Circuito RC
Un circuito RC viene collegato a un generatore che fornisce una ΔV=12V. C = 8 μF.
Calcolare la carica Q0 che il condensatore avrebbe a tempo infinito.
Calcolare la carica che ha il condensatore dopo 2ms da quando viene collegato al generatore.
Una volta carico, viene scaricato. Calcolare il tempo t* al quale la carica è diminuita del 50%.
Risoluzione:
Allora ho trovato la carica Q0 semplicemente facendo ΔV*C e risulta circa 9,6*10^-5 C. (è esatto).
Ora sono bloccato: non so come ricavare il secondo punto. E' possibile che manchi un dato tipo R o i? Oppure sto ignorando una formula? Grazie a chi mi dà una mano
Calcolare la carica Q0 che il condensatore avrebbe a tempo infinito.
Calcolare la carica che ha il condensatore dopo 2ms da quando viene collegato al generatore.
Una volta carico, viene scaricato. Calcolare il tempo t* al quale la carica è diminuita del 50%.
Risoluzione:
Allora ho trovato la carica Q0 semplicemente facendo ΔV*C e risulta circa 9,6*10^-5 C. (è esatto).
Ora sono bloccato: non so come ricavare il secondo punto. E' possibile che manchi un dato tipo R o i? Oppure sto ignorando una formula? Grazie a chi mi dà una mano
Risposte
Conosci la legge che lega la variazione di corrente (o tensione) nel tempo in un circuito RC, al tempo stesso?
Utilizziamo le leggi di Kirchhoff e di Ohm per determinare l'equazione della maglia:
$V_0-V_c=IR$
Dove V_0 è la tensione erogata dal generatore, che supponiamo costante, e $V_c$ è la tensione ai capi del condensatore. Ho messo un -, in quanto la differenza di potenziale ai capi del condensatore è opposta, guardando il verso della corrente, a quella del generatore. Ora, il condensatore, nel tempo, si carica, fino a quando è completamente carico. Durante il processo di carica,tuttavia, ha una tensione dipendente dal tempo: ovviamente, più tempo si aspetta, più si sarà caricato. Ai capi di un condensatore, vi è la seguente relazione:
$V_c=Q/C$
Dove Q è la carica del condensatore, anch'essa variabile nel tempo, e C la capacità. Inoltre, saprai che I è definita come...
$I=(dQ)/dt$
Sostituendo,
$V_0=R(dQ)/dt+Q/C$
Che è un'equazione differenziale nella variabile Q. Risolviamola per variabili separabili: la relazione precedente può essere scritta come...
$RC(dQ)/dt=V_0C-Q$
I più puritani mi criticheranno per quello che sto per dire, ma ci tengo che tu capisca al di là del rigore matematico: spostando i differenziali,
$RC(dQ)/(Q-V_0C)=-dt$
E, integrando ambo i membri,
$RC\int_{Q_0}^{Q}(dQ)/(Q-V_0C)=-\int_{0}^{t}dt$
Ho supposto l'istante iniziale $t_0=0$.Riconoscerai al primo membro un intrgrale il cui risultato è un logaritmo:
$RC[ln(Q-V_0C)-ln(Q_0-V_0C)]=-t$
La carica iniziale $Q_0$ del condensatore è 0 poiché il condensatore è inizialmente scarico, perciò:
$ln((Q-V_0C)/(-V_0C))=-t/(RC)$
Avrai notato che ho unito i logaritmi in quanto la differenza tra logaritmi è il logaritmo della differenza. Allora,
$(V_0C-Q)/(V_0C)=e^(-t/(RC))$
E, isolando Q,
$Q=V_0C(1-e^(-t/(RC)))$
E hai in questo modo ottenuto la carica del condensatore al variare del tempo: così puoi risolvere il punto 2 del tuo esercizio
Osserverai che per $t\rightarrow\infty$, l'esponenziale tende a 0, e la carica tende proprio al risultato scritto da te $V_0C$! Per il punto 3 c'è un discorso molto simile: ripetendo un analogo ragionamento, arriveresti a dimostrare che, in fase di scarica, la carica varia con la relazione:
$Q=V_0Ce^-(t/(RC))$
Con la quale puoi risolvere l'ultimo punto
Utilizziamo le leggi di Kirchhoff e di Ohm per determinare l'equazione della maglia:
$V_0-V_c=IR$
Dove V_0 è la tensione erogata dal generatore, che supponiamo costante, e $V_c$ è la tensione ai capi del condensatore. Ho messo un -, in quanto la differenza di potenziale ai capi del condensatore è opposta, guardando il verso della corrente, a quella del generatore. Ora, il condensatore, nel tempo, si carica, fino a quando è completamente carico. Durante il processo di carica,tuttavia, ha una tensione dipendente dal tempo: ovviamente, più tempo si aspetta, più si sarà caricato. Ai capi di un condensatore, vi è la seguente relazione:
$V_c=Q/C$
Dove Q è la carica del condensatore, anch'essa variabile nel tempo, e C la capacità. Inoltre, saprai che I è definita come...
$I=(dQ)/dt$
Sostituendo,
$V_0=R(dQ)/dt+Q/C$
Che è un'equazione differenziale nella variabile Q. Risolviamola per variabili separabili: la relazione precedente può essere scritta come...
$RC(dQ)/dt=V_0C-Q$
I più puritani mi criticheranno per quello che sto per dire, ma ci tengo che tu capisca al di là del rigore matematico: spostando i differenziali,
$RC(dQ)/(Q-V_0C)=-dt$
E, integrando ambo i membri,
$RC\int_{Q_0}^{Q}(dQ)/(Q-V_0C)=-\int_{0}^{t}dt$
Ho supposto l'istante iniziale $t_0=0$.Riconoscerai al primo membro un intrgrale il cui risultato è un logaritmo:
$RC[ln(Q-V_0C)-ln(Q_0-V_0C)]=-t$
La carica iniziale $Q_0$ del condensatore è 0 poiché il condensatore è inizialmente scarico, perciò:
$ln((Q-V_0C)/(-V_0C))=-t/(RC)$
Avrai notato che ho unito i logaritmi in quanto la differenza tra logaritmi è il logaritmo della differenza. Allora,
$(V_0C-Q)/(V_0C)=e^(-t/(RC))$
E, isolando Q,
$Q=V_0C(1-e^(-t/(RC)))$
E hai in questo modo ottenuto la carica del condensatore al variare del tempo: così puoi risolvere il punto 2 del tuo esercizio
Osserverai che per $t\rightarrow\infty$, l'esponenziale tende a 0, e la carica tende proprio al risultato scritto da te $V_0C$! Per il punto 3 c'è un discorso molto simile: ripetendo un analogo ragionamento, arriveresti a dimostrare che, in fase di scarica, la carica varia con la relazione:$Q=V_0Ce^-(t/(RC))$
Con la quale puoi risolvere l'ultimo punto
Allora io avevo usato proprio quella formula, ma il mio problema rimane... come faccio a calcolare Q se non ho R?
Ti chiedo scusa, non avevo letto a fondo i dati disponibili del tuo testo. Apparentemente mi verrebbe da pensare che, senza la R, il problema non è risolvibile: provo a darci ancora un occhio sperando di poterti aiutare.
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