Come funziona una carrucola con Inerzia?

[Zkeggia]

Salve, volevo sapere, se ho due corpi, di masse diverse $m_1, m_2$ attaccati tramite fune inestensibile ad una carrucola saldata al soffitto che ha un momento di inerzia $I$ e raggio $r$, come determino ad esempio la reazione vincolare del soffitto e la velocità con cui il corpo più leggero arriva a terra se parte da altezza $h$?

Non riesco a capire come implementare il fatto che la carrucola abbia un'inerzia, ho pensato di ragionare sui punti in cui la fune tocca la carrucola, supponendo che rimangano fermi durante il moto, però non sono giunto a niente di concreto (non so che formule impiegare)... mi serve una mano che non ci sto capendo niente grazie.

[strangolatoremancino]

Posso aiutarti dicendoti che la tensione della fune nei due capi in cui "tocca" la carrucola, e quindi anche i valori della tensione applicata ai due corpi, assume due valori diversi. Questo non succede nel caso ideale della carrucola priva di massa, ma in questo caso avendo un momento di inerzia non nullo ed un'accelerazione angolare (funzione dell'accelarazione lineare dei due corpi e del suo raggio, imponendo naturalmente che la fune non strisci sulla carrucola) deve ovviamente avere un momento torcente non nullo, ovvero valori diversi della tensione nei due punti di cui sopra.

[Zkeggia]

Ma nel diagramma di corpo libero, metto nel punto in cui la fune "tocca" la carrucola il peso della prima massa verso il basso e verso l'alto la tensione, stessa cosa per l'altro punto, cioè verso il basso il peso della seconda massa e verso l'alto la tensione? E' giusto partire così?

[strangolatoremancino]

"Zkeggia":Ma nel diagramma di corpo libero, metto nel punto in cui la fune "tocca" la carrucola il peso della prima massa verso il basso e verso l'alto la tensione, stessa cosa per l'altro punto, cioè verso il basso il peso della seconda massa e verso l'alto la tensione? E' giusto partire così?

Non credo, penso che sia così:

Alla massa $m_1$ è applicato il peso di $m_1$verso il basso e la tensione $T_1$ della fune verso l'alto;

all'altro capo del primo tratto di fune (quello che collega $m_1$ alla carrucola), cioè il punto in cui la fune tocca la carrucola abbiamo la tensione $T_1$ applicata verso il basso;

Alla massa $m_2$ è applicato il peso di $m_2$ verso il basso e la tensione $T_2$ della fune verso l'alto;

all'altro capo di questo secondo tratto di fune (quello che collega $m_2$ alla carrucola), cioè il punto in cui la fune tocca la carrucola abbiamo la tensione $T_2$ applicata verso il basso.

Sapendo questo ti scrivi quattro equazioni; due sono la seconda legge della dinamica per i due blocchi, una è l'espressione rotazionale della seconda legge per la carrucola e l'ultima è la condizione che la corda non strisci sulla carrucola.

Hai così un sistema di 4 equazioni nelle incognite $T_1$, $T_2$, $a$ e $alpha$

Per la reazione vincolare del soffitto credo sia semplicemente la somma delle due forze peso, ma su questo sono meno sicuro che sul resto

P.S. Ma il problema dice proprio "e la velocità con cui il corpo più leggero arriva a terra..." ?

[Zkeggia]

Scusa ma che cosa intendi per l'espressione rotazionale della carrucola? cioè, intendi che il momento delle forze esterne è pari al prodotto di inerzia e accelerazione angolare? se è così trovo:

$Ialpha = T_1 x r - T_2 x r$

e la condizione che la corda non strisci sulla carrucola è che $v_c.m + w x r = v_p$ che derivata mi da:

$alpha x r = a$

Potrebbe andare?
(comunque è la velocità con cui il corpo più peso cade per terra, scusami!)

[strangolatoremancino]

Sì esatto , cioè esatto per me

[Zkeggia]

oook ti ringrazio molto.

Ehm, già che ci sei potresti controllare l'esattezza di questo ragionamento più semplice per un problema simile?

In pratica ho un disco di raggio r e di spessore trascurabile attorno a cui è avvolto un filo inestensibile di massa trascurabile e spessore pure. Si tiene ferma l'estremità liberà del filo e si lascia il disco libero di cadere sotto l'azione del peso, quant'è l'accelerazione del centro di massa?

Allora applico i ragionamenti che se valgono per il problema appena risolto varranno più o meno anche per questo!

intanto scrivo:

$ma_(cm) = -mg + T$
Ora scrivo la seconda cardinale:

$Ialpha = r x t$

e impongo la condizione che il filo non strisci, che poi è la condizione di puro rotolamento, e cioè:
$v_p = v_(cm) + w x r$
derivando
$a_p = a_(cm) + alphaxr$

ok le ho applicate tutte, però ho 4 incognite!!! ($alpha, T, a$ e $a_p$) mi manca un vincolo! che faccio?

[strangolatoremancino]

"Zkeggia":

e impongo la condizione che il filo non strisci, che poi è la condizione di puro rotolamento, e cioè:
$v_p = v_(cm) + w x r$
derivando
$a_p = a_(cm) + alphaxr$

secondo me la condizione di "non strisciamento" è ancora una volta $a_(cm) = alphaxr$: in pratica in ogni istante il punto in cui la corda "lascia" il disco è a riposo (è come il punto di contatto tra un corpo che rotola senza strisciare su di una superficie), ciò significa che in ogni istante $v_(cm)=omega x r$ e quindi da cui la nostra condizione $a_(cm) = alphaxr$

Inoltre, se scegli come verso positivo il verso della tensione, cioè verso l'alto, abbiamo che

$-m*a_(cm)=-mg+T$


comunque non ne sono sicuro..

[Zkeggia]

cioè è lecito considerare che il punto in cui la corda lascia il disco abbia velocità nulla? Beh in effetti di fatto la fune non si muove, quindi la sua velocità è nulla, credo. Punto un po' incasinato però se faccio così il risultato torna come sul libro quindi penso sia questo il metodo, ti ringrazio ancora!

[strangolatoremancino]

Prego!