Circuito RC - qualche dubbio
Ciao a tutti di nuovo ^^
questa volta mi son cimentato in un nuovo problema in cui c'è un circuito RC. Vi riporto il testo:
Allora, mi sono fatto un'idea su come procedere cioè innanzitutto c'è da calcolare la costante di tempo Tau (non so come inserire il simbolo :S)
Dopodichè ho pensato andasse utilizzata la formula di decadimento esponenziale della tensione in un condensatore ossia
Qui arriva il problema.
Io avevo ipotizzato di calcolare V0 (V con 0...non so come fare il pedice
) iniziale dalla formula inversa della capacità Q = VC. Infatti avendo sia Q che C avrei potuto calcolare la tensione che c'era ai capi del condensatore.
Però poi ho trovato sul libro un problema identico! Che calcola la stessa cosa (quanto tempo passerà prima che la tensione scenda al 10% del valore iniziale) fornendo solo la resistenza R e la capacità C.
Il calcolo che fa è questo:
Ecco, io non ho capito al 100% la risoluzione. In particolare non ho capito i passaggi dal logaritmo naturale in poi, cioè perchè fa il logaritmo di 0.10 che è di quanto noi vogliamo vedere che scende la tensione in pratica...cosa centra?!
E questa risoluzione sarebbe applicabile al mio problema? Infatti c'è una sola differenza, in quel problema sul libro si specifica che il condensatore era carico al MASSIMO, nel mio invece non si dice nulla al riguardo. Per quello avevo ipotizzato andasse calcolata la tensione V0 iniziale...anche se poi una volta calcolatala non sapevo che calcoli fare di preciso :S
questa volta mi son cimentato in un nuovo problema in cui c'è un circuito RC. Vi riporto il testo:
Un condensatore C=100 mF, avente una carica iniziale q=50 mC, viene connesso ad un resistore R=2·10^4 Ohm. Calcolare
a) dopo quanto tempo dalla connessione con il resistore la differenza di potenziale ai capi del condensatore si riduce ad 1/10 del suo valore iniziale, e
b) la potenza dissipata dal resistore negli istanti immediatamente successivi alla connessione.
Allora, mi sono fatto un'idea su come procedere cioè innanzitutto c'è da calcolare la costante di tempo Tau (non so come inserire il simbolo :S)
Tau = RC = (2*10^4 Ohm) * (100*10^-6 F) = 2 secondi
Dopodichè ho pensato andasse utilizzata la formula di decadimento esponenziale della tensione in un condensatore ossia
$ V = V0 ** (e^(-t // RC)) $
Qui arriva il problema.
Io avevo ipotizzato di calcolare V0 (V con 0...non so come fare il pedice
) iniziale dalla formula inversa della capacità Q = VC. Infatti avendo sia Q che C avrei potuto calcolare la tensione che c'era ai capi del condensatore. Però poi ho trovato sul libro un problema identico! Che calcola la stessa cosa (quanto tempo passerà prima che la tensione scenda al 10% del valore iniziale) fornendo solo la resistenza R e la capacità C.
Il calcolo che fa è questo:
Problema del libro.
C = 35 mF
R = 120 Ohm
Risoluzione:
Tau = RC = (120 ohm)(35 mF) = $ 4.2 ** 10^-3 $ secondi
Dopo un tempo t la tensione sulle armature sarà:
$ V = V0 ** (e^(-t//RC)) $
Noi vogliamo conoscere il tempo t per il quale V = (0.10)V0. Perciò poniamo:
(0.10)V0 = V = $ V0 ** (e^(-t // RC)) $
Da questo deduciamo che:
$ (e^(-t // RC)) = 0.10 $
Sapendo che l'operazione inversa dell'esponenziale e, è il logaritmo naturale ln, allora:
$ ln ** (e^(-t // RC)) = - t/(RC) = ln 0.10 = -2.3 $
Perciò il tempo necessario è:
t = 2.3(RC) = (2.3)($ 4.2 ** 10^-3 $ ) = $ 9.7 ** 10^-3 $ secondi
o 9.7 ms..
Ecco, io non ho capito al 100% la risoluzione. In particolare non ho capito i passaggi dal logaritmo naturale in poi, cioè perchè fa il logaritmo di 0.10 che è di quanto noi vogliamo vedere che scende la tensione in pratica...cosa centra?!
E questa risoluzione sarebbe applicabile al mio problema? Infatti c'è una sola differenza, in quel problema sul libro si specifica che il condensatore era carico al MASSIMO, nel mio invece non si dice nulla al riguardo. Per quello avevo ipotizzato andasse calcolata la tensione V0 iniziale...anche se poi una volta calcolatala non sapevo che calcoli fare di preciso :S
Risposte
p.s. non capisco perchè nelle formule compaia una V rossa. Non guardatela perchè non c'è nella formula non esiste 
"Isonz":
$ln**(e^(-t/(RC)))=-t/(RC)=ln0.10=-2.3$
Non ho capito, $[**]$ è un segno di moltiplicazione?
si si!
"Isonz":
si si!
Mi dispiace deluderti, ma avrei preferito una distrazione. Quindi, per fare un esempio, è necessario un segno di moltiplicazione anche in $[sin**x]$ e $[cos**x]$?
No ovvio che no ._.! Era chiaramente evitabile! L'ho messo così per chiarezza!
"Isonz":
L'ho messo così per chiarezza!
Scusa ma continuo a non capire. Risolveresti così questa equazione:
$[lnx=2] rarr [x=2/ln]$
no! $ lnx = 2 -> x = e^2 $
Ma perchè tutte queste domande scusa? O_o
Ma perchè tutte queste domande scusa? O_o
"Isonz":
Ma perchè tutte queste domande scusa?
Alcuni studenti pensano ci sia un prodotto. Del resto, nonostante tu abbia risolto correttamente l'ultima equazione, avevi detto che quello era un segno di moltiplicazione, magari inutile, ma pur sempre un segno di moltiplicazione. A questo punto, non capisco quali difficoltà tu possa avere nel risolvere quell'equazione:
$[e^(-t/(RC))=1/10] rarr [-t/(RC)=ln(1/10)] rarr [t=RC*ln10] $
Noooooooo non mi son accorto ho detto una scemenza! Ho capitooo... Io non intendevo tra ln e la parentesi! Io ho guardato velocemente la tua domanda, e ho visto che chiedevi se l'asterisco * fosse inteso come moltiplicazione, ma credevo in generale!!! Hai ragione quando hai detto "per distrazione", lì in quel punto l'ho messo per distrazione non ci va la moltiplicazione...è che nelle formule prima continuavo a metterlo (tipo tra V0 e le parentesi) e per errore l'ho infilato anche li...!!!
AAAAAAH! Visto come me l'hai scritto tu è tutto molto più chiaro!
Perchè...ho capito! Allora...
essendo $ e^(-t/(RC)) = 1 / (10) $
ed essendo il logaritmo l'esponente che va dato alla base per ottenere l'argomento allora essendo ln in base e
$ ln(1/(10)) = -t/(RC) $ perchè $ -t/(RC) $ è l'esponente che devo dare ad e per ottenere $ (1/(10)) $....corretto?
Si è un ragionamento da bambino delle medie ma mi serve per capire. xD
Perchè però hai aggiunto t = RC * ln10 ?! Volevi dire per ln0.10 ?
AAAAAAH! Visto come me l'hai scritto tu è tutto molto più chiaro!
Perchè...ho capito! Allora...
essendo $ e^(-t/(RC)) = 1 / (10) $
ed essendo il logaritmo l'esponente che va dato alla base per ottenere l'argomento allora essendo ln in base e
$ ln(1/(10)) = -t/(RC) $ perchè $ -t/(RC) $ è l'esponente che devo dare ad e per ottenere $ (1/(10)) $....corretto?
Si è un ragionamento da bambino delle medie ma mi serve per capire. xD
Perchè però hai aggiunto t = RC * ln10 ?! Volevi dire per ln0.10 ?
@Isonz
Intanto scusami se ti son sembrato incalzante. Per quanto riguarda il resto:
$[e^(-t/(RC))=1/10] rarr [-t/(RC)=ln(1/10)] rarr [-t/(RC)=ln(10^(-1))] rarr [-t/(RC)=-ln10] rarr [t=RC*ln10]$
Intanto scusami se ti son sembrato incalzante.
Per quanto riguarda il resto:$[e^(-t/(RC))=1/10] rarr [-t/(RC)=ln(1/10)] rarr [-t/(RC)=ln(10^(-1))] rarr [-t/(RC)=-ln10] rarr [t=RC*ln10]$
tranquillo! Mi hai un pò spaventato ahahHo capito si, hai ragione, così si toglie anche il - che infatti mi domandavo dove andasse a finire!
A questo punto ho provato a risolvere anche il mio problema così e sembra venga una soluzione coerente. Infatti sapendo che Tau = RC = 2 secondi e sapendo che $ ln(1/10) = 2.3 $ allora t = 4.6 secondi che mi sembra un tempo più che accettabile
Ti volevo chiedere è giusto quindi che il fatto che esso sia o non sia carico al massimo non interferisca col quesito a) perchè comunque il tempo di "scaricamento" non dipende dalla quantità di carica quanto piuttosto dalla resistenza e dalla capacità...giusto?! O sto dicendo cavolate?!
Scusa un'altra cosa rapida.
Per il punto b) ho pensato di risolvere così, potresti dirmi se va bene?
Allora tramite l'inversa della formula della capacita Q = CV calcolo il potenziale del condensatore ossia V = Q/C.
Avendo il potenziale il problema dice la potenza dissipata immediatamente dopo che il condensatore viene collegato al resistore, quindi il condensatore è ancora carico e la tensione che arriva al resistore sarà quella appena calcolata!
Quindi avendo la tensione V, e la resistenza R posso calcolare la corrente I tramite la Legge di Ohm.
E poi in seguito calcolare la potenza dissipata con la formula $ P = RI^2$!
Corretto?!
Per il punto b) ho pensato di risolvere così, potresti dirmi se va bene
?Allora tramite l'inversa della formula della capacita Q = CV calcolo il potenziale del condensatore ossia V = Q/C.
Avendo il potenziale il problema dice la potenza dissipata immediatamente dopo che il condensatore viene collegato al resistore, quindi il condensatore è ancora carico e la tensione che arriva al resistore sarà quella appena calcolata!
Quindi avendo la tensione V, e la resistenza R posso calcolare la corrente I tramite la Legge di Ohm.
E poi in seguito calcolare la potenza dissipata con la formula $ P = RI^2$!
Corretto?!
Intanto $[ln(1/10)=-2.3]$. La caratteristica che dipende da $[R]$ e da $[C]$ è la "costante di tempo" $[\tau=RC]$. Essa rappresenta il tempo necessario affinchè la tensione si riduca di un fattore $[e]$ rispetto al valore iniziale:
$[V_0e^(-t/\tau)=V_0/e] rarr [V_0e^(-t/\tau)=V_0e^(-1)] rarr [-t/\tau=-1] rarr [t=\tau]$
L'altro esercizio al quale ti stai riferendo, probabilmente comprendeva un precedente processo di carica ottenuto mediante collegamento ad un generatore. In questo caso, ha perfettamente senso dire che il condensatore viene scollegato dal generatore solo quando ha acquistato la massima carica possibile, magari per poi scaricarlo su una resistenza e tornare all'esercizio che tu hai proposto. Tuttavia, se io scollego il condensatore prima di acquistare la massima carica disponibile, il condensatore non ricorda che era stato collegato ad un generatore che poteva fornirgliene una quantità maggiore. Sarebbe come se lo avessi collegato ad un generatore con f.e.m. minore ma del quale ho sfruttato la massima potenzialità di carica. Per farla breve, ti viene dato un condensatore con una certa carica. Lo puoi tranquillamente considerare come se fosse stato caricato al massimo mediante un opportuno generatore. Quello che voglio dire è che, se non si parla del precedente processo di carica, non ha alcun senso dire che il condensatore ha la massima carica. Il condensatore è carico, la sua carica dipende dal precedente processo di carica di cui il condensatore non ha memoria, se non per il fatto che ha una determinata carica, vado a scaricare il condensatore su una resistenza e applico le formule che, per $[t=0]$, prevedono la massima carica.
$[V_0e^(-t/\tau)=V_0/e] rarr [V_0e^(-t/\tau)=V_0e^(-1)] rarr [-t/\tau=-1] rarr [t=\tau]$
L'altro esercizio al quale ti stai riferendo, probabilmente comprendeva un precedente processo di carica ottenuto mediante collegamento ad un generatore. In questo caso, ha perfettamente senso dire che il condensatore viene scollegato dal generatore solo quando ha acquistato la massima carica possibile, magari per poi scaricarlo su una resistenza e tornare all'esercizio che tu hai proposto. Tuttavia, se io scollego il condensatore prima di acquistare la massima carica disponibile, il condensatore non ricorda che era stato collegato ad un generatore che poteva fornirgliene una quantità maggiore. Sarebbe come se lo avessi collegato ad un generatore con f.e.m. minore ma del quale ho sfruttato la massima potenzialità di carica. Per farla breve, ti viene dato un condensatore con una certa carica. Lo puoi tranquillamente considerare come se fosse stato caricato al massimo mediante un opportuno generatore. Quello che voglio dire è che, se non si parla del precedente processo di carica, non ha alcun senso dire che il condensatore ha la massima carica. Il condensatore è carico, la sua carica dipende dal precedente processo di carica di cui il condensatore non ha memoria, se non per il fatto che ha una determinata carica, vado a scaricare il condensatore su una resistenza e applico le formule che, per $[t=0]$, prevedono la massima carica.
Ok ho capito! Però mi sorge un dubbio...allora cioè...non mi servirà mai realmente calcolare $ V_0 $nella formula!
Cioè intendo dire, io avrei potuto nel mio problema calcolare $ V_0 $ però non l'ho fatto, se l'avessi fatto e l'avessi messo nella formula cosa sarebbe accaduto?!
Poi scusa ti volevo chiedre un'altra cosa rapida.
Per il punto b) sempre dello stesso esercizio (che chiedeva di calcolare la potenza dissipata dalla resistenza immediatamente dopo che il condensatore viene collegato ad essa) ho pensato di risolvere così, potresti dirmi se va bene?
Allora tramite l'inversa della formula della capacita Q = CV calcolo il potenziale del condensatore ossia V = Q/C.
Avendo il potenziale il problema dice la potenza dissipata immediatamente dopo che il condensatore viene collegato al resistore, quindi il condensatore è ancora carico e la tensione che arriva al resistore sarà quella appena calcolata!
Quindi avendo la tensione V, e la resistenza R posso calcolare la corrente I tramite la Legge di Ohm.
E poi in seguito calcolare la potenza dissipata con la formula $ P = RI^2$!
Corretto?!
Cioè intendo dire, io avrei potuto nel mio problema calcolare $ V_0 $ però non l'ho fatto, se l'avessi fatto e l'avessi messo nella formula cosa sarebbe accaduto?!
Poi scusa ti volevo chiedre un'altra cosa rapida.
Per il punto b) sempre dello stesso esercizio (che chiedeva di calcolare la potenza dissipata dalla resistenza immediatamente dopo che il condensatore viene collegato ad essa) ho pensato di risolvere così, potresti dirmi se va bene
?Allora tramite l'inversa della formula della capacita Q = CV calcolo il potenziale del condensatore ossia V = Q/C.
Avendo il potenziale il problema dice la potenza dissipata immediatamente dopo che il condensatore viene collegato al resistore, quindi il condensatore è ancora carico e la tensione che arriva al resistore sarà quella appena calcolata!
Quindi avendo la tensione V, e la resistenza R posso calcolare la corrente I tramite la Legge di Ohm.
E poi in seguito calcolare la potenza dissipata con la formula $ P = RI^2$!
Corretto?!
"Isonz":
Ok ho capito! Però mi sorge un dubbio...allora cioè...non mi servirà mai realmente calcolare $ V_0 $nella formula!
Cioè intendo dire, io avrei potuto nel mio problema calcolare $ V_0 $ però non l'ho fatto, se l'avessi fatto e l'avessi messo nella formula cosa sarebbe accaduto?!
Puoi tranquillamente non calcolarlo, nell'equazione risolutiva si semplifica.
"Isonz":
Per il punto b) sempre dello stesso esercizio (che chiedeva di calcolare la potenza dissipata dalla resistenza immediatamente dopo che il condensatore viene collegato ad essa) ho pensato di risolvere così, potresti dirmi se va bene
Allora tramite l'inversa della formula della capacita Q = CV calcolo il potenziale del condensatore ossia V = Q/C.
Avendo il potenziale il problema dice la potenza dissipata immediatamente dopo che il condensatore viene collegato al resistore, quindi il condensatore è ancora carico e la tensione che arriva al resistore sarà quella appena calcolata!
Quindi avendo la tensione V, e la resistenza R posso calcolare la corrente I tramite la Legge di Ohm.
E poi in seguito calcolare la potenza dissipata con la formula $ P = RI^2$!
Corretto?!
Ok, anche $[P=V^2/R]$. Tuttavia, se ti avecce chiesto il calore sviluppato nella resistenza durante il processo di scarica, devi tener conto che la corrente è variabile. Quindi, per calcolare il calore dissipato per effetto Joule, devi integrare la potenza rispetto al tempo:
$Q=\int_{0}^{+oo}V_0^2/Re^(-(2t)/(RC))dt=V_0^2/R[-(RC)/2e^(-(2t)/(RC))]_0^(+oo)=V_0^2/R(0+(RC)/2)=(V_0^2C)/2$
Lo stesso risultato sarebbe stato ottenuto mediante il principio di conservazione dell'energia, dato che il calore sviluppato è uguale all'energia $[W=(V_0^2C)/2]$ immagazzinata inizialmente dal condensatore. Ho voluto integrare quello che hai detto in quanto non è proprio chiaro che cosa intendesse il testo e, comunque, puoi trovare queste richieste anche in altri esercizi.
Ti ringrazio sei stato molto gentile! Adesso è tutto chiaro! Chissà che forse in un altro esercizio mi capiti la dissipazione del calore almeno adesso so come risolverla!
almeno adesso so come risolverla!
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