Come faccio a capire che un campo è conservativo?
Sia data una forza F, di cui sono note le componenti (che dipendono dalla terna cartesiana x, y, z). Come faccio a stabilire se il campo è conservativo?
Ovviamente so che un campo è conservativo se il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita, ma soltanto dal punto di partenza e di arrivo, però una condizione del genere mi è di poco aiuto nel caso io abbia le componenti della forza e debba stabilire la conservatività del campo...
Ora io so che se il campo è conservativo allora la forza è il gradiente dell'energia potenziale. Di qui derivo una seconda volta le componenti del gradiente e applico (sotto quali condizioni? lo posso fare sempre?) il teorema di inversione dell'ordine di derivazione... A questo punto riapplico la formula $F=-\nablaU$ e dico che, per garantire la conservatività del campo devo avere che $(dF_x)/(dy)=(dF_y)/(dx)$ (il tutto pure per $F_y$ e $F_x$). Questa condizione è solo sufficiente, o anche necessaria? Ne esisitono altre di facile applicabilità?
Ovviamente so che un campo è conservativo se il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita, ma soltanto dal punto di partenza e di arrivo, però una condizione del genere mi è di poco aiuto nel caso io abbia le componenti della forza e debba stabilire la conservatività del campo...
Ora io so che se il campo è conservativo allora la forza è il gradiente dell'energia potenziale. Di qui derivo una seconda volta le componenti del gradiente e applico (sotto quali condizioni? lo posso fare sempre?) il teorema di inversione dell'ordine di derivazione... A questo punto riapplico la formula $F=-\nablaU$ e dico che, per garantire la conservatività del campo devo avere che $(dF_x)/(dy)=(dF_y)/(dx)$ (il tutto pure per $F_y$ e $F_x$). Questa condizione è solo sufficiente, o anche necessaria? Ne esisitono altre di facile applicabilità?
Risposte
secondo me é sufficiente dire che rot V=0 ... un risultato dell'analisi vettoriale... ma non sono sicuro al 100%...
Se é sbagliato ditelo pf.!
Ciao a tutti!
mmm... temo di non sapere cosa sia un rotore...
Condizione necessaria e' che il rotore sia Nullo. ( Campo irrotazionale ) Diventa anche sufficiente se l'insime in cui e' definito e' semplicemente connesso. Per la def di insieme semplicemente connesso =>( http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_sem ... e_connesso)
che io sappia, il fatto che le derivate incrociatre siano uguali, implica che il campo è conservativo...
"Domè89":
che io sappia, il fatto che le derivate incrociatre siano uguali, implica che il campo è conservativo...
esattamente....che poi è la stessa cosa dire che il campo è irrotazionale...infatti se vedi com'è il rotore ti accorgi che pone a zero la differenza delle derivate in croce.....dunque dire che le derivate in croce siano uguali o dire che il campo è irrotazionale è fondamentalmente la stessa cosa
irrotazionale se :
$(dF_x)/(dy)-(dF_y)/dx=0$
o derivate in croce uguali:
$(dF_x)/(dy)=(dF_y)/dx$
entrambe quindi condizioni necessarie e sufficienti
Il rotore deve essere nullo IN OGNI PUNTO DEL CAMPO. Per questo motivo Il rotore nullo non e' condizione sufficiente. Lo diventa se e' definito in un insieme semplicemente connesso. Non l'ho decisa io questa cosa.
Per i saccenti scettici porto un esempio:
F= -i Y / (X^2 + Y^2) + j X / (X^2+Y^2)
L'insieme e' definito in IR^2 esclusa l'origine
le derivate incrociate sono uguali. (Y^2 - X^2) / ( X^2 + Y^2)^2
La condizione NECESSARIA e' soddisfatta.
Cerco un potenziale
La primitiva U = ArcTg ( y/x) per x diverso da 0.
Quindi il campo e' conservativo per il semipiano x>0 ed per il semipiano x<0.
L'insieme in cui e' definito non è tutta la regione IR^2 esclusa l'origine.
Qui e' esclusa l'asse Y
La condizione SUFFICIENTE non e' verificata. Il Campo non e' Conservativo.
Probabilmente questo e' tutto quello che so , ma almeno ne sono certo.
Per i saccenti scettici porto un esempio:
F= -i Y / (X^2 + Y^2) + j X / (X^2+Y^2)
L'insieme e' definito in IR^2 esclusa l'origine
le derivate incrociate sono uguali. (Y^2 - X^2) / ( X^2 + Y^2)^2
La condizione NECESSARIA e' soddisfatta.
Cerco un potenziale
La primitiva U = ArcTg ( y/x) per x diverso da 0.
Quindi il campo e' conservativo per il semipiano x>0 ed per il semipiano x<0.
L'insieme in cui e' definito non è tutta la regione IR^2 esclusa l'origine.
Qui e' esclusa l'asse Y
La condizione SUFFICIENTE non e' verificata. Il Campo non e' Conservativo.
Probabilmente questo e' tutto quello che so , ma almeno ne sono certo.
Il dominio di def é tutto R2 senza l'origine, quindi non é un insieme semplicemente connesso 
Ciao!
Ciao!
"Alicchio":
La condizione SUFFICIENTE non e' verificata. Il Campo non e' Conservativo.
Probabilmente questo e' tutto quello che so , ma almeno ne sono certo.
hai ragione, mi sono completamente scordato questo punto.Grazie della precisazione
Il fatto che volevo sottolineare era l'analogia tra la condizione di campo irrotazionale e l'uguaglianza della derivate in croce.
Non ti alterare se la mia firma ti ha offeso!sicuramente non è riferita a te
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo