Circuito RC immerso in un campo magnetico uniforme
Salve ragazzi, sono un neo-iscritto. Vi ho sempre seguito e stimato come lettore "esterno" e vi faccio i complimenti.
Oggi vi propongo una variante al problema di una sbarra conduttrice mobile in un campo magnetico che chiude una resistenza: si immagini infatti di avere, in serie, una resistenza \(\displaystyle R \) ed un condensatore di capacità \(\displaystyle C \), chiusi da un'asta conduttrice mobile di lunghezza \(\displaystyle l \), massa \(\displaystyle m \) e resistenza trascurabile, inizialmente in moto con velocità \(\displaystyle v_0 \). La figura dovrebbe chiarire ogni dubbio, perdonate la bassa qualità.
Il problema chiede di determinare l'andamento della velocità, ma, anche per ragioni didattiche, mi interesserebbe avere idea anche dell'andamento della corrente \(\displaystyle i \) nel circuito e della carica \(\displaystyle Q \) sul condensatore.
In breve sull'asta agisce una forza funzione della corrente che vi scorre attraverso. La corrente a sua volta è funzione della f.e.m. indotta dalla variazione di flusso magnetico spazzato dalla sbarra e della situazione sulle armature del condensatore.
Ho tentato più volte di impostare un'equazione differenziale che tenesse conto delle variazioni infinitesime di tutte le quantità in gioco, tuttavia le soluzioni che ottengo non sono, in un certo senso, quelle che mi aspetto. Quando la corrente che scorre nel sistema è 0, allora nessuna grandezza in gioco subisce variazioni infinitesime, dunque è una situazione di equilibrio che mi aspetto venga raggiunta dal sistema.
Infine tra le richieste del problema si chiede di determinare il massimo di energia contenuta nel condensatore, che equivale a cercare un massimo per la carica in esso contenuta. Tuttavia le soluzioni che trovo sono tutte monotone, la risposta sarebbe banale, e non mi convince.
Oggi vi propongo una variante al problema di una sbarra conduttrice mobile in un campo magnetico che chiude una resistenza: si immagini infatti di avere, in serie, una resistenza \(\displaystyle R \) ed un condensatore di capacità \(\displaystyle C \), chiusi da un'asta conduttrice mobile di lunghezza \(\displaystyle l \), massa \(\displaystyle m \) e resistenza trascurabile, inizialmente in moto con velocità \(\displaystyle v_0 \). La figura dovrebbe chiarire ogni dubbio, perdonate la bassa qualità.
Il problema chiede di determinare l'andamento della velocità, ma, anche per ragioni didattiche, mi interesserebbe avere idea anche dell'andamento della corrente \(\displaystyle i \) nel circuito e della carica \(\displaystyle Q \) sul condensatore.
In breve sull'asta agisce una forza funzione della corrente che vi scorre attraverso. La corrente a sua volta è funzione della f.e.m. indotta dalla variazione di flusso magnetico spazzato dalla sbarra e della situazione sulle armature del condensatore.
Ho tentato più volte di impostare un'equazione differenziale che tenesse conto delle variazioni infinitesime di tutte le quantità in gioco, tuttavia le soluzioni che ottengo non sono, in un certo senso, quelle che mi aspetto. Quando la corrente che scorre nel sistema è 0, allora nessuna grandezza in gioco subisce variazioni infinitesime, dunque è una situazione di equilibrio che mi aspetto venga raggiunta dal sistema.
Infine tra le richieste del problema si chiede di determinare il massimo di energia contenuta nel condensatore, che equivale a cercare un massimo per la carica in esso contenuta. Tuttavia le soluzioni che trovo sono tutte monotone, la risposta sarebbe banale, e non mi convince.
Risposte
Perché non provi a postare tutte le equazioni che legano le diverse grandezze: regola del flusso (ex FaradayNL), forza su conduttore, Kirchhoff alla maglia, equazione costitutiva del bipolo condensatore ecc.? Poi ti aiutiamo a "fonderle" insieme.
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Edit: a occhio e croce direi che si potrebbe seguire la seguente scaletta:
i) forza sulla barra in funzione della corrente i(t)
ii) velocità v(t) della stessa via velocità iniziale e accelerazione a(t)
iii) KVL alla maglia come somma algebrica dei tre termini componenti
iiii) esprimere tutto in funzione della carica q(t) e delle sue derivate
v) risolvere l'equazione differenziale ottenuta.
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Edit: a occhio e croce direi che si potrebbe seguire la seguente scaletta:
i) forza sulla barra in funzione della corrente i(t)
ii) velocità v(t) della stessa via velocità iniziale e accelerazione a(t)
iii) KVL alla maglia come somma algebrica dei tre termini componenti
iiii) esprimere tutto in funzione della carica q(t) e delle sue derivate
v) risolvere l'equazione differenziale ottenuta.
La determinazione risolutiva di questi "studenti" è davvero "commovente"! 
Questo problema era senza dubbio interessante e vedendo che ho un po' di tempo da perdere, per mia curiosità, scendo nei dettagli risolutivi della scaletta proposta:
come ben noto, per un filo percorso da corrente e immerso in un campo magnetico normale allo stesso
$f(t)=Bli(t)$
mentre per la velocità della barra, frenata dalla suddetta forza,
$v(t)=v_0-\int_{0}^{t}a(t)dt=v_0-\frac{1}{m}\int_{0}^{t}f(t)dt=v_0-\frac{Bl}{m}q(t)$
di conseguenza la KVL alla maglia, visto che la fem indotta come noto è $e(t)=Blv(t)$, potrà essere scritta come
$e-q/C-Ri=Bl(v_0-\frac{Bl}{m}q)-q/C-R i=0$
che porta alla seguente equazione differenziale [nota]E' interessante notare come la presenza dell'inerzia meccanica vada ad equivalere ad un condensatore addizionale serie, di capacità $\frac{m}{B^2l^2}$ che, per una massa dell'ordine delle decine di grammi, per campi dell'ordine dei decimi di tesla e lunghezze dei decimi di metro, è equivalente a capacità dell'ordine delle decine di millifarad
[/nota]
$ \frac{\text{d} q }{\text{d} t} +(\frac{1}{RC}+\frac{B^2l^2}{mR})q=\frac{v_0Bl}{R}$
che risolta darà la $q(t)$, e di conseguenza la $v(t)$.
Questo problema era senza dubbio interessante e vedendo che ho un po' di tempo da perdere, per mia curiosità, scendo nei dettagli risolutivi della scaletta proposta:
come ben noto, per un filo percorso da corrente e immerso in un campo magnetico normale allo stesso
$f(t)=Bli(t)$
mentre per la velocità della barra, frenata dalla suddetta forza,
$v(t)=v_0-\int_{0}^{t}a(t)dt=v_0-\frac{1}{m}\int_{0}^{t}f(t)dt=v_0-\frac{Bl}{m}q(t)$
di conseguenza la KVL alla maglia, visto che la fem indotta come noto è $e(t)=Blv(t)$, potrà essere scritta come
$e-q/C-Ri=Bl(v_0-\frac{Bl}{m}q)-q/C-R i=0$
che porta alla seguente equazione differenziale [nota]E' interessante notare come la presenza dell'inerzia meccanica vada ad equivalere ad un condensatore addizionale serie, di capacità $\frac{m}{B^2l^2}$ che, per una massa dell'ordine delle decine di grammi, per campi dell'ordine dei decimi di tesla e lunghezze dei decimi di metro, è equivalente a capacità dell'ordine delle decine di millifarad
[/nota]$ \frac{\text{d} q }{\text{d} t} +(\frac{1}{RC}+\frac{B^2l^2}{mR})q=\frac{v_0Bl}{R}$
che risolta darà la $q(t)$, e di conseguenza la $v(t)$.
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