Circuito RL calcolo della corrente in funzione del tempo
ciao a tutti ho un problema nella risoluzione di questo esercizio
Si consideri il circuito in figura, nelle condizioni iniziali in cui il tasto T è aperto e siamo a regime (scorre una corrente continua).
I valori numerici per le grandezze fisiche sono:
fem $E = 15 V$, resistenze $R1= 1 k ohm$ $R2= 1 M ohm$,
induttanza $L=0.5H$
A un certo istante detto t = 0 si chiude il tasto T.
Al tempo $t=t_1=5 s $ si riapre il tasto T.
Si chiede di calcolare la corrente in funzione del tempo nei due transitori. Si chiede inoltre di calcolare la d.d.p. tra i punti A e B in funzione del tempo.
io ho fatto in questo modo
ho trovato il valore della corrente iniziale
$ i_=E/R_2 $
ho scritto l equazione del circuito dopo aver chiuso l interruttore
$ E+E_L=iR_(eq) $
dove
$ R_(eq)=(R_1*R_2)/(R_1+R_2) $
devo quindi risolvere l equazione differenziale
$ E-L(di)/dt=iR_(eq) $
$ (di)/(-E+iR_(eq))=(dt)/-L $
$ int_(i_0)^(i(t)) (di)/(-E+iR_(eq))=int_(0)^(t)(dt)/-L $
da cui
$ ln((i(t)R_(eq)-E)/(i_0R_(eq)-E))=-R_(eq)/Lt $
da cui
$ i(t)R_(eq)-E=(i_0R_(eq)-E)e^(-R_(eq)/Lt $
la corente quindi risulta
$ i(t)=E/(R_(eq))+(i_0R_(eq)-E)/(r_(eq))e^(-R_(eq)/Lt $
il modo in cui ho risolto questa prima parte dell esercizio e questa equazione differenziale è corretto?perchè il risultato torna diverso da quello datomi come soluzione
Si consideri il circuito in figura, nelle condizioni iniziali in cui il tasto T è aperto e siamo a regime (scorre una corrente continua).
I valori numerici per le grandezze fisiche sono:
fem $E = 15 V$, resistenze $R1= 1 k ohm$ $R2= 1 M ohm$,
induttanza $L=0.5H$
A un certo istante detto t = 0 si chiude il tasto T.
Al tempo $t=t_1=5 s $ si riapre il tasto T.
Si chiede di calcolare la corrente in funzione del tempo nei due transitori. Si chiede inoltre di calcolare la d.d.p. tra i punti A e B in funzione del tempo.
io ho fatto in questo modo
ho trovato il valore della corrente iniziale
$ i_=E/R_2 $
ho scritto l equazione del circuito dopo aver chiuso l interruttore
$ E+E_L=iR_(eq) $
dove
$ R_(eq)=(R_1*R_2)/(R_1+R_2) $
devo quindi risolvere l equazione differenziale
$ E-L(di)/dt=iR_(eq) $
$ (di)/(-E+iR_(eq))=(dt)/-L $
$ int_(i_0)^(i(t)) (di)/(-E+iR_(eq))=int_(0)^(t)(dt)/-L $
da cui
$ ln((i(t)R_(eq)-E)/(i_0R_(eq)-E))=-R_(eq)/Lt $
da cui
$ i(t)R_(eq)-E=(i_0R_(eq)-E)e^(-R_(eq)/Lt $
la corente quindi risulta
$ i(t)=E/(R_(eq))+(i_0R_(eq)-E)/(r_(eq))e^(-R_(eq)/Lt $
il modo in cui ho risolto questa prima parte dell esercizio e questa equazione differenziale è corretto?perchè il risultato torna diverso da quello datomi come soluzione
Risposte
Qual è il risultato datoti come soluzione?
la soluzione dovrebbe essere essere
$ i=(R_1+R_2)E/(R_1R_2)(1-R_2/(R_1+R_2)e^(-R_(eq)/Lt)) $
$ i=(R_1+R_2)E/(R_1R_2)(1-R_2/(R_1+R_2)e^(-R_(eq)/Lt)) $
E chi ha detto che sono diversi, sono solo scritti in modo diverso, riguardali per bene.
ho già ricontrollato più volte ma svolgendo tutti i calcoli ottengo
$ i(t)=(R_1+R_2)E/(R_1R_2)(1-R_1/(R_1+R_2))e^(-R_(eq)/Lt $
in cui ho $R_1$ al posto di $R_2$..
ma il procedimento che ho usato è corretto o c è qualche errore di impostazione?
$ i(t)=(R_1+R_2)E/(R_1R_2)(1-R_1/(R_1+R_2))e^(-R_(eq)/Lt $
in cui ho $R_1$ al posto di $R_2$..
ma il procedimento che ho usato è corretto o c è qualche errore di impostazione?
Il procedimento mi pare corretto, e anche il risultato. Quanto fa $i_0-E/(R_(eq))?$
a me viene
$ I_0-E/R_(eq)=E/R_2-E(R_1+R_2)/(R_1R_2)=(ER_2-ER_1-ER_2)/(R_1R_2)=-E/R_2 $
$ I_0-E/R_(eq)=E/R_2-E(R_1+R_2)/(R_1R_2)=(ER_2-ER_1-ER_2)/(R_1R_2)=-E/R_2 $
Eh, e quindi non sono uguali i risultati?
ehm no.. infatti in questo modo per ottenere la forma in cui mi è dato il risultato (con quel termine $E(R_1+R_2)/(R_1R_2)$
che moltiplica la somma ) al numeratore ottengo $R_1$..
almeno mi sembra sia così..
che moltiplica la somma ) al numeratore ottengo $R_1$..
almeno mi sembra sia così..
Il risultato del libro è:
$i=(R_1+R_2)E/(R_1*R_2)(1-R_2/(R_1+R_2)e^(-t/tau))=E/(R_eq)-E/(R_1)e^(-t/tau)$
Il tuo risultato è:
$i=E/(R_eq)+(i_0-E/(R_eq))e^(-t/tau)$
Sapendo che $i_0=E/(R_2)$ e $R_(eq)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)$ si ha:
$i=E/(R_(eq))+(E/R_2-E(R_1+R_2)/(R_1R_2))e^(-t/tau)=E/(R_eq)+E(1/R_2-(R_1+R_2)/(R_1R_2))e^(-t/tau)$
Si ha:
$1/R_2-(R_1+R_2)/(R_1R_2)=(R_1-R_1-R_2)/(R_1R_2)=-1/R_1$
Quindi: $i=E/(R_eq)-E/(R_1)e^(-t/tau)$
$i=(R_1+R_2)E/(R_1*R_2)(1-R_2/(R_1+R_2)e^(-t/tau))=E/(R_eq)-E/(R_1)e^(-t/tau)$
Il tuo risultato è:
$i=E/(R_eq)+(i_0-E/(R_eq))e^(-t/tau)$
Sapendo che $i_0=E/(R_2)$ e $R_(eq)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)$ si ha:
$i=E/(R_(eq))+(E/R_2-E(R_1+R_2)/(R_1R_2))e^(-t/tau)=E/(R_eq)+E(1/R_2-(R_1+R_2)/(R_1R_2))e^(-t/tau)$
Si ha:
$1/R_2-(R_1+R_2)/(R_1R_2)=(R_1-R_1-R_2)/(R_1R_2)=-1/R_1$
Quindi: $i=E/(R_eq)-E/(R_1)e^(-t/tau)$
si hai ragione.. ci sono stato così tanto su questo esercizio che avevo cominciato a sbagliare anche le somme e sottrazioni... grazie mille
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