Come il pendolo
L'avete presente un pendolo?Bene...Se il filo a cui è attaccata la pallina è inestensibile la pallina segue una traiettoria circolare.Se il filo è elastico qual'è la traiettoria?E soprattutto qualìè il lavoro ke la forza elastica svolge se la pallina spazza un angolo $alpha$(pretendo gli integrali per trovare il lavoro)
Risposte
"JvloIvk":E perché mai?
...(pretendo gli integrali per trovare il lavoro)
Se per "forza elastica" intendi una forza F che, analogamente alle molle, segue la legge F=-kx (con x la grandezza posizione e k costante dimensionata), alora basta calcolarsi glo allungamenti nella posizione in cui l'angolo è massimo e quella in cui è nullo (allungamento massimo, dovuto alla massima velocità), e calcolarsi la differenza di energia elastica corrispondente.
Se il moto è sufficientemente lento (angolo piccolo e/o filo lungo) il tutto dovrebbe essere sufficinete a calcolarsi il lavoro richiesto.
Però "ripensandoci" credo che siano invece necessari non solo l'gli integrali, ma anche le equazioni differenziali, perché nono ho la sicurezza né che nel punto di massima ampiezza (e velocità nulla) la pallina sia in equilibrio statico (anzi: come una pallin aattacata ad una molla oscilla in su e in giù, così la posizione della pallina, nel punto in cui si ferma, è più alta di quella dell'equilibrio statico (e questo semplicemnte "per inerzia")), né che lo sia nel punto di angolo nullo e velocità massima (dove la pallina è un po' più bassa del punto di equilibrio statico).
E ripensandoci ancora ho idea che in realtà le cose siano abbastanza complicate (anche per piccoli angoli), perché il periodo di oscillazione del pendolo, e quindi quello in cui il pendolo passa dalla massima alla minima lunghezza e viceversa, dipende, per piccolissimi angoli, quasi esclusivamente dalla lunghezza iniziale dl pendolo, e in generale, fissato il "k", dall'ampiezza delle oscillazioni, mentre il periodo di oscillazione della molla "dovrebbe" dipendere quasi esclusivamente dal coefficiente k del filo.
La traiettoria e' molto complicata da trovare (ma penso che si tratti di un moto circolare composto con uno armonico), ma se non c'e' attrito il lavoro della forza elastica dovrebbe essere nullo visto che la forza elastica e' conservativa e il moto e' periodico.
*** EDIT ***
Ovviamente si intende il lavoro compiuto nel corso di un intero ciclo...
*** EDIT ***
Ovviamente si intende il lavoro compiuto nel corso di un intero ciclo...
"david_e":Non ne sarei così convinto, come ho già detto sopra (ultimo punto), e poi mi pare anche di "figuramelo" bene: pensa ad una molla che oscilla con periodo di 1 s e che "dondola (pendolo) con periodo che non e è un multiplo (tu, da matematico, pensa ad un periodo irrazionale).
... e il moto e' periodico. ...
Risolvere il problema è molto semplice:
Considera un asta rigida libera di ruotare su cui una massa m è vincolata a scorrere mentre è collegara al centro di rotazione da una molla di costante elastica k.
Basta che ti scrivi le Lagrangiane del sistema e otterrai 2 equazioni differenziali del 2° ordine in due variabili. Note le condizioni inizali (quelle che preferisci) risolvi e trovi la soluzione.
Se consideri oscillazioni in piccolo, le equazioni saranno effettivamente entrambe del 2° ordine lineari, mentre se consideri oscillazioni in grande otterrai delle ODE non lineari che puoi comunque integrare numericamente senza problemi.
Purtroppo non ho proprio il tempo di fare i calcoli, ma ti garantisco che sono tutt'altro che difficili.
Considera un asta rigida libera di ruotare su cui una massa m è vincolata a scorrere mentre è collegara al centro di rotazione da una molla di costante elastica k.
Basta che ti scrivi le Lagrangiane del sistema e otterrai 2 equazioni differenziali del 2° ordine in due variabili. Note le condizioni inizali (quelle che preferisci) risolvi e trovi la soluzione.
Se consideri oscillazioni in piccolo, le equazioni saranno effettivamente entrambe del 2° ordine lineari, mentre se consideri oscillazioni in grande otterrai delle ODE non lineari che puoi comunque integrare numericamente senza problemi.
Purtroppo non ho proprio il tempo di fare i calcoli, ma ti garantisco che sono tutt'altro che difficili.
"infinito":Non ne sarei così convinto, come ho già detto sopra (ultimo punto), e poi mi pare anche di "figuramelo" bene: pensa ad una molla che oscilla con periodo di 1 s e che "dondola (pendolo) con periodo che non e è un multiplo (tu, da matematico, pensa ad un periodo irrazionale).[/quote]
[quote="david_e"]... e il moto e' periodico. ...
Hai perfettamente ragione! Ho risposto un po' superficialmente forse!
PS: Per Marco83
La soluzione forse si potrebbe ancora semplificare aggiungendo l'ipotesi che la forza di richiamo della molla sia sempre normale al moto. In questo caso scomponendo lungo la direzione tangente e normale si "disaccoppierebbe" il problema in due sotto problemi: uno che ha evidentemente come soluzione un moto armonico, l'altro una combinazione di seni e coseni (nel caso $\theta$ piccolo) o una funzione un po' piu' complicata (ma con un problema comunque riconducibile alle quadrature)...
Ti sembra una ipotesi sensata?
Quell'ipotesi l'ho fatta nel dire che la massa rimane vincolata a scorrere lungo l'asta essendo collegata da una molla al centro di rotazione.
Il fatto è che se consideri oscillazioni in piccolo ottieni equazioni lineari e puoi disaccoppiare il sistema, mentre se consideri oscillazioni in grande il problema diventa non lineare e le equazioni restano accoppiate.
Il fatto è che se consideri oscillazioni in piccolo ottieni equazioni lineari e puoi disaccoppiare il sistema, mentre se consideri oscillazioni in grande il problema diventa non lineare e le equazioni restano accoppiate.
Ah scusa non avevo capito bene il tuo sistema! Quindi l'asta e la molla sono attaccate al soffitto con la medesima cerniera? Cioe' le spire della molla sono tutte avvolte sull'asta!
Comunque, ripensandoci, io non credo che questa ipotesi possa considerarsi valida anche per oscillazioni in regime non lineare. Infatti e' chiaro che per grandi oscillazioni il filo elastico su cui e' attaccato il peso finisce per incurvarsi nella direzione del moto...
Comunque se ho tempo poi provo a scrivere il sistema completo usando le equazioni per i fili elastici e anche il sistema con la lagrangiana per il caso molla-asta. Cosi' proviamo a cavare fuori qualche informazione dalle equazioni senza star li a risolverle...
Comunque, ripensandoci, io non credo che questa ipotesi possa considerarsi valida anche per oscillazioni in regime non lineare. Infatti e' chiaro che per grandi oscillazioni il filo elastico su cui e' attaccato il peso finisce per incurvarsi nella direzione del moto...
Comunque se ho tempo poi provo a scrivere il sistema completo usando le equazioni per i fili elastici e anche il sistema con la lagrangiana per il caso molla-asta. Cosi' proviamo a cavare fuori qualche informazione dalle equazioni senza star li a risolverle...
Il problema è che se non ti accontenti dell'approssimazione asta-molla, il sistema diventa veramente complicato, in quanto un filo è un vincolo non olonomo e per questi tipi di vincoli la formulazione classica della lagrangiana non vale più.
Detto in parole povere, per allungamenti positivi del filo, la massa sente una forza attrattiva che la richiama verso la condizione di filo scarico, mentre per allungamenti negativi non vi è alcuna forza, perciò non puoi più relazionare la posizione della massa ad un potenziale elastico.
La descrizione matematica di un problema del genere va oltre le mie capacità attuali.
Detto in parole povere, per allungamenti positivi del filo, la massa sente una forza attrattiva che la richiama verso la condizione di filo scarico, mentre per allungamenti negativi non vi è alcuna forza, perciò non puoi più relazionare la posizione della massa ad un potenziale elastico.
La descrizione matematica di un problema del genere va oltre le mie capacità attuali.
Si ho provato a usare le equazioni indefinite di moto per i continui unidimensionali con la relazione costitutiva lineare per il filo elastico:
$ vec t = T_0 | (\partial s)/(\partial x) | vec \tau $
E mi e' venuto fuori una equazione alle derivate parziali non lineare con condizioni al bordo miste Neumann-Dirichlet-Cauchy!
Sta sera magari provo a scrivere le equazioni usando come incognita $\theta(s)$ l'angolo con la verticale formato dal filo nel punto $s$ per vedere se esistono soluzioni con:
$\theta' \approx 0$
Se siamo fortunati magari si riesce a concludere che esiste una soluzione modellizabile con l'approssimazione asta-molla.
$ vec t = T_0 | (\partial s)/(\partial x) | vec \tau $
E mi e' venuto fuori una equazione alle derivate parziali non lineare con condizioni al bordo miste Neumann-Dirichlet-Cauchy!
Sta sera magari provo a scrivere le equazioni usando come incognita $\theta(s)$ l'angolo con la verticale formato dal filo nel punto $s$ per vedere se esistono soluzioni con:
$\theta' \approx 0$
Se siamo fortunati magari si riesce a concludere che esiste una soluzione modellizabile con l'approssimazione asta-molla.
Con l'approssimazione asta molla una soluzione esiste ed è anche facile da trovare!
Il punto è che se invece consideri un filo, che è un vincolo non olonomo, io non conosco gli strumenti matematici che servono per derivarne le equazioni del moto
Il punto è che se invece consideri un filo, che è un vincolo non olonomo, io non conosco gli strumenti matematici che servono per derivarne le equazioni del moto
Si lo so, ma volevo vedere se questa approssimazione era giustificabile a partire dalle equazioni "esatte" della meccanica dei fili elastici.
Purtroppo non sono riuscito a cavare un ragno dal buco! Perfino nel caso dei fili inestensibili in cui si puo' descrivere la forma del filo dando un punto e l'angolo in funzione dell'ascissa curvilinea con l'asse verticale non sono riuscito ad ottenere una bella equazione del tipo:
$ (\partial \theta)/(\partial s) f(s,\theta,\theta_(yy),\theta_(tt))=0 $
Che ci avrebbe detto che esistono soluzioni con $\theta$ indipendente dall'ascissa curvilinea! Sono saltate fuori parecchie brutte equazioni alle derivate parziali piene di seni e coseni di $\theta$... A quel punto la probabilita' di sbagliare era 1 e ho lasciato perdere...
Bisognerebbe riprovare e tentare coi fili elastici usando la descrizione Lagrangiana e scrivendo tutte le equazioni vettoriali.... Cercando soluzioni con il filo rettilineo.
Non e' detto che sia impossibile!
Tuttavia ho gia' abbastanza da studiare per i miei corsi ufficiali e non ho molto tempo da dedicare a questo....
*** EDIT ***
L'ultimo $\theta$ nella $f$ dovrebbe essere derivato 2 volte risptto a t, ma la formula non viene visualizzata correttamente....
Purtroppo non sono riuscito a cavare un ragno dal buco! Perfino nel caso dei fili inestensibili in cui si puo' descrivere la forma del filo dando un punto e l'angolo in funzione dell'ascissa curvilinea con l'asse verticale non sono riuscito ad ottenere una bella equazione del tipo:
$ (\partial \theta)/(\partial s) f(s,\theta,\theta_(yy),\theta_(tt))=0 $
Che ci avrebbe detto che esistono soluzioni con $\theta$ indipendente dall'ascissa curvilinea! Sono saltate fuori parecchie brutte equazioni alle derivate parziali piene di seni e coseni di $\theta$... A quel punto la probabilita' di sbagliare era 1 e ho lasciato perdere...
Bisognerebbe riprovare e tentare coi fili elastici usando la descrizione Lagrangiana e scrivendo tutte le equazioni vettoriali.... Cercando soluzioni con il filo rettilineo.
Non e' detto che sia impossibile!
Tuttavia ho gia' abbastanza da studiare per i miei corsi ufficiali e non ho molto tempo da dedicare a questo....
*** EDIT ***
L'ultimo $\theta$ nella $f$ dovrebbe essere derivato 2 volte risptto a t, ma la formula non viene visualizzata correttamente....
Se ho un pendolo di lunghezza $l$ e un angolo di partenza $\theta_0$, il testo mi dice "Quando l'ampiezza delle oscillazioni non è piccola il moto è ancora periodico, ma non armonico, e il periodo $T'$dipende dall'ampiezza; detta $∆T=T'-T$ la differenza tra periodo vero e quello $T=sqrt(\frac{l}{g})$ si ha che $∆T/T$ in funzione di $\theta_0$ fino al valore di $\theta_0=90°$, dove $T'=1.16T$"
Non capisco perché il moto è ancora periodico e da dove esce quell'$1.16$.
È urgente per favore
Edit scusate ho sbagliato
Non capisco perché il moto è ancora periodico e da dove esce quell'$1.16$.
È urgente per favore
Edit scusate ho sbagliato
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