Come trovare l'angolo di un prodotto scalare
In un problema del mio testo di fisica mi viene chiesto di trovare l'angolo del prodotto scalare di due vettori espressi con le componenti usando la formula del prodotto scalare.
Vi metto i dati del problema:
$ vec(A)=3hat(i) -2hat(j) $
$ vec(B)=4hat(i) -4hat(j) $
Io riesco a risolverlo trovando il modulo dei due vettori e usando la trigonometria calcolandomi i due angoli ed infine sottraendoli infatti:
$ A=sqrt(3^2+(-2)^2)=sqrt(13) $
$ B=sqrt(4^2+(-4)^2)=sqrt(32) $
Quindi trovo i due angoli:
$ alpha = arccos (-2/sqrt(13)) ~=arccos(-0.55)~=123.69 $
$ beta= arccos (-4/(sqrt(32))) ~=arccos(-0.71)=135 $
$ theta = beta - alpha = 135-123.69=11.31 $
Che è la soluzione corretta.
Cercando di ricavarla dal prodotto scalare invece sarei tentato di fare così:
$ vec(A)cdotvec(B)=ABcos(theta) rArr theta = arccos((vec(A)cdotvec(B))/(AB))=arccos((12hat(i)+8hat(j))/(sqrt(13)sqrt(32)) )$
Il mio problema è che non so a questo punto calcolare il valore all'interno dell'arcocoseno.
Qualcuno potrebbe aiutarmi in questo passaggio?
Vi metto i dati del problema:
$ vec(A)=3hat(i) -2hat(j) $
$ vec(B)=4hat(i) -4hat(j) $
Io riesco a risolverlo trovando il modulo dei due vettori e usando la trigonometria calcolandomi i due angoli ed infine sottraendoli infatti:
$ A=sqrt(3^2+(-2)^2)=sqrt(13) $
$ B=sqrt(4^2+(-4)^2)=sqrt(32) $
Quindi trovo i due angoli:
$ alpha = arccos (-2/sqrt(13)) ~=arccos(-0.55)~=123.69 $
$ beta= arccos (-4/(sqrt(32))) ~=arccos(-0.71)=135 $
$ theta = beta - alpha = 135-123.69=11.31 $
Che è la soluzione corretta.
Cercando di ricavarla dal prodotto scalare invece sarei tentato di fare così:
$ vec(A)cdotvec(B)=ABcos(theta) rArr theta = arccos((vec(A)cdotvec(B))/(AB))=arccos((12hat(i)+8hat(j))/(sqrt(13)sqrt(32)) )$
Il mio problema è che non so a questo punto calcolare il valore all'interno dell'arcocoseno.
Qualcuno potrebbe aiutarmi in questo passaggio?
Risposte
"barbiomalefico":
.......
Cercando di ricavarla dal prodotto scalare invece sarei tentato di fare così:
$ vec(A)cdotvec(B)=ABcos(theta) rArr theta = arccos((vec(A)cdotvec(B))/(AB))=arccos((12hat(i)+8hat(j))/(sqrt(13)sqrt(32)) ) $
Il mio problema è che non so a questo punto calcolare il valore all'interno dell'arcocoseno.
Qualcuno potrebbe aiutarmi in questo passaggio?
Ci vorrebbe una benevola tiratina di orecchie....
$vec(A)cdotvec(B) = 3*4 + 2*4 = 20 $
Il prodotto scalare...è uno scalare : la somma algebrica dei prodotti delle componenti omonime !
Non riesci ad immaginare quanto invece mi sia stata utile la tua risposta. Infatti dal libro di fisica non avevo capito il passaggio di notazione (si passava da $ 3hat(i) $a $ 3cdot4_hat(i) $ e non avevo notato che il pedice serviva ad indicare da che componente erano stati presi i valori del prodotto) ed infatti mi suonava stranissimo che uno scalare risultasse in una somma di componenti!
Allora tiriamo le orecchie, stavolta non benevolmente ma proprio con cattiveria e decisione, al tuo libro : mai notazione di prodotto scalare fu più infelice di quella che esso riporta, perche induce in errore!
Dati due vettori :
$vecA = a_xveci + a_yvecj + a_z veck$
$vecB = b_xveci + b_yvecj + b_z veck$
il loro prodotto scalare, usando le componenti, è espresso da : $ vecA*vecB = a_xb_x +a_yb_y + a_zb_z$
ed è uno scalare.
Dati due vettori :
$vecA = a_xveci + a_yvecj + a_z veck$
$vecB = b_xveci + b_yvecj + b_z veck$
il loro prodotto scalare, usando le componenti, è espresso da : $ vecA*vecB = a_xb_x +a_yb_y + a_zb_z$
ed è uno scalare.
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