dello stesso spazio di Hilbert di tutti i ket ammissibili). Un po' di conti se volete fare a meno del Cohen-Tannoudji, li trovate anche qui: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=396031
In effetti è la stessa situazione che si presenta nel caso di un sistema composto da due particelle, dove gli operatori di momento angolare agiscono sugli spazi di Hilbert delle relative particelle.
forse se ne parla nelle dispense in questo thread(che però io non ho sottomano)
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... html#49785
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... html#49785
"robertobis":
forse se ne parla nelle dispense in questo thread(che però io non ho sottomano)
https://www.matematicamente.it/forum/loo ... tml#405710
Le leggendarie dispense dell'arca perduta...
Mi chiedo a cosa serva riesumare un thread vecchio di quattro anni, contenente riferimenti a misteriose dispense che potenzialmente potrebbero contenere informazioni riguardo l'argomento di questa discussione, quando ci sono ottimi libri in giro come il Cohen-Tannoudji che spiegano perfettamente la questione.
Senza contare che il problema era già stato risolto.
Forse sto diventando vecchio.
P.S: I primi due post del thread linkato mi danno il voltastomaco.
"Eredir":
[quote="robertobis"]forse se ne parla nelle dispense in questo thread(che però io non ho sottomano)
https://www.matematicamente.it/forum/loo ... tml#405710
Le leggendarie dispense dell'arca perduta...
Mi chiedo a cosa serva riesumare un thread vecchio di quattro anni, contenente riferimenti a misteriose dispense che potenzialmente potrebbero contenere informazioni riguardo l'argomento di questa discussione, quando ci sono ottimi libri in giro come il Cohen-Tannoudji che spiegano perfettamente la questione.
Senza contare che il problema era già stato risolto.
Forse sto diventando vecchio.
P.S: I primi due post del thread linkato mi danno il voltastomaco.[/quote]
lo so ma il libro non credo sia gratis e poi ho visto che i moderatori(sempre in quel thread) ne parlavano bene...
(inoltre da quello che ho capito riguardano anche relativita e analisi funzionale oltre a meccanica dei quanti)
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