Circuito RC

[innavoig.s]

Un condensatore di capacità C=4F si scarica su una resistenza di R=5 ohm . In quanto tempo t si dimezza l'energia immagazzinata nel condensatore?

Come bisogna procedere?
grazie in anticipo!

[5mrkv]

Hai un circuito RC in fase di scarica. Devi scrivere l'equazione differenziale e risolverla. Partendo dalla legge delle maglie

\[
\begin{split}
iR+\frac{q}{C}&=0 \\
\frac{di}{dt}R+\frac{1}{C}\frac{dq}{dt}&=0 \\
\frac{di}{dt}R&=-\frac{i}{C} \\
\frac{di}{i}&=-\frac{dt}{RC} \\
\int_{i_{0}}^{i}\frac{di}{i}&=-\int_{0}^{t}\frac{dt}{RC} \\
\ln \frac{i}{i_{0}}&=\frac{i}{RC} \\
i&=i_{0}exp\left [-\frac{t}{RC}\right] \\
i(t)&=-\frac{\mathcal{E}}{R}exp\left [-\frac{t}{RC}\right] \\
\end{split}
\]

A questo punto hai la corrente nel circuito in funzione del tempo, devi trovare il potenziale nel condensatore come funzione del tempo

\[
v=\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i(t')dt'
\]

Una volta trovato lo inserisci nella relazione per l'energia immagazzinata nel condensatore. Considerando il lavoro totale per spostare una carica da un piatto all'altro del condensatore, si ricava

\[
\begin{split}
dE&=vdq \\
dE&=\frac{q}{C}dq \\
\int_{0}^{E} dE'&= \int_{0}^{q} \frac{q'}{C}dq' \\
E&=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C} \\
E&=\frac{1}{2}Cv^{2} \\
\end{split}
\]