Come mai la rotazione è una trasfromazione di simmetria?
Faccio riferimento a queste lezioni di fisica https://www.ge.infn.it/~zanghi/FT/ZUM.pdf
A pagina 79 l'autore dice:
“Le equazioni del moto hanno una simmetria, se le soluzioni delle equazioni, quando sono trasformate secondo la simmetria, sono ancora soluzioni delle equazioni del moto, vale a dire, si ha una simmetria se le equazioni trasformate hanno la stessa forma delle equazioni originarie.”
Dunque da quello che ho capito di questa frase una trasformazione è di simmetria se lascia le equazioni di moto invariate, ad esempio una traslazione $q_i\rightarrow q_i+\deltaq_i$ lascia invariata la Lagrangiana il che è condizione sufficiente per dire che le equazioni del moto restano le stesse.
Se però nel piano applico una rotazione al sistema fisico le equazioni del moto cambiano.
Per esempio, consideriamo un punto di massa $m$ nel piano che subisce una forza in direzione y, le equazioni del moto sono:
$$m \ddot y= F$$
$$m\ddot x=0$$
Ora se io ruoto il sistema fisico di un angolo $\phi$ secondo la regola della mano destra le equazioni del moto diventano:
$$m \ddot y=Fcos\phi$$
$$m\ddot x=-Fsen\phi$$
Come mai allora diciamo che la rotazione è una trasformazione di simmetria per la dinamica del sistema?
Grazie in anticipo
A pagina 79 l'autore dice:
“Le equazioni del moto hanno una simmetria, se le soluzioni delle equazioni, quando sono trasformate secondo la simmetria, sono ancora soluzioni delle equazioni del moto, vale a dire, si ha una simmetria se le equazioni trasformate hanno la stessa forma delle equazioni originarie.”
Dunque da quello che ho capito di questa frase una trasformazione è di simmetria se lascia le equazioni di moto invariate, ad esempio una traslazione $q_i\rightarrow q_i+\deltaq_i$ lascia invariata la Lagrangiana il che è condizione sufficiente per dire che le equazioni del moto restano le stesse.
Se però nel piano applico una rotazione al sistema fisico le equazioni del moto cambiano.
Per esempio, consideriamo un punto di massa $m$ nel piano che subisce una forza in direzione y, le equazioni del moto sono:
$$m \ddot y= F$$
$$m\ddot x=0$$
Ora se io ruoto il sistema fisico di un angolo $\phi$ secondo la regola della mano destra le equazioni del moto diventano:
$$m \ddot y=Fcos\phi$$
$$m\ddot x=-Fsen\phi$$
Come mai allora diciamo che la rotazione è una trasformazione di simmetria per la dinamica del sistema?
Grazie in anticipo
Risposte
Sì ma in base al sistema le cose cambiano. Dici "se io ruoto il sistema"...ma rispetto a cosa stai ruotando? Un corpo che viene spinto lungo una certa direzione fissa avrà simmetria per rotazioni attorno a quella direzione . Quindi se volevi verificare questa simmetria in quel caso la rotazione dovevi farla attorno ad y e quindi le componenti da proiettare erano x e z che però erano nulle prima e saranno nulle dopo la rotazione.
Lo spazio tridimensionale è omogeneo e isotropo ; lasciamo stare effetti general-relativistici.
Metti una palla bianca sul tavolo davanti a te , e chiudi gli occhi. Un tuo amico ruota la palla davanti a te. Quando riapri gli occhi, ti accorgi che qualcosa è cambiato?
Metti una palla bianca sul tavolo davanti a te , e chiudi gli occhi. Un tuo amico ruota la palla davanti a te. Quando riapri gli occhi, ti accorgi che qualcosa è cambiato?
"Nikikinki":
Sì ma in base al sistema le cose cambiano. Dici "se io ruoto il sistema"...ma rispetto a cosa stai ruotando? Un corpo che viene spinto lungo una certa direzione fissa avrà simmetria per rotazioni attorno a quella direzione . Quindi se volevi verificare questa simmetria in quel caso la rotazione dovevi farla attorno ad y e quindi le componenti da proiettare erano x e z che però erano nulle prima e saranno nulle dopo la rotazione.
Nel mio esempio ruoto tutto il sistema fisico, che si presuppone essere un sistema fisico isolato, quindi certamente ogni rotazione è una trasformazione di simmetria.
"Shackle":
Lo spazio tridimensionale è omogeneo e isotropo ; lasciamo stare effetti general-relativistici.
Metti una palla bianca sul tavolo davanti a te , e chiudi gli occhi. Un tuo amico ruota la palla davanti a te. Quando riapri gli occhi, ti accorgi che qualcosa è cambiato?
La spiegazione fisica intuitiva mi è già chiara, anche perché ruotare un sistema isolato è come ruotare l'osservatore in senso contrario. Il mio problema sta nel comprendere come la definizione matematica che ho citato si applichi in questo caso.
"simonebarreca":
Nel mio esempio ruoto tutto il sistema fisico, che si presuppone essere un sistema fisico isolato, quindi certamente ogni rotazione è una trasformazione di simmetria.
A questo punto ti chiederei di dimostrare questa affermazione. Nel tuo esempio hai eseguito una rotazione nel piano xy, cioè attorno a z, in senso antiorario, di un angolo $\phi$. Ma il sistema non è invariante per rotazioni attorno a z se mi metti una forza diretta come y. Non è che ogni sistema è sempre invariante sotto rotazioni. Un vero sistema isolato lo sarebbe, non essendoci forze esterne agenti, una qualunque rotazione non cambia le equazioni del moto. Come puoi definire sistem isolato uno su cui agisce una forza esterna?
Se guardi le equazioni che ho scritto ho ruotato anche la forza infatti
Che risposta sarebbe? Hai ruotato il sistema di riferimentoe trovato le componenti nuove della forza . Ovviamente se ruoti tutto in modo rigido qualunque cosa sarebbe simmetrica. Le rotazioni sono fatte sui sistemi di riferimento non sia su essi che sui corpi e campi oresenti.Dopo aver ruotato il sistema di riferimento, calcoli le nuove componenti e vedi se la fisica è uguale a prima o no. E comunque ancora non mi hai spiegato come un sistema soggetto ad una forza esterna sia isolato.
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