Collisioni tra particelle identiche in un plasma

[Stefano Cipelli]

Sto studiando le collisioni tra particelle identiche (con stessa massa e carica elettrica) in un plasma immerso in un campo magnetico e la dimostrazione del perchè questo fenomeno non comporta la diffusione di particelle.
Il problema è un caso di collisione Coulombiana tra due particelle uguali e risulta più semplice lavorare nel sistema di riferimento del centro di massa (allego le due pagine del libro dove è presente la spiegazione dettagliata).
Non riesco a capire perchè, quando si calcolano le velocità delle particelle dopo la collisione, è presente un termine con un prodotto vettoriale (che nella seconda immagine è cerchiato di rosso); a prima vista sembrerebbe un semplice cambio di sistema di riferimento tramite una rotazione di angolo χ, ma in quel caso il termine corretto a mio parere dovrebbe essere solo -vsinχ (perchè la componente y del vettore v' ha direzione opposta rispetto a quella del vettore v iniziale).
Grazie in anticipo per chi riuscirà ad aiutarmi!

PS: scusate per l'inglese nelle pagine che ho allegato, ma saprete meglio di me che per certi argomenti trovare libri di testo in italiano diventa praticamente impossibile!

[Quinzio]

"Stefano Cipelli":
Non riesco a capire perchè, quando si calcolano le velocità delle particelle dopo la collisione, è presente un termine con un prodotto vettoriale (che nella seconda immagine è cerchiato di rosso);

Il termine con il prodotto vettoriale $\bbe_z times \bbv$ e' un vettore perpendicolare a $\bbv$ (sempre rimanendo nel piano del disegno).
E' come scrivere che $\bbe_z = \bbe_x \times \bbe_y$.
La velocita' di uscita e' la stessa di prima $v$, ma la direzione e' cambiata. La direzione di uscita la esprimi con una componente parallela a quella originale $\bbv cos \chi$ e una perpendicolare a quella originale $\bbe_z times \bbv sin \chi$.

a prima vista sembrerebbe un semplice cambio di sistema di riferimento tramite una rotazione di angolo χ,

Qua dei fare attenzione: non e' una rotazione del sistema di riferimento, anche se una rotazione del sistema di riferimento darebbe la stessa formula.
Ovvero se mi dici che e' ruotato il sistema di riferimento, significa che la particella ha sempre la stessa direzione che aveva prima del cambio del sistema di riferimento, ma hai semplicemente ruotato il sistema di riferimento.
Invece quello che e' successo e' che il sistema di riferimento non e' cambiato, ma la particella ha cambiato direzione.
La scrittura matematica $\bbv cos \chi + \bbe_z times \bbv sin \chi$ che risulta e' la stessa, ma cambia la sua "interpretazione".

ma in quel caso il termine corretto a mio parere dovrebbe essere solo -vsinχ (perchè la componente y del vettore v' ha direzione opposta rispetto a quella del vettore v iniziale).

Ok, pero' non prendere il disegno che hanno fatto come caso "assoluto".
Il disegno e' solo un esempio.
Nel disegno le particelle deviano verso "destra", quindi $\chi$ e' negativo.
Se poi l'angolo $\chi$ e' positivo o negativo non lo sappiamo. Il testo dice chiaramente che $\chi$ e' randomico.
Se $\chi > 0$ allora $sin \chi > 0$ e la particella devia verso "sinistra" nel disegno. Altrimenti se $\chi < 0$ la particella devia a "destra".
Se guardi bene nel disegno quegli angoli non hanno una freccia, quindi esprimono solo una "quantita'" e non anche una direzione. Ma questo e' solo una sottigliezza grafica.

Credo che sia chiaro, se non e' chiaro, chiedi.

[Stefano Cipelli]

Ciao Quinzio, grazie mille della risposta!
Se ho chiarito il mio dubbio penso che sarai d'accordo con me su questa considerazione (spero che lo sarai, perché altrimenti significa che sto brancolando nel buio): il disegno risulta un po' fuorviante.
Mi spiego meglio: dalla figura presente sul libro di testo sembra che l'angolo $ chi $ sia misurato rispetto all'asse x (cioè che sia l'angolo di inclinazione rispetto al sistema del laboratorio) ma in realtà esso dovrebbe essere l'angolo di inclinazione della velocità relativa in uscita rispetto a quella iniziale (allego immagine per far capire meglio cosa intendo).

In questo modo risulta coerente che \( \textbf{v}'=vcos\chi \textbf{e}_\zeta+vsin\chi \textbf{e}_\bot \) dove \( \textbf{e}_\zeta \) è il versore diretto come la velocità iniziale e \( \textbf{e}_\bot \) è il versore ortogonale rispetto ad essa; così ho espresso la direzione di uscita con una componente parallela ed una ortogonale a quella originale, come mi avevi scritto nella tua risposta.

Attendo allora un tuo riscontro.