Circuito rcl in risonanza
Salve vi scrivo in merito a questo problema
Un circuito RCL serie è alimentato alla frequenza di risonanza. Nella induttanza può al massimo scorrere una corrente $I_0$. In tale condizione estrema determinare:
a) La differenza di potenziale massima ai capi dei vari elementi circuitali.
b) L'energia fornita in un periodo dal generatore.
c) La frequenza per cui la differenza di potenziale ai capi dell'induttanza sia due volte quella ai capi della capacità.
(dati del problema $I_0=1 A$, $R=10 Omega $, $L=10mH$, $C=100nF$)
Allora il problema nasce nel punto a.
Io so che (correggetemi se sbaglio)
L'impedenza coincide con la resistenza essendo il circuito in risonanza, inoltre le reattanze capacitiva ed induttiva sono uguali
Quindi $Z=R$ e $X_L=X_C$ da cui segue $V_L=V_C$
Cacoliamo l'ampiezza della tensione del genratore come $V_0=I_0*Z=I_0*R=10V$
Sappiamo inoltre che
$V_R(t)=I(t)R$
$V_C(t)=I(t)X_C$
$V_L(t)=I(t)X_L$
Di conseguenza anche la massima tensione ai capi della resistenza vale $V_R=10V$
Ora qui nasce l'incongruenza
Per la seconda legge di kirchhoff sappiamo che
$V_("gen")=V_L+V_C+V_R$
Perè se $V_("gen")=V_R$ segue che $V_L=-V_C$ che è in disaccordo con ciò che abbiamo stabilito prima
Dove sta il mio errore?
Grazie
Un circuito RCL serie è alimentato alla frequenza di risonanza. Nella induttanza può al massimo scorrere una corrente $I_0$. In tale condizione estrema determinare:
a) La differenza di potenziale massima ai capi dei vari elementi circuitali.
b) L'energia fornita in un periodo dal generatore.
c) La frequenza per cui la differenza di potenziale ai capi dell'induttanza sia due volte quella ai capi della capacità.
(dati del problema $I_0=1 A$, $R=10 Omega $, $L=10mH$, $C=100nF$)
Allora il problema nasce nel punto a.
Io so che (correggetemi se sbaglio)
L'impedenza coincide con la resistenza essendo il circuito in risonanza, inoltre le reattanze capacitiva ed induttiva sono uguali
Quindi $Z=R$ e $X_L=X_C$ da cui segue $V_L=V_C$
Cacoliamo l'ampiezza della tensione del genratore come $V_0=I_0*Z=I_0*R=10V$
Sappiamo inoltre che
$V_R(t)=I(t)R$
$V_C(t)=I(t)X_C$
$V_L(t)=I(t)X_L$
Di conseguenza anche la massima tensione ai capi della resistenza vale $V_R=10V$
Ora qui nasce l'incongruenza
Per la seconda legge di kirchhoff sappiamo che
$V_("gen")=V_L+V_C+V_R$
Perè se $V_("gen")=V_R$ segue che $V_L=-V_C$ che è in disaccordo con ciò che abbiamo stabilito prima
Dove sta il mio errore?
Grazie
Risposte
In realtà: $XC=-XL$
"LoreT314":
... L'impedenza coincide con la resistenza essendo il circuito in risonanza, inoltre le reattanze capacitiva ed induttiva sono uguali
Quindi $Z=R$ e $X_L=X_C$ da cui segue $V_L=V_C$...
Vedo che segui l'antica tradizione [nota]E non la moderna convenzione di considerarle di segno opposto, "coefficienti della parte immaginaria dell'impedenza"[/nota] elettrotecnica di reattanze entrambe positive, ma in ogni caso le due tensioni non sono uguali, né nel dominio del tempo né nel dominio della frequenza, se non in modulo.
"LoreT314":
... Sappiamo inoltre che
$V_R(t)=I(t)R$
$V_C(t)=I(t)X_C$
$V_L(t)=I(t)X_L$
Ok per la prima, ma No di certo per la seconda e la terza, per le quali la tensione e la corrente sono legate dalle rispettive equazioni costitutive.
"LoreT314":
... Per la seconda legge di kirchhoff sappiamo che
$V_("gen")=V_L+V_C+V_R$ ...
Certo, valida sia nel dominio del tempo, sia nel dominio della frequenza (qualora si usi per I tre bipoli passivi la convenzione degli utilizzatori), ma non per i moduli.
"LoreT314":
...Dove sta il mio errore?...
Nelle precedenti due errate relazioni.
Ok allora mi viene il dubbio di aver capito poco o niente del circuito, quindi devo chiarirmi un po' di cose.
Io seguo il mio libro di testo delle superiori che definisce
$X_L=omegaL$
$X_C=1/(omegaC) $
Di parte immaginaria non parla proprio
L'impedenza risulta essere
$Z=sqrt(R^2+(X_L-X_C)^2)$
Da qui segue che per essere $Z=R$ in condizioni di risonanza $X_L=X_C$
Un'altra cosa
Mi dici che non è vero $(V_L(t)) /(I(t)) =X_L$
e che $(V_C(t)) /(I(t)) =X_C$ giusto?
Questo quindi vale sono per i valori massimi e valori efficaci? È per questo che le due tensioni non sono uguali nel tempo vero? Però lo sono quando la corrente è massima, giusto?
E allora quali sono le relazioni tra tensione e corrente al variare del tempo?
$V_L(t) =-L(dI) /(dt)$
$V_C(t)=1/C int Idt$
Sapendo che $I(t) =V_("max")/Z sin(omega t-gamma) $ con $tan gamma=(X_C-X_L) /R$
È così che funziona?
E non capisco cosa vuol dire che la legge di kirchhoff non vale per i moduli? Io sapevo che si potevano sia sommare algebricamente i valori delle varie tensioni oppure vettorialmente sui fasori.
Grazie mille per le delucidazioni
Io seguo il mio libro di testo delle superiori che definisce
$X_L=omegaL$
$X_C=1/(omegaC) $
Di parte immaginaria non parla proprio
L'impedenza risulta essere
$Z=sqrt(R^2+(X_L-X_C)^2)$
Da qui segue che per essere $Z=R$ in condizioni di risonanza $X_L=X_C$
Un'altra cosa
Mi dici che non è vero $(V_L(t)) /(I(t)) =X_L$
e che $(V_C(t)) /(I(t)) =X_C$ giusto?
Questo quindi vale sono per i valori massimi e valori efficaci? È per questo che le due tensioni non sono uguali nel tempo vero? Però lo sono quando la corrente è massima, giusto?
E allora quali sono le relazioni tra tensione e corrente al variare del tempo?
$V_L(t) =-L(dI) /(dt)$
$V_C(t)=1/C int Idt$
Sapendo che $I(t) =V_("max")/Z sin(omega t-gamma) $ con $tan gamma=(X_C-X_L) /R$
È così che funziona?
E non capisco cosa vuol dire che la legge di kirchhoff non vale per i moduli? Io sapevo che si potevano sia sommare algebricamente i valori delle varie tensioni oppure vettorialmente sui fasori.
Grazie mille per le delucidazioni
"LoreT314":
... Io seguo il mio libro di testo delle superiori che definisce
Puoi dirmi quale?
"LoreT314":
...
$X_L=omegaL$
$X_C=1/(omegaC) $
Ok
"LoreT314":
... Di parte immaginaria non parla proprio
L'impedenza risulta essere
$Z=sqrt(R^2+(X_L-X_C)^2)$
Certo, quello è il modulo, ma è impossibile che il tuo testo non definisca l'impedenza come operatore complesso, ovvero
$\mathbf{Z}=R+j(X_L-X_C)$
oppure singolarmente
$\mathbf{Z}_L=j X_L $
e
$\mathbf{Z}_C=-j X_C $
e di conseguenza, considerando (per convenzione) le reattanze come coefficienti della parte immaginaria, come si dovrebbe fare per seguire le indicazioni normative, avresti che la reattanza capacitiva risulterebbe negativa e non positiva, come si usava "anticamente" fare e come il tuo testo continua a definire.
Seguendo la normativa, si dovrebbe scrivere
$X_L=omegaL$
$X_C=-1/(omegaC) $
$\mathbf{Z}=R+j(X_L+X_C)$
ma, c'è ancora un sacco di letteratura che continua ad usare le vecchie regole di scrittura.
"LoreT314":
...
Mi dici che non è vero $(V_L(t)) /(I(t)) =X_L$
e che $(V_C(t)) /(I(t)) =X_C$ giusto?...
Giusto, le funzioni del tempo non sono semplicemente proporzionali.
"LoreT314":
... Questo quindi vale sono per i valori massimi e valori efficaci? È per questo che le due tensioni non sono uguali nel tempo vero? ...
Esatto.
... Però lo sono quando la corrente è massima, giusto?
No, per entrambe, "quando" la corrente è massima la tensione è nulla.
"LoreT314":
... E allora quali sono le relazioni tra tensione e corrente al variare del tempo?
$V_L(t) =-L(dI) /(dt)$
$V_C(t)=1/C int Idt$
Dipende dalla convenzione usata, ma normalmente
$V_L(t) =L(dI) /(dt)$
"LoreT314":
... Sapendo che $I(t) =V_("max")/Z sin(omega t-gamma) $ con $tan gamma=(X_C-X_L) /R$
È così che funziona?
Si, usando il modulo di Z e
$tan gamma=(X_L-X_C) /R$
"LoreT314":
... E non capisco cosa vuol dire che la legge di kirchhoff non vale per i moduli? Io sapevo che si potevano sia sommare algebricamente i valori delle varie tensioni oppure vettorialmente sui fasori.
Sommare nel campo fasoriale, così come sommare le funzioni del tempo, sì, come ti avevo detto, ma sommare i moduli (che son sempre positivi) delle tre tensioni su R, L e C, ovviamente no.
Ho capito tutto tranne una cosa. Quando e come posso usare kirchhoff. Se sommo i moduli delle tensioni degli elementi in un istante non ottengo la tensione del generatore in quell'istante?
Scusa, ma leggi quello che ti scrivo?
Certo che lo leggo, ma riesco a capire il motivo... Cioè se sommo le funzioni del tempo
$V_("gen") (t) =V_L(t) +V_R(t) +V_C(t) $ (questo è corretto vero?) non capisco perché nel momento in cui inserisco un valore t perda di validità...
$V_("gen") (t) =V_L(t) +V_R(t) +V_C(t) $ (questo è corretto vero?) non capisco perché nel momento in cui inserisco un valore t perda di validità...
Quella relazione è ovviamente valida per ogni t, non ho mai detto il contrario.
E a questo punto mi viene da chiederti cosa intendi per "modulo" di una tensione.
E a questo punto mi viene da chiederti cosa intendi per "modulo" di una tensione.
"RenzoDF":
ma sommare i moduli (che son sempre positivi) delle tre tensioni su R, L e C, ovviamente no.
Allora ho mal interpretato questa affermazione. Cosa intendevi per moduli? Probabilmente ciò che intendo io non è corretto. Io per modulo intendevo il valore che essa assume nell'istante t che consideravamo
Quello si chiama "valore istantaneo" il modulo sia di numero reale che di un numero complesso è sempre un numero reale positivo.
E in questo caso che cosa quantifica? Il valore massimo assunto?
Nel caso di valore istantaneo il modulo è pari al valore assoluto, nel caso dei fasori, a seconda dei casi, al valore efficace o al valore massimo.
Ho capito, grazie mille per tutto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo