Coefficiente di risonanza, circuiti risonanti
Non so dove metterlo 
spero che in questa sezione vada bene.
Allora! Come da titolo: circuiti risonanti nel dominio dei fasori (credo sia opzionale).
Per chi lo sa e per chi non lo sa voglio trattare circuiti risonanti R-L-C serie o parallelo che siano.
Il mio dubbio sta nel famoso cofficiente di risonanza $Q$ che mette in relazione le tensioni sui componenti (nel caso serie) e le correnti (nel caso parallelo). Inoltre si "limita" a darci informazioni su quanto è efficace il nostro filtro.
Ho trovato, ovvero il professore ce l'ha data così, la formula del coefficiente di risonanza in funzione delle energie dei rispettivi componenti:
(1) $Q=(omega_0(W_L+W_C))/P_R$
dove $omega_0$ è detta frequenza di risonzanza
$W_L = 1/2LI^2= 1/2 L V^2/R^2$ è l'energia sull'induttore
$W_C=1/2CV^2$ è l'energia sul condensatore
$P_R=V^2/R$ è la potenza dissipata dal resistore
$Q$ è un numero adimensionale in quanto è un rapporto tra energie ($omega_0$ si misura in $1/(sec)$)
A questo punto io so che il coefficiente di risonanza serie è dato dalle seguenti formule:
$Q=(omega_0 L)/R = 1/(omega_0 R C)$ [size=75]*modificato come da post sotto[/size]
e quello parallelo da:
$Q=R/(omega_0 L) = omega_0 R C$ [size=75]*modificato come da post sotto[/size]
So inoltre che il coefficiente di risonanza è proporzionale ai coefficienti di merito dei singoli componenti (ovvero quanto i componenti reattivi si avvicinino al modello ideale).
Dopo questa premessa le mie domande sono:
a) Come si dimostra la (1) ?!?
b) Cosa ne concludo ?!?
Scusatemi ma non so proprio dove andare a chiedere, e l'hanno chiesta all'orale (dato che non ero con il professore che ci ha tenuto il corso, e costui non ce l'ha detto come si ricava) e non ho saputo rispondere se non quello qui sotto (dimostrare che è un'uguaglianza).
Mi rimetto a voi.
Ringrazio in anticipo.
Claudio
spero che in questa sezione vada bene.Allora! Come da titolo: circuiti risonanti nel dominio dei fasori (credo sia opzionale).
Per chi lo sa e per chi non lo sa voglio trattare circuiti risonanti R-L-C serie o parallelo che siano.
Il mio dubbio sta nel famoso cofficiente di risonanza $Q$ che mette in relazione le tensioni sui componenti (nel caso serie) e le correnti (nel caso parallelo). Inoltre si "limita" a darci informazioni su quanto è efficace il nostro filtro.
Ho trovato, ovvero il professore ce l'ha data così, la formula del coefficiente di risonanza in funzione delle energie dei rispettivi componenti:
(1) $Q=(omega_0(W_L+W_C))/P_R$
dove $omega_0$ è detta frequenza di risonzanza
$W_L = 1/2LI^2= 1/2 L V^2/R^2$ è l'energia sull'induttore
$W_C=1/2CV^2$ è l'energia sul condensatore
$P_R=V^2/R$ è la potenza dissipata dal resistore
$Q$ è un numero adimensionale in quanto è un rapporto tra energie ($omega_0$ si misura in $1/(sec)$)
A questo punto io so che il coefficiente di risonanza serie è dato dalle seguenti formule:
$Q=(omega_0 L)/R = 1/(omega_0 R C)$ [size=75]*modificato come da post sotto[/size]
e quello parallelo da:
$Q=R/(omega_0 L) = omega_0 R C$ [size=75]*modificato come da post sotto[/size]
So inoltre che il coefficiente di risonanza è proporzionale ai coefficienti di merito dei singoli componenti (ovvero quanto i componenti reattivi si avvicinino al modello ideale).
Dopo questa premessa le mie domande sono:
a) Come si dimostra la (1) ?!?
b) Cosa ne concludo ?!?
Scusatemi ma non so proprio dove andare a chiedere, e l'hanno chiesta all'orale (dato che non ero con il professore che ci ha tenuto il corso, e costui non ce l'ha detto come si ricava) e non ho saputo rispondere se non quello qui sotto (dimostrare che è un'uguaglianza).
Mi rimetto a voi.
Ringrazio in anticipo.
Claudio
Risposte
Che io sappia, nel caso di un circuito risonante in parallelo $Q=omega_0RC$.
In questo caso, se $bb(I)_s$ è il fasore del generatore di corrente, si può verificare che $w_0=1/2 CR^2|bb(I)_s|^2$,
dove $w_0$ è l'energia (costante) immagazzinata nel circuito. Il rapporto tra l'energia immagazzinata
e quella dissipata nel resistore in un intervallo di tempo pari al periodo $T=(2pi)/omega_0$ vale
$w_0/(PT)=(1/2 CR^2|bbI_s|^2)/(1/2R|bbI_s|^2 (2 pi)/omega_0)=(omega_0 RC)/(2pi)=Q/(2pi)$, da cui appunto $Q=(omega_0w_0)/(P_R)=(omega_0(W_L+W_C))/(P_R)$.
La formula quindi ci dice che, alla risonanza, $Q$ è proporzionale al rapporto tra energia immagazzinata ed energia dissipata.
In questo caso, se $bb(I)_s$ è il fasore del generatore di corrente, si può verificare che $w_0=1/2 CR^2|bb(I)_s|^2$,
dove $w_0$ è l'energia (costante) immagazzinata nel circuito. Il rapporto tra l'energia immagazzinata
e quella dissipata nel resistore in un intervallo di tempo pari al periodo $T=(2pi)/omega_0$ vale
$w_0/(PT)=(1/2 CR^2|bbI_s|^2)/(1/2R|bbI_s|^2 (2 pi)/omega_0)=(omega_0 RC)/(2pi)=Q/(2pi)$, da cui appunto $Q=(omega_0w_0)/(P_R)=(omega_0(W_L+W_C))/(P_R)$.
La formula quindi ci dice che, alla risonanza, $Q$ è proporzionale al rapporto tra energia immagazzinata ed energia dissipata.
Uhmm si hai ragione ho sbagliato io a scrivere
Cmq grazie 1000 per la spiegazione, adesso è tutto molto più chiaro!!!
Cmq grazie 1000 per la spiegazione, adesso è tutto molto più chiaro!!!
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