Circuito RLC
Salve, volevo proporvi un esercizio interessante, un circuito RLC apparentemente semplice, ma che mi sta creando non pochi problemi:
Per t>0 applico le leggi di Kirchhoff e ottengo il seguente sistema:
$\{(L(di_L)/(dt)+R_1i_L+R_3i_R=V_(G1)),(R_2C(dv_C)/dt+v_C=R_3i_R),(i_L=i_R+C(dv_C)/dt):}$
Ma da questo sistema non riesco a tirare fuori l'equazione differenziale di II ordine. Consigli?
Grazie in anticipo!
Per t>0 applico le leggi di Kirchhoff e ottengo il seguente sistema:
$\{(L(di_L)/(dt)+R_1i_L+R_3i_R=V_(G1)),(R_2C(dv_C)/dt+v_C=R_3i_R),(i_L=i_R+C(dv_C)/dt):}$
Ma da questo sistema non riesco a tirare fuori l'equazione differenziale di II ordine. Consigli?
Grazie in anticipo!
Risposte
In effetti andare a ricavarsi l'equazione differenziale in $i_L$ è un po' macchinoso ma potresti per esempio ricavare $i_R$ dalla terza e passare ad un sistema di due e.d. nelle sole $i_L$ e $v_C$, per poi ricavarti $\dotv_C$ e di conseguenza $\ddot v_C$ dalla prima equazione che, sostituite nella seconda differenziata, ti porterebbe ad avere la cercata e.d. del secondo ordine in $i_L$.
Io però, in questo tipo di problemi, consiglio sempre di usare il metodo del "circuito resistivo associato", lo conosci?
Sostanzialmente consiste nel considerare l'induttore come un GIC di corrente $i_L$ e il condensatore come un GIT di tensione $v_C$, per poi andare a risolvere la rete in $v_L$ e $i_C$, ricavando quindi il sistema di due equazioni differenziali del primo ordine che descrive la rete, dal quale sarà semplice determinare i due autovalori che ti interessano per l'evoluzione transitoria.
BTW Visto che i resistori hanno una uguale resistenza, indicali tutti semplicemente con $R$.
Io però, in questo tipo di problemi, consiglio sempre di usare il metodo del "circuito resistivo associato", lo conosci?
Sostanzialmente consiste nel considerare l'induttore come un GIC di corrente $i_L$ e il condensatore come un GIT di tensione $v_C$, per poi andare a risolvere la rete in $v_L$ e $i_C$, ricavando quindi il sistema di due equazioni differenziali del primo ordine che descrive la rete, dal quale sarà semplice determinare i due autovalori che ti interessano per l'evoluzione transitoria.
BTW Visto che i resistori hanno una uguale resistenza, indicali tutti semplicemente con $R$.
Ho lavorato un po' sull'esercizio in base ai consigli dati e ho trovato delle contraddizioni sulle condizioni iniziali per la risoluzione dell'equazione differenziale di II ordine. Posto i passaggi:
$i_R=i_L - C(dv_C)/dt$
Ottengo il sistema:
$\{(L(di_L)/dt+2Ri_L-RC(dv_C)/dt=V_(G1)),(RC(dv_C)/dt+v_C=Ri_L-RC(dv_c)/dt):}$
A questo punto sappiamo dalla prima:
$(dv_C)/dt=L/(RC)(di_L)/dt+2/Ci_L-V_(G1)/(RC)$
$(d^2v_C)/dt^2=L/(RC)(d^2i_L)/dt^2+2/C(di_L)/dt$
Ora vado a derivare la seconda equazione del sistema e sostituisco la derivata prima e seconda di $v_C$ in modo da ottenere l'equazione finale di II ordine in $i_L$:
$(d^2i_L)/(dt^2)+(3/2R/L+1/(2RC))(di_L)/(dt)+1/(LC)i_L=V_(G1)/(2RLC)$
Facendo i conti:
$(d^2i_L)/(dt^2)+(di_L)/(dt)+0,25i_L=0,5$
A questo punto $i_L=i_p+i_t$. La componente transitoria la calcolo tramite l'omogenea associata:
$λ^2+λ+0,25=0$
$λ_1=λ_2=-0,5$
$i_t=e^(-0,5t)(k_1+k_2t)$
L'integrale particolare è il valore che la corrente assumerebbe a regime stazionario. Sostituisco l'induttore con un cortocircuito e il condensatore con un circuito aperto. Dunque $ i_p=(V_(G1))/(2R)=2 A$
$i_L=e^(-0,5t)(k_1+k_2t) +2$
A questo punto nascono i miei problemi. Per $t<0$, andando a considerare il circuito in regime stazionario e andando a prendere la posizione A, mi trovo con una corrente $i_L=(V_(G1))/(2R)=2 A$. Inoltre l'espressione prima trovata, calcolata in 0, fornisce $i_L=k_1+2$. Dunque la prima condizione, per conservazione dell'energia dovrebbe essere $k_1+2=2$, cioè $k_1=0$. Derivando l'espressione di $i_L$ e calcolando la derivata in 0, ottengo $-0,5k_1+k_2$. Ma dal sistema primordiale, di 3 equazioni, dalla prima sappiamo che $L(di_L)/(dt)=V_(G1)-Ri_L-Ri_R$
Ma per $t<0$ $i_L=i_R= 2 A$
Dunque la derivata calcolata nell'istante $0^(+)$ è nulla. Ma allora la seconda condizione è:
$-0,5k_1+k_2=0$
Ma allora le due condizioni forniscono un $k_1$ e un $k_2$ entrambi nulli
Non riesco a capire dove sbaglio...
$i_R=i_L - C(dv_C)/dt$
Ottengo il sistema:
$\{(L(di_L)/dt+2Ri_L-RC(dv_C)/dt=V_(G1)),(RC(dv_C)/dt+v_C=Ri_L-RC(dv_c)/dt):}$
A questo punto sappiamo dalla prima:
$(dv_C)/dt=L/(RC)(di_L)/dt+2/Ci_L-V_(G1)/(RC)$
$(d^2v_C)/dt^2=L/(RC)(d^2i_L)/dt^2+2/C(di_L)/dt$
Ora vado a derivare la seconda equazione del sistema e sostituisco la derivata prima e seconda di $v_C$ in modo da ottenere l'equazione finale di II ordine in $i_L$:
$(d^2i_L)/(dt^2)+(3/2R/L+1/(2RC))(di_L)/(dt)+1/(LC)i_L=V_(G1)/(2RLC)$
Facendo i conti:
$(d^2i_L)/(dt^2)+(di_L)/(dt)+0,25i_L=0,5$
A questo punto $i_L=i_p+i_t$. La componente transitoria la calcolo tramite l'omogenea associata:
$λ^2+λ+0,25=0$
$λ_1=λ_2=-0,5$
$i_t=e^(-0,5t)(k_1+k_2t)$
L'integrale particolare è il valore che la corrente assumerebbe a regime stazionario. Sostituisco l'induttore con un cortocircuito e il condensatore con un circuito aperto. Dunque $ i_p=(V_(G1))/(2R)=2 A$
$i_L=e^(-0,5t)(k_1+k_2t) +2$
A questo punto nascono i miei problemi. Per $t<0$, andando a considerare il circuito in regime stazionario e andando a prendere la posizione A, mi trovo con una corrente $i_L=(V_(G1))/(2R)=2 A$. Inoltre l'espressione prima trovata, calcolata in 0, fornisce $i_L=k_1+2$. Dunque la prima condizione, per conservazione dell'energia dovrebbe essere $k_1+2=2$, cioè $k_1=0$. Derivando l'espressione di $i_L$ e calcolando la derivata in 0, ottengo $-0,5k_1+k_2$. Ma dal sistema primordiale, di 3 equazioni, dalla prima sappiamo che $L(di_L)/(dt)=V_(G1)-Ri_L-Ri_R$
Ma per $t<0$ $i_L=i_R= 2 A$
Dunque la derivata calcolata nell'istante $0^(+)$ è nulla. Ma allora la seconda condizione è:
$-0,5k_1+k_2=0$
Ma allora le due condizioni forniscono un $k_1$ e un $k_2$ entrambi nulli
Non riesco a capire dove sbaglio...
Premesso che scorrendo velocemente il post i tuoi passaggi mi sembrano corretti (ma mi riservo di controllarli meglio più tardi), commento solo la parte "problematica" 
Esatto.
Determinazioni precedenti a parte, è ovvio che sbagli quando scrivi
Perché?
Lascio a te 5 minuti per scoprirlo, poi te lo dico io.
"giuseppe.dilorenzo":
... Dunque la prima condizione, per conservazione dell'energia dovrebbe essere $k_1+2=2$, cioè $k_1=0$ ...
Esatto.
"giuseppe.dilorenzo":
... Non riesco a capire dove sbaglio...
Determinazioni precedenti a parte, è ovvio che sbagli quando scrivi
"giuseppe.dilorenzo":
... Derivando l'espressione di $i_L$ e calcolando la derivata in 0 ...
Perché?
Lascio a te 5 minuti per scoprirlo, poi te lo dico io.
Vedendo che in questo momento non hai tempo per farlo, te lo dirò domani.
BTW Nessun interesse per il metodo del "circuito resistivo associato" che ti avevo consigliato?
BTW Nessun interesse per il metodo del "circuito resistivo associato" che ti avevo consigliato?
Visto che ho un po' di tempo da perdere ti faccio vedere come si poteva risolvere con il metodo che ti ho suggerito.
Dopo aver sostituito l'induttore con un GIC e il condensatore con un GIT, determino la tensione sul primo e la corrente nel secondo (per esempio) via PSE, direttamente dalla ispezione delle due reti parziali:
a) spento il GIC, determino il contributo dei due GIT sia alla $v_L$ sia alla $i_C$ ottenendo rispettivamente \(-v_C/2+V_{G1}\) e \(-v_C/(2R)\)
b) spenti i due GIT, determino il contributo del solo GIC, ottengo rispettivamente \(-3Ri_L/2\) e \(i_L/2\).
Ne segue che il sistema di eq. diff. sarà
${ ( v_C ^{'}=-1/4v_C+1/2i_L ),( i_L^{'} =-1/8v_C-6/8i_L+2 ):}$
e quindi dalla matrice A dei coefficienti
$A=( ( -1/4 , +1/2 ),( -1/8 , -6/8) ) $
potremo determinare i due autovalori $\lambda_1=\lambda_2=-1/2$, valori che confermano la correttezza dei tuoi calcoli, ma molto più rapidamente.
Dopo aver sostituito l'induttore con un GIC e il condensatore con un GIT, determino la tensione sul primo e la corrente nel secondo (per esempio) via PSE, direttamente dalla ispezione delle due reti parziali:
a) spento il GIC, determino il contributo dei due GIT sia alla $v_L$ sia alla $i_C$ ottenendo rispettivamente \(-v_C/2+V_{G1}\) e \(-v_C/(2R)\)
b) spenti i due GIT, determino il contributo del solo GIC, ottengo rispettivamente \(-3Ri_L/2\) e \(i_L/2\).
Ne segue che il sistema di eq. diff. sarà
${ ( v_C ^{'}=-1/4v_C+1/2i_L ),( i_L^{'} =-1/8v_C-6/8i_L+2 ):}$
e quindi dalla matrice A dei coefficienti
$A=( ( -1/4 , +1/2 ),( -1/8 , -6/8) ) $
potremo determinare i due autovalori $\lambda_1=\lambda_2=-1/2$, valori che confermano la correttezza dei tuoi calcoli, ma molto più rapidamente.
Come promesso ti spiego dove sbagli ... ma sotto spoiler, così se non lo hai ancora fatto, potrai pensarci un po'.
Innanzitutto la ringrazio infinitamente per i numerosissimi spunti dati e sicuramente andrò a vedermi meglio il metodo da lei mostrato, sia in maniera teorica che pratica, andandolo ad applicare prima a quest'esercizio e poi ad altri simili. Anche perché è sempre comodo risparmiarsi i metodi "contosi".
Per quanto riguarda la seconda condizione del problema, io ho invertito i passaggi. Nello svolgimento postato precedentemente, ho prima calcolato erroneamente la derivata dalla risposta. È chiaro che avrei dovuto calcolare prima il valore della derivata effettivamente dalle equazioni del sistema. Riposto:
Pur avendolo fatto dopo, che è concettualmente sbagliato, però comunque ho tentato di trovarmi il valore della derivata di $i_L$ dalle equazioni. Solo che il valore che mi esce fuori è 0 e non 1, come giustamente affermato da lei. Forse sbaglio a considerare, per $t<0$, $ i_L=i_R$ ?
Per quanto riguarda la seconda condizione del problema, io ho invertito i passaggi. Nello svolgimento postato precedentemente, ho prima calcolato erroneamente la derivata dalla risposta. È chiaro che avrei dovuto calcolare prima il valore della derivata effettivamente dalle equazioni del sistema. Riposto:
"giuseppe.dilorenzo":
Derivando l'espressione di $i_L$ e calcolando la derivata in 0, ottengo $-0,5k_1+k_2$. Ma dal sistema primordiale, di 3 equazioni, dalla prima sappiamo che $L(di_L)/(dt)=V_(G1)-Ri_L-Ri_R$
Ma per $t<0$ $i_L=i_R= 2 A$
Dunque la derivata calcolata nell'istante $0^(+)$ è nulla. Ma allora la seconda condizione è:
$-0,5k_1+k_2=0$
Pur avendolo fatto dopo, che è concettualmente sbagliato, però comunque ho tentato di trovarmi il valore della derivata di $i_L$ dalle equazioni. Solo che il valore che mi esce fuori è 0 e non 1, come giustamente affermato da lei. Forse sbaglio a considerare, per $t<0$, $ i_L=i_R$ ?
Ho provato a buttar giù lo stesso esercizio con il metodo del circuito resistivo associato, ma non mi trovo coi segni. Lei che verso impone ai due generatori che sostituiscono induttore e condensatore?
"giuseppe.dilorenzo":
... Ho provato a buttar giù lo stesso esercizio con questo metodo, ma non mi trovo coi segni. Lei che verso impone ai due generatori che sostituiscono induttore e condensatore?
Premesso che qui non c'è nussun lei ma siamo tutti tu
, scelgo le convenzioni più "convenienti" [nota]Relativamente alle relazioni costitutive dei due bipoli.[/nota] ovvero, vedendo i versi delle correnti $i_L$ e $i_C$ indicati nel testo, uso quelli e scelgo quindi per il GIC il verso della $i_L$ e per $v_L$ il positivo sul morsetto sinistro, e così pure dualmente per il condensatore: corrente verso destra e positivo del GIT sul morsetto sinistro.
"giuseppe.dilorenzo":
... dal sistema primordiale, di 3 equazioni, dalla prima sappiamo che $L(di_L)/(dt)=V_(G1)-Ri_L-Ri_R$
Ma per $t<0$ $i_L=i_R= 2 A$
Dunque la derivata calcolata nell'istante $0^(+)$ è nulla. ...
Come ti dicevo solo $i_L$ e $v_C$ non possono presentare discontinuità per t=0, ma $i_C$ e di conseguenza $i_R$ possono [nota]Prova per esercizio a determinare i loro valori per $t=0^-$ e per $t=0^+$.[/nota].
Ho capito l'errore e ti ringrazio per avermi fatto notare una cosa che mi era gravemente sfuggita. Ora, però, sorge un problema grande: come faccio, continuando con il metodo da me scelto all'inizio, a calcolarmi la derivata di $i_L$ in 0 dalle equazioni del mio sistema, considerato che in esse mi compaiono sempre $i_R$ e $(dv_C)/dt$ 
?
Nel tuo sistema è molto semplice perché effettivamente c'è già, nella seconda equazione, $(di_L)/dt$ esplicitata in funzione di $v_C$ e $i_L$, che devono essere continue e, per questo, facilmente calcolabili.
Impazzisco
? "giuseppe.dilorenzo":
$\{(L(di_L)/(dt)+R_1i_L+R_3i_R=V_(G1)),(R_2C(dv_C)/dt+v_C=R_3i_R),(i_L=i_R+C(dv_C)/dt):}$
Nel tuo sistema è molto semplice perché effettivamente c'è già, nella seconda equazione, $(di_L)/dt$ esplicitata in funzione di $v_C$ e $i_L$, che devono essere continue e, per questo, facilmente calcolabili.
Impazzisco
Risolvendo la rete per $t=0^+$, nota la corrente nell'induttore e la tensione sul condensatore [nota]Ovvero, sostanzialmente e inconsciamente, andando ad usare proprio il "circuito resistivo associato" con i due generatori virtuali. 
[/nota]; puoi farlo in diversi modi, ma visto che inizialmente hai usato Kirchhoff, puoi semplicemente particolarizzare il sistema iniziale o il successivo ridotto a due equazioni,
$v_L(0^+)+2Ri_L(0^+)-Ri_C(0^+)=V_{G_1} $
$Ri_C(0^+)+v_C(0^+)=Ri_L(0^+)-Ri_C(0^+)$
che risolto ti porterà alla tensione ai morsetti dell'induttore e di conseguenza
$i_L^\prime(0^+)=(v_L(0^+))/L=1 \ \text{A}$
[/nota]; puoi farlo in diversi modi, ma visto che inizialmente hai usato Kirchhoff, puoi semplicemente particolarizzare il sistema iniziale o il successivo ridotto a due equazioni, $v_L(0^+)+2Ri_L(0^+)-Ri_C(0^+)=V_{G_1} $
$Ri_C(0^+)+v_C(0^+)=Ri_L(0^+)-Ri_C(0^+)$
che risolto ti porterà alla tensione ai morsetti dell'induttore e di conseguenza
$i_L^\prime(0^+)=(v_L(0^+))/L=1 \ \text{A}$
Finalmente ho capito tutto tranne una piccolissima cosa legata ai segni 
So che sto diventando logorroico con quest'esercizio e mi sento anche stupido, ma a me viene $v_C(0^+)=+4$
La $v_C$ per $t<0$ mi viene ad essere esattamente uguale (anche in segno) alla tensione di R_1, che è la metà di $V_(G1)$.
So che sto diventando logorroico con quest'esercizio e mi sento anche stupido, ma a me viene $v_C(0^+)=+4$ 
La $v_C$ per $t<0$ mi viene ad essere esattamente uguale (anche in segno) alla tensione di R_1, che è la metà di $V_(G1)$.
"giuseppe.dilorenzo":
Finalmente ho capito tutto tranne una piccolissima cosa legata ai segni
Ma abbi pazienza, se su una armatura ho $4V$ e sull'altra ho $8V$ la differenza di potenziale quanto sarà ?
Forse $4V-8V=-4V$
Ho capito l'errore, bastava guardare il verso della tensione del generatore e concentrarsi sul partitore di tensione. Grazie mille!
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