Come si determina il verso di un prodotto vettoriale
Non riesco a capire ! Dicono di utilizzare la regola della mano destra ma non ho capito come XD
Chi sono i due vettori che si stanno moltiplicando e chi il risultante (tra pollice,indice e medio)?..grazie
ps : come devo disporre le dita ?
Chi sono i due vettori che si stanno moltiplicando e chi il risultante (tra pollice,indice e medio)?..grazie
ps : come devo disporre le dita ?
Risposte
Il verso di un prodotto vettoriale, non è una proprietà di questa operazione ma è una convenzione.
Considera il seguente prodotto vettoriale
\[\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\]
come sai questo vettore ha modulo \[c=ab\sin{\phi}\]
e la sua direzione è perpendicolare al piano \(\alpha\) formato dai due vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\).
Per il verso si usa la convenzione della mano destra, ovvero:
\(i)\) innanzitutto devi immaginare di ruotare il primo vettore del prodotto vettoriale sul secondo
\(ii)\) se la rotazione che vedi è antioraria significa che la punta del vettore \(\vec{c}\) viene verso di te, altrimenti la punta va nel verso opposto.
Considera il seguente prodotto vettoriale
\[\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\]
come sai questo vettore ha modulo \[c=ab\sin{\phi}\]
e la sua direzione è perpendicolare al piano \(\alpha\) formato dai due vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\).
Per il verso si usa la convenzione della mano destra, ovvero:
\(i)\) innanzitutto devi immaginare di ruotare il primo vettore del prodotto vettoriale sul secondo
\(ii)\) se la rotazione che vedi è antioraria significa che la punta del vettore \(\vec{c}\) viene verso di te, altrimenti la punta va nel verso opposto.
Ora che ti ho spiegato come "si fà" un prodotto vettoriale, utilizziamo la mano destra per visualizzarlo.
Fai una pistola con il pollice e l'indice della mano destra, il pollice lo associ al primo vettore del prodotto vettoriale mentre l'indice al secondo. Adesso "tira su" perpendicolarlmente alle altre due dita il dito medio (questo è il nostro vettore \(\vec{c}\)).
Ora ruota il polso cosi da vedere l'interno della mano. Come vedi (e come ti ho scritto sopra) il primo vettore ruota sul secondo in modo antiorario e quindi il dito medio punta verso i tuoi occhi.
Adesso ruota il polso cosi da vedere il dorso della mano, in questo caso invece vedi il primo ruotare in modo orario sul secondo, e quindi il tuo dito medio non punta verso i tuoi occhi ma dall'altra parte.
Fai una pistola con il pollice e l'indice della mano destra, il pollice lo associ al primo vettore del prodotto vettoriale mentre l'indice al secondo. Adesso "tira su" perpendicolarlmente alle altre due dita il dito medio (questo è il nostro vettore \(\vec{c}\)).
Ora ruota il polso cosi da vedere l'interno della mano. Come vedi (e come ti ho scritto sopra) il primo vettore ruota sul secondo in modo antiorario e quindi il dito medio punta verso i tuoi occhi.
Adesso ruota il polso cosi da vedere il dorso della mano, in questo caso invece vedi il primo ruotare in modo orario sul secondo, e quindi il tuo dito medio non punta verso i tuoi occhi ma dall'altra parte.
se la rotazione che vedi è antioraria significa che la punta del vettore c⃗ viene verso di te, altrimenti la punta va nel verso opposto.
Ecco,questo punto mica l'ho capito o comunque credo di avere dei dubbi..quand'è ,nello specifico,che la rotazione sarà antioraria ? Per sovrapporre i due vettori devo percorrere la strada minore (l'angolo minore) ? Se fosse così ,per angoli compresi tra 0 e pi greco avrei un verso..altrimenti l'altro!
sbagliato,vero?
edit : per la mano destra ho capito però non vedo come può aiutarmi negli esercizi ..cioè,dal punto di vista dei numeri,come lo determino sto benedetto verso ?
Allora per angolo intendiamo sempre la parte minore di piano. (anche perchè nell'esempio della mano non credo che tu possa ruotare il pollice "lungo" l'angolo maggiore 
)
Per quanto riguarda gli esercizi, dal punto di vista "dei numeri" come dici tu, non ha senso, perchè un verso è un verso e non un numero. Non sò cosa studi e a che livello sei, perciò non so quali esempi farti.
)Per quanto riguarda gli esercizi, dal punto di vista "dei numeri" come dici tu, non ha senso, perchè un verso è un verso e non un numero. Non sò cosa studi e a che livello sei, perciò non so quali esempi farti.
Livello principiante,primo anno di fisica (analisi 1 data ma geometria abbandonata ;di quella non so una ceppa!).Sì,non intendo dire che voglio associare un numero al verso ma solo dedurlo dai dati del problema ossia dal valore degli angoli etc..
Ho capito che è una convenzione ma che ci faccio ?
Ho capito che è una convenzione ma che ci faccio ?
"Umbreon93":
Sì,non intendo dire che voglio associare un numero al verso ma solo dedurlo dai dati del problema ossia dal valore degli angoli
Se questo può "consolarti", posso assicurarti che la tua difficoltà è molto comune tra i principianti
Il consiglio che ti do è questo: mettiti l'anima in pace, perché il metodo della mano destra, per quanto possa sembrarti "artigianale", è assolutamente rigoroso e viene usato normalmente anche "dagli esperti". Come ti ha già detto Cuspide83, un verso è un verso e non lo puoi "calcolare". Ovviamente, la regola della mano destra ti dà la direzione ed il verso del vettore risultato rispetto agli altri due vettori. Altro problema, invece, è quello di determinare le coordinate (rispetto ad un dato sistema di assi cartesiani) del vettore risultato, a partire dalle coordinate cartesiane dei vettori da moltiplicare. Una volta che hai le coordinate rispetto a degli assi, allora puoi calcolarti tutti gli angoli che ti pare che il tuo vettore risultato forma con gli assi coordinati. Se hai le coordinate di $\vec a$ e di $\vec b$, allora $\vec c$ lo ottieni dal seguente determinante simbolico calcolato con il metodo dello sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga (consiglio: dai geometria prima possibile (e studiala bene!) perché in fisica te la ritroverai tra i piedi ad ogni passo 
)\begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}
Quindi:
\(\displaystyle \vec c =(a_yb_z-a_zb_y)\hat x-(a_xb_z-a_zb_x)\hat y+(a_xb_y-a_yb_x)\hat z \)
Umbreon,
la famosa "regola della mano destra" da tutti propugnata come ineccepibile può indurre in errore, se non sai bene come adoperarla e quale dito associare a quale vettore. È un casino inizialmente, te lo garantisco.
Allora , prova ad adottare il metodo "del vigile urbano", che ti spiego.
Dati due vettori $veca$ e $vecb$ , devi calcolare il vettore prodotto vettoriale : $vecc = veca\timesvecb$.
Allora immagina di disegnare i due vettori dati $veca$ e $vecb$ sul pavimento, a partire da uno stesso punto, nell'ordine detto,cioè prima $veca$ e poi $vecb$. Tra loro c'è un angolo $\alpha$ minore di $180º$; mettiti in piedi sopra il punto origine di due vettori, col braccio destro parallelo al vettore $veca$ e il braccio sinistro parallelo al vettore $vecb$: lo puoi fare, perché tu puoi allargare le braccia al massimo di $180º$.
Ora, ruota il braccio destro ($veca$) fino a sovrapporlo al braccio sinistro ($vecb$), davanti a te ovviamente ( a meno che tu non voglia spezzarti le braccia rotandole dietro la schiena, ma non penso, e non potresti).
La rotazione del braccio destro che si sovrappone al sinistro, vista dalla parte dei tuoi occhi, è antioraria.
Il verso del vettore $vecc$ , prodotto vettoriale dei due vettori dati, è il verso che va dai tuoi piedi verso la tua testa.
Ora capisci perchè ho detto : "Metodo del vigile urbano" ? È come il pizzardone che dirige il traffico.
la famosa "regola della mano destra" da tutti propugnata come ineccepibile può indurre in errore, se non sai bene come adoperarla e quale dito associare a quale vettore. È un casino inizialmente, te lo garantisco.
Allora , prova ad adottare il metodo "del vigile urbano", che ti spiego.
Dati due vettori $veca$ e $vecb$ , devi calcolare il vettore prodotto vettoriale : $vecc = veca\timesvecb$.
Allora immagina di disegnare i due vettori dati $veca$ e $vecb$ sul pavimento, a partire da uno stesso punto, nell'ordine detto,cioè prima $veca$ e poi $vecb$. Tra loro c'è un angolo $\alpha$ minore di $180º$; mettiti in piedi sopra il punto origine di due vettori, col braccio destro parallelo al vettore $veca$ e il braccio sinistro parallelo al vettore $vecb$: lo puoi fare, perché tu puoi allargare le braccia al massimo di $180º$.
Ora, ruota il braccio destro ($veca$) fino a sovrapporlo al braccio sinistro ($vecb$), davanti a te ovviamente ( a meno che tu non voglia spezzarti le braccia rotandole dietro la schiena, ma non penso, e non potresti).
La rotazione del braccio destro che si sovrappone al sinistro, vista dalla parte dei tuoi occhi, è antioraria.
Il verso del vettore $vecc$ , prodotto vettoriale dei due vettori dati, è il verso che va dai tuoi piedi verso la tua testa.
Ora capisci perchè ho detto : "Metodo del vigile urbano" ? È come il pizzardone che dirige il traffico.
"navigatore":
la famosa "regola della mano destra" da tutti propugnata come ineccepibile può indurre in errore, se non sai bene come adoperarla e quale dito associare a quale vettore
bè, qualsiasi regola, se non sai bene come usarla, induce in errore. E non mi pare che quella della mano destra (in una qualsiasi delle sue diverse varianti) sia più complicata di altre ed in particolare di quella del vigile urbano. Anzi, quella del vigile urbano costringe a ruotare mentalmente la posizione del proprio corpo rispetto al foglio mentre la mano può essere ruotata "dal vero" e quindi basta guardarla.
"navigatore":
Allora immagina di disegnare i due vettori dati sul pavimento, a partire da uno stesso punto, nell'ordine detto,cioè prima $\vec a$ e poi $\vec b$
Osserva che non puoi decidere tu l'ordine in cui disegnare i vettori, poiché quello in genere è un dato del problema. Tu puoi solo decidere se metterti in piedi sul foglio, oppure metterti capovolto, cioè con i piedi sul foglio (dal lato che tocca il tavolo) e con la testa verso il pavimento (assumendo che il foglio sia parallelo al pavimento): la posizione va scelta in modo che sia possibile mettere le braccia come hai detto (destro lungo il primo vettore e sinistro lungo il secondo); a quel punto, il vettore risultato va dai piedi alla testa.
"mathbells":
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[quote="navigatore"]Allora immagina di disegnare i due vettori dati sul pavimento, a partire da uno stesso punto, nell'ordine detto,cioè prima $ \vec a $ e poi $ \vec b $
Osserva che non puoi decidere tu l'ordine in cui disegnare i vettori, poiché quello in genere è un dato del problema.[/quote]
Certo che è un dato del problema! Che cosa ovvia! Se devi calcolare $veca\times\vecb$ devi prendere $veca$ come primo vettore, e $vecb$ come secondo vettore. E questo vale sia con le dita della famosa mano destra che con le braccia. Non succede così "in generale", succede sempre, poichè il prodotto vettoriale è anticommutativo : $veca\times\vecb = - \vecb\times\veca$
Tu puoi solo decidere se metterti in piedi sul foglio, oppure metterti capovolto, cioè con i piedi sul foglio (dal lato che tocca il tavolo) e con la testa verso il pavimento (assumendo che il foglio sia parallelo al pavimento):....
"In generale" io quando mi metto in piedi per camminare metto i piedi a terra e la testa in aria. Ho chiaramente specificato : " disegna i vettori sul pavimento, prima $veca$ e poi $vecb$, e mettiti in piedi sopra il punto origine di entrambi". È una importante premessa operativa, ovvio.
Per fare un paragone con la regola della mano destra, è ovvio che non dico :"osserva la tua mano destra riflessa in uno specchio...." , ma dico : " guardala direttamente" , poichè la destra diventerebbe sinistra nell'immagine riflessa dallo specchio.
la posizione va scelta in modo che sia possibile mettere le braccia come hai detto (destro lungo il primo vettore e sinistro lungo il secondo); a quel punto, il vettore risultato va dai piedi alla testa.
Mi sembra di aver detto proprio questo. Se si fanno osservazioni, dovrebbero essere costruttive. Altrimenti incasiniamo ancor di più uno studente incasinato.
Adesso vorrei capire se Umbreon è in grado di calcolare correttamente la velocità tangenziale di un moto circolare : $vecv = vec\omega\times\vecr$
Al di la di ogni spiegazione a parole, credo che questo concetto, come molti altri, sia necessario chiarirlo tramite un'immagine.
Per il momento ho trovato questa (immagine di destra, quella con le dita della mano piegate):
http://www.cpdm-td.unina.it/ud/induz-el/ManoDx.jpg
la quale rappresenta il prodotto vettoriale:
$vecv\timesvecB =\vecF$.
A parole: metto la mano destra aperta in direzione del primo vettore che compare nel prodotto vettoriale (in questo caso $\vecv$), così come rappresentato nella figura in cui si può notare come le dita siano dritte e tutte parallele a $\vecv$. Piego le dita e il palmo della mano verso il secondo vettore che compare nel prodotto vettoriale ($\vecB$). A questo punto, il verso del vettore che ottengo è dato dal pollice: siccome il pollice è verso l'alto, il vettore $vecF$ sarà anch'esso rivolto verso l'alto.
@Umbreon93, se invece il prodotto vettoriale fosse stato:
$vecB\timesvecv =\vecF$
riesci a capire come avresti dovuto posizionare la mano?
Per il momento ho trovato questa (immagine di destra, quella con le dita della mano piegate):
http://www.cpdm-td.unina.it/ud/induz-el/ManoDx.jpg
la quale rappresenta il prodotto vettoriale:
$vecv\timesvecB =\vecF$.
A parole: metto la mano destra aperta in direzione del primo vettore che compare nel prodotto vettoriale (in questo caso $\vecv$), così come rappresentato nella figura in cui si può notare come le dita siano dritte e tutte parallele a $\vecv$. Piego le dita e il palmo della mano verso il secondo vettore che compare nel prodotto vettoriale ($\vecB$). A questo punto, il verso del vettore che ottengo è dato dal pollice: siccome il pollice è verso l'alto, il vettore $vecF$ sarà anch'esso rivolto verso l'alto.
@Umbreon93, se invece il prodotto vettoriale fosse stato:
$vecB\timesvecv =\vecF$
riesci a capire come avresti dovuto posizionare la mano?
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