Circuito con sbarretta mobile davanti a piano conduttore
Salve a tutti!
Sono di nuovo qua con un'altra domanda in vista dell'esame di Fisica II. Stavo risolvendo questo esercizio ma non sono del tutto sicuro sul ragionamento che ho fatto per risolvere il secondo punto. Posto di seguto il testo del problema e la risoluzione del primo punto:
[img]
[/img]
(a)
Si ha ovviamente che il piano conduttore divide lo spazio in due semispazi con \(\displaystyle x<0 \) e \(\displaystyle x>0 \). Tale piano, essendo infinito ed indefinito, può essere scomposto in una serie di fili infniti percorsi da corrente. Per la simmetria del problema, è possibile identificare per ogni filo scelto sul piano un secondo filo simmetricamente opposto rispetto all'asse z. Si osserva subito che per un punto P qualsiasi nello spazio, scelto in questo caso nel semispazio positivo x>0, i due fili simmetrici percorsi da corrente esercitano due contributi il cui risultante è un campo di induzione magnetico parallelo al piano conduttore e diretto nel verso dell'asse z positivo. Lo stesso ragionamento è applicabile per un punto qualsiasi nel semispazion x<0. Per la determinazione del modulo del campo è possibile utilizzare il teorema di circuitazione di Ampère, considerando un curva \(\displaystyle l \) (rettangolare) che attraversi il piano conduttore. Si ottiene allora:
\(\displaystyle \int_{l} \overline{B}_{0} d\overline{l} = B_{0} 2l = \mu_{0} J_{0} l\Rightarrow B_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \)
oss:= La circuitazione del campo \(\displaystyle B_{0} \) lungo i lati del rettangolo normali al piano conduttore è nulla, rimane quindi solo il contributo dei due lati paralleli al piano.
Concludiamo che il campo induzione magnetica nello spazio è:
\(\displaystyle x>0 \Rightarrow \overline{B}_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
\(\displaystyle x<0 \Rightarrow \overline{B}_{0} =-{\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
(b)
Per quanto riguarda questo punto procederei così: il generatore di tensione fa circolare inizialmente una certa corrente \(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} \) nel circuito, che, interagendo con il campo induzione magnetica esterno \(\displaystyle \overline{B}_{0} = B_{0} \hat{z} \) per \(\displaystyle x>0 \), provoca la nascita di una forza di modulo \(\displaystyle F= i(t) l B_{0} \), perpendicolarmente alla sbarretta e diretta verso l'asse x positivo, sulla sbarretta che la mette in moto. Fissando un sistema di riferimento con l'origine nella posizione iniziale, lungo l'asse x, della sbarretta , si osserva che una volta che quest'ultima si è mossa si ha per l'area del circuito che:
\(\displaystyle A(x) = A_{0} + lx \)
Dunque il flusso del campo \(\displaystyle \overline{B}_{0} \) concatenato con il circuito è:
\(\displaystyle \int_{A} \overline{B}_{0} d\overline{A} = B_{0} A(x) = B_{0}A_{0} + B_{0} l x(t) \)
La derivata temporale del flusso comporta quindi l'esistenza di una forza elettromotrice indotta sul circuito data da:
\(\displaystyle f_{i} = -{d \Phi(\overline{B}_{0}) \over dt} = -B_{0} l {d x(t) \over dt}\)
Tale forza elettromotrice indotta si andrà ad opporre alla forza elettromotrice generata dal generatore di corrente, ottenendo una fem complessiva pari a:
\(\displaystyle f_{em} = -f_{i} + f_{e} = -B_{0} l {d x(t) \over dt} + V_{0} \)
Possiamo quindi concludere che nel circuito e quindi nella sbarretta scorre una corrente pari a:
\(\displaystyle i(t) = {f_{em} \over R} = { V_{0} -B_{0} l {d x(t) \over dt} \over R}\)
E' corretto agire così per la determinazione della corrente nella sbarretta o mi sto perdendo qualcosa? Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e la disponbilità!
Sono di nuovo qua con un'altra domanda in vista dell'esame di Fisica II. Stavo risolvendo questo esercizio ma non sono del tutto sicuro sul ragionamento che ho fatto per risolvere il secondo punto. Posto di seguto il testo del problema e la risoluzione del primo punto:
[img]
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(a)
Si ha ovviamente che il piano conduttore divide lo spazio in due semispazi con \(\displaystyle x<0 \) e \(\displaystyle x>0 \). Tale piano, essendo infinito ed indefinito, può essere scomposto in una serie di fili infniti percorsi da corrente. Per la simmetria del problema, è possibile identificare per ogni filo scelto sul piano un secondo filo simmetricamente opposto rispetto all'asse z. Si osserva subito che per un punto P qualsiasi nello spazio, scelto in questo caso nel semispazio positivo x>0, i due fili simmetrici percorsi da corrente esercitano due contributi il cui risultante è un campo di induzione magnetico parallelo al piano conduttore e diretto nel verso dell'asse z positivo. Lo stesso ragionamento è applicabile per un punto qualsiasi nel semispazion x<0. Per la determinazione del modulo del campo è possibile utilizzare il teorema di circuitazione di Ampère, considerando un curva \(\displaystyle l \) (rettangolare) che attraversi il piano conduttore. Si ottiene allora:
\(\displaystyle \int_{l} \overline{B}_{0} d\overline{l} = B_{0} 2l = \mu_{0} J_{0} l\Rightarrow B_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \)
oss:= La circuitazione del campo \(\displaystyle B_{0} \) lungo i lati del rettangolo normali al piano conduttore è nulla, rimane quindi solo il contributo dei due lati paralleli al piano.
Concludiamo che il campo induzione magnetica nello spazio è:
\(\displaystyle x>0 \Rightarrow \overline{B}_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
\(\displaystyle x<0 \Rightarrow \overline{B}_{0} =-{\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
(b)
Per quanto riguarda questo punto procederei così: il generatore di tensione fa circolare inizialmente una certa corrente \(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} \) nel circuito, che, interagendo con il campo induzione magnetica esterno \(\displaystyle \overline{B}_{0} = B_{0} \hat{z} \) per \(\displaystyle x>0 \), provoca la nascita di una forza di modulo \(\displaystyle F= i(t) l B_{0} \), perpendicolarmente alla sbarretta e diretta verso l'asse x positivo, sulla sbarretta che la mette in moto. Fissando un sistema di riferimento con l'origine nella posizione iniziale, lungo l'asse x, della sbarretta , si osserva che una volta che quest'ultima si è mossa si ha per l'area del circuito che:
\(\displaystyle A(x) = A_{0} + lx \)
Dunque il flusso del campo \(\displaystyle \overline{B}_{0} \) concatenato con il circuito è:
\(\displaystyle \int_{A} \overline{B}_{0} d\overline{A} = B_{0} A(x) = B_{0}A_{0} + B_{0} l x(t) \)
La derivata temporale del flusso comporta quindi l'esistenza di una forza elettromotrice indotta sul circuito data da:
\(\displaystyle f_{i} = -{d \Phi(\overline{B}_{0}) \over dt} = -B_{0} l {d x(t) \over dt}\)
Tale forza elettromotrice indotta si andrà ad opporre alla forza elettromotrice generata dal generatore di corrente, ottenendo una fem complessiva pari a:
\(\displaystyle f_{em} = -f_{i} + f_{e} = -B_{0} l {d x(t) \over dt} + V_{0} \)
Possiamo quindi concludere che nel circuito e quindi nella sbarretta scorre una corrente pari a:
\(\displaystyle i(t) = {f_{em} \over R} = { V_{0} -B_{0} l {d x(t) \over dt} \over R}\)
E' corretto agire così per la determinazione della corrente nella sbarretta o mi sto perdendo qualcosa? Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e la disponbilità!
Risposte
Premesso che non era necessario tutto quel discorso per il punto a), in quanto per la simmetria del problema, il campo non può che essere parallelo al piano ed indipendente dalla distanza dallo stesso, per la fem indotta è molto più semplice ricordare che, per un conduttore che si muove normalmente ad un campo magnetico, è pari a
$Blv$
seconda legge di Laplace.
$Blv$
seconda legge di Laplace.
"Cosmoi":
Possiamo quindi concludere che nel circuito e quindi nella sbarretta scorre una corrente pari a:
\(\displaystyle i(t) = {f_{em} \over R} = { V_{0} -B_{0} l {d x(t) \over dt} \over R}\)
Giusto, però $(dx)/(dt)$ non ce l'abbiamo...
Ciao a tutti! Anzitutto come sempre grazie e grazie per la velocità nelle risposte!
Per quanto riguarda il punto (a), sì l'ho fatta lunga ma era per spiegarmi meglio. Per quanta riguarda \(\displaystyle {dx(t) \over dt} \) è ovviamente \(\displaystyle v(t) \) ossia la velocità della sbarretta. Rimane tuttavia il problema per l'ultimo punto dove si richiede espressamente il valore numerico della potenza dissipata per effetto Joule e siccome utilizzerei la seguente relazione:
\(\displaystyle P = R i^{2}(t) \)
Non saprei come determinare il valore numerico, non conoscendo la velocità \(\displaystyle v(t) \) della sbarretta. Sto sbagliando qualcosa?
Avrei tra l'altro un ulteriore dubbio: nel circuito in esame, la corrente prodotta dal generatore di tensione non raggiunge immediatamente il proprio valore limite ma avrà una crescita temporale vista la presenza della resistenza \(\displaystyle R \) del circuito. Avrei quindi il dubbio di aggiungere alle forze elettromotrici presenti (la fem del generatore e la forza indotta dall'interazione tra la corrente ed il campo magnetico \(\displaystyle B_{0} \)), anche una forza autoindotta pari a:
\(\displaystyle f_{a} = -L{di(t) \over dt} \)
Perchè non compare tale fenomeno?
Per quanto riguarda il punto (a), sì l'ho fatta lunga ma era per spiegarmi meglio. Per quanta riguarda \(\displaystyle {dx(t) \over dt} \) è ovviamente \(\displaystyle v(t) \) ossia la velocità della sbarretta. Rimane tuttavia il problema per l'ultimo punto dove si richiede espressamente il valore numerico della potenza dissipata per effetto Joule e siccome utilizzerei la seguente relazione:
\(\displaystyle P = R i^{2}(t) \)
Non saprei come determinare il valore numerico, non conoscendo la velocità \(\displaystyle v(t) \) della sbarretta. Sto sbagliando qualcosa?
Avrei tra l'altro un ulteriore dubbio: nel circuito in esame, la corrente prodotta dal generatore di tensione non raggiunge immediatamente il proprio valore limite ma avrà una crescita temporale vista la presenza della resistenza \(\displaystyle R \) del circuito. Avrei quindi il dubbio di aggiungere alle forze elettromotrici presenti (la fem del generatore e la forza indotta dall'interazione tra la corrente ed il campo magnetico \(\displaystyle B_{0} \)), anche una forza autoindotta pari a:
\(\displaystyle f_{a} = -L{di(t) \over dt} \)
Perchè non compare tale fenomeno?
"Cosmoi":
... Rimane tuttavia il problema per l'ultimo punto dove si richiede espressamente il valore numerico della potenza dissipata per effetto Joule e siccome utilizzerei la seguente relazione:
\(\displaystyle P = R i^{2}(t) \)
Non saprei come determinare il valore numerico, non conoscendo la velocità \(\displaystyle v(t) \) della sbarretta. Sto sbagliando qualcosa? ...
Più che sbagliando, stai dimenticando che su quella barretta agisce anche una forza
$f(t)=Bli(t)$
"Cosmoi":
... la corrente prodotta dal generatore di tensione non raggiunge immediatamente il proprio valore limite ma avrà una crescita temporale vista la presenza della resistenza \(\displaystyle R \) del circuito. ...
Certo, la corrente sarà funzione del tempo, in quanto la fem indotta è funzione del tempo.
"Cosmoi":
... Avrei quindi il dubbio di aggiungere alle forze elettromotrici presenti ... anche una forza autoindotta pari a:
\(\displaystyle f_{a} = -L{di(t) \over dt} \)
Perchè non compare tale fenomeno?
Semplicemente perché non hai modo di determinare il coefficiente di autoinduzione; diciamo che nel testo è sottinteso che non andrà considerata, o meglio sarà da ipotizzare trascurabile, l'autoinduzione circuitale.
Ok grazie ho capito per l'autoinduzione!
Per quanto riguarda la forza che agisce sulla sbarretta avevo riportato che agiva su di essa una forza \(\displaystyle f(t) = lB_{0} i(t) \) con \(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} - {B_{0} l \over R} v(t) \) e quindi per il moto della sbarretta possiamo affermare che:
\(\displaystyle ma = f(t) \Rightarrow m{d^{2} \over dt^{2}} x = lB_{0}[{V_{0} \over R} - {B_{0} l \over R} {d \over dt} x] \)
da questa equazione differenziale posso determianre il moto della sbarretta. Però come posso determinare il valore numerico della potenza dissipata per effetto Joule, senza conoscere la velocità e quindi la corrente.
Per quanto riguarda la forza che agisce sulla sbarretta avevo riportato che agiva su di essa una forza \(\displaystyle f(t) = lB_{0} i(t) \) con \(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} - {B_{0} l \over R} v(t) \) e quindi per il moto della sbarretta possiamo affermare che:
\(\displaystyle ma = f(t) \Rightarrow m{d^{2} \over dt^{2}} x = lB_{0}[{V_{0} \over R} - {B_{0} l \over R} {d \over dt} x] \)
da questa equazione differenziale posso determianre il moto della sbarretta. Però come posso determinare il valore numerico della potenza dissipata per effetto Joule, senza conoscere la velocità e quindi la corrente.
Scusa, ma cosa significa "determinare il moto". 
Mi sono espresso male, è l'equazione di moto della sbarretta. Comunque come fare per la determinazione della potenza dissipata?
Intendevo dire che, "determinare il moto" significa anche ottenere v(t), no?
L'equazione differenziale che hai scritto non è forse del tipo
$av'+bv+c=0$
L'equazione differenziale che hai scritto non è forse del tipo
$av'+bv+c=0$
Gius-tis-si-mo! Quindi mi risolvo l'equazione differenziale e mi determino la velocità. Mi basterà poi sostituirla nell'espressione della corrente ed otterrò la potenza dissipata. Grazie!
Occhio che ti chiede l'energia.
Qui c'è di mezzo un generatore, quindi la corrente si azzera con la sbarretta in moto uniforme. Per trovare l'energia mi pare non si possa fare a meno di un integrale fino a T infinito.
Però, se non ci fosse un generatore, ma la sbarretta avesse una velocità iniziale, questa finirebbe col fermarsi, a distanza finita (e T infinito) quindi forse si potrebbe trovare l'energia considerando solo la variazione del flusso?
Però, se non ci fosse un generatore, ma la sbarretta avesse una velocità iniziale, questa finirebbe col fermarsi, a distanza finita (e T infinito) quindi forse si potrebbe trovare l'energia considerando solo la variazione del flusso?
Certo, ma in ogni caso l'integrale c'è sempre: in questo caso vai a integrare la corrente per ottenere la carica, nell'altro caso la velocità per ottenere lo spazio.
Però, se non ci fosse un generatore, ma la sbarretta avesse una velocità iniziale, questa finirebbe col fermarsi, a distanza finita (e T infinito) quindi forse si potrebbe trovare l'energia considerando solo la variazione del flusso?
Altrimenti applichi la conservazione dell'energia, per cui l'energia totale dissipata deve essere $\frac{1}{2}m v^2$
Esatto!
E, visto che il caso con il generatore equivalele ad un circuito Vo R C serie, avremo che l'energia fornita dal generatore di tensione, ripartendosi in parti uguali fra energia cinetica ed energia dissipata nella resistenza della barretta, ci permetterà di scrivere, anche in questo caso, direttamente
$E_R=\frac{1}{2}m v_f^2$
con
$v_f=V_0/(Bl)$
velocità finale a regime, senza scomodare nessun integrale.
E, visto che il caso con il generatore equivalele ad un circuito Vo R C serie, avremo che l'energia fornita dal generatore di tensione, ripartendosi in parti uguali fra energia cinetica ed energia dissipata nella resistenza della barretta, ci permetterà di scrivere, anche in questo caso, direttamente
$E_R=\frac{1}{2}m v_f^2$
con
$v_f=V_0/(Bl)$
velocità finale a regime, senza scomodare nessun integrale.
Ciao a tuti di nuovo! Allora se non ho comesso errori dovrei arrivare al punto (c) dopo con le seguenti quantità:
Abbiamo visto che l'espressione della corrente che scorre nella sbarretta è data da:
\(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} - {B_{0} l \over R} v(t) \)
Ricordando che la sbarretta è soggetta alla forza \(\displaystyle F= i(t) l B_{0} \), calcoliamo la velocità \(\displaystyle v(t) \) direttamente dall'equazione di moto della sbarretta data dalla seguente equazione differenziale:
\(\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}x(t) +{B_{0} ^{2} l^{2} \over mR} {d \over dt}x(t) = {B_{0} l V_{0} \over mR}\)
Se non ho sbagliato la risoluzione dell'EDO, otteniamo, imponendo la condizione iniziale che vede la velocità iniziale della sbarretta nulla, ossia \(\displaystyle v(0) = 0 \):
\(\displaystyle v(t) = {V_{0} \over B_{0} l}(1+e^{-{B_{0} ^{2} l^{2} \over mR}t}) \)
Sostituendo nell'espressione della corrente, otteniamo:
\(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} -{V_{0} \over R} (1+e^{-{B_{0}l^{2} \over mR}t}) \Rightarrow i(t) =-{V_{0} \over R}e^{-{B_{0}^{2} l^{2} \over mR}t} \)
Una volta determinata l'espressione della corrente nella sbarretta (che dovrebbe circolare in senso orario), possiamo determinare l'espressione dell'energia dissipata per effetto Joule. Tenendo conto dell'espressione della potenza dissipata:
\(\displaystyle P = i^{2}(t) R \)
Avremo che l'energia dissipata sarà:
\(\displaystyle W = \int_{t_{0}}^{t_{1}} R i^{2}(t) dt \)
dove l'istante iniziale sarà \(\displaystyle t_{0} = 0 \).
La mia domanda è: avendo infatti il generatore nel circuito, la sbarretta non si fermerà come avverrebbe invece nel caso del circuito senza generatore, di conseguenza il secondo estremo di integrazione temporale sarà per \(\displaystyle t_{1} = \infty \)? Cioè:
\(\displaystyle W = \int_{t_{0}}^{t_{1}} R i^{2}(t) dt = \int_{0}^{\infty} R(-{V_{0} \over R} e^{-{B_{0}^{2} l^{2} \over mR}t})^{2} dt \)
Non ho capito il discorso relativo alla conservazione dell'energia. L'energia totale del circuito è quindi costituita da quella cinetica dalla sbarretta e quella dispersa in calore per effetto joule e basta?
Abbiamo visto che l'espressione della corrente che scorre nella sbarretta è data da:
\(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} - {B_{0} l \over R} v(t) \)
Ricordando che la sbarretta è soggetta alla forza \(\displaystyle F= i(t) l B_{0} \), calcoliamo la velocità \(\displaystyle v(t) \) direttamente dall'equazione di moto della sbarretta data dalla seguente equazione differenziale:
\(\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}x(t) +{B_{0} ^{2} l^{2} \over mR} {d \over dt}x(t) = {B_{0} l V_{0} \over mR}\)
Se non ho sbagliato la risoluzione dell'EDO, otteniamo, imponendo la condizione iniziale che vede la velocità iniziale della sbarretta nulla, ossia \(\displaystyle v(0) = 0 \):
\(\displaystyle v(t) = {V_{0} \over B_{0} l}(1+e^{-{B_{0} ^{2} l^{2} \over mR}t}) \)
Sostituendo nell'espressione della corrente, otteniamo:
\(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} -{V_{0} \over R} (1+e^{-{B_{0}l^{2} \over mR}t}) \Rightarrow i(t) =-{V_{0} \over R}e^{-{B_{0}^{2} l^{2} \over mR}t} \)
Una volta determinata l'espressione della corrente nella sbarretta (che dovrebbe circolare in senso orario), possiamo determinare l'espressione dell'energia dissipata per effetto Joule. Tenendo conto dell'espressione della potenza dissipata:
\(\displaystyle P = i^{2}(t) R \)
Avremo che l'energia dissipata sarà:
\(\displaystyle W = \int_{t_{0}}^{t_{1}} R i^{2}(t) dt \)
dove l'istante iniziale sarà \(\displaystyle t_{0} = 0 \).
La mia domanda è: avendo infatti il generatore nel circuito, la sbarretta non si fermerà come avverrebbe invece nel caso del circuito senza generatore, di conseguenza il secondo estremo di integrazione temporale sarà per \(\displaystyle t_{1} = \infty \)? Cioè:
\(\displaystyle W = \int_{t_{0}}^{t_{1}} R i^{2}(t) dt = \int_{0}^{\infty} R(-{V_{0} \over R} e^{-{B_{0}^{2} l^{2} \over mR}t})^{2} dt \)
Non ho capito il discorso relativo alla conservazione dell'energia. L'energia totale del circuito è quindi costituita da quella cinetica dalla sbarretta e quella dispersa in calore per effetto joule e basta?
"Cosmoi":
Non ho capito il discorso relativo alla conservazione dell'energia. L'energia totale del circuito è quindi costituita da quella cinetica dalla sbarretta e quella dispersa in calore per effetto joule e basta?
Certamente le energie in gioco sono l'energia cinetica della sbarretta e quella persa per effetto Joule, e provengono dal generatore.
Però, @RenzoDF, come si ricava che sono uguali? Senza generatore, e con velocità iniziale, è ovvio: l'energia dissipata viene tutta dall'energia cinetica. Ma qui?
Scritta l'equazione differenziale del moto,
$\dot v+(B^2l^2)/(Rm)v=(BlV_0)/(Rm)$
senza nemmeno andare a risolverla, possiamo ottenere l'unica costante di tempo del sistema, ovvero
$\tau=(Rm)/(B^2l^2)$
che sarà anche la costante di tempo della corrente [nota]Vista la relazione lineare (affine) che la lega a $v(t)$.[/nota], di conseguenza, usando la condizione iniziale \(i(0)=V_0/R\) e a regime \(i(\infty)=0\) , potremo scrivere
$i(t)=V_0/Re^-(t/\tau)$
ne segue che il sistema può essere "visto" come un circuito RC serie alimentato da un generatore di tensione, nel quale l'energia fornita dal generatore $V_0Q$ si ripartisce in due parti uguali: nell'energia immagazzinata dal condensatore \(V_0Q/2\) e dissipata nel resistore.
Qui il condensatore è rappresentato dal filo in moto, ma il bilancio energetico non cambia [nota]In altre parole, nessuno si accorgerebbe che ho sostituito il filo mobile con il condensatore
(di capacità \(C=m/(Bl)^2\)) dentro la "scatola" tratteggiata.
[/nota], ne segue che a regime, ovvero quando la velocità della barretta raggiungerà il valore costante \(v_f=v(\infty)=V_0/(Bl)\), l'energia cinetica immagazzinata nella stessa sarà esattamente pari a quella dissipata per effetto Joule nella barretta
$E_d=E_c=\frac{1}{2}m v_f^2$
$\dot v+(B^2l^2)/(Rm)v=(BlV_0)/(Rm)$
senza nemmeno andare a risolverla, possiamo ottenere l'unica costante di tempo del sistema, ovvero
$\tau=(Rm)/(B^2l^2)$
che sarà anche la costante di tempo della corrente [nota]Vista la relazione lineare (affine) che la lega a $v(t)$.[/nota], di conseguenza, usando la condizione iniziale \(i(0)=V_0/R\) e a regime \(i(\infty)=0\) , potremo scrivere
$i(t)=V_0/Re^-(t/\tau)$
ne segue che il sistema può essere "visto" come un circuito RC serie alimentato da un generatore di tensione, nel quale l'energia fornita dal generatore $V_0Q$ si ripartisce in due parti uguali: nell'energia immagazzinata dal condensatore \(V_0Q/2\) e dissipata nel resistore.
Qui il condensatore è rappresentato dal filo in moto, ma il bilancio energetico non cambia [nota]In altre parole, nessuno si accorgerebbe che ho sostituito il filo mobile con il condensatore
(di capacità \(C=m/(Bl)^2\)) dentro la "scatola" tratteggiata.
[/nota], ne segue che a regime, ovvero quando la velocità della barretta raggiungerà il valore costante \(v_f=v(\infty)=V_0/(Bl)\), l'energia cinetica immagazzinata nella stessa sarà esattamente pari a quella dissipata per effetto Joule nella barretta $E_d=E_c=\frac{1}{2}m v_f^2$
"RenzoDF":
velocità finale a regime, senza scomodare nessun integrale.
"Integrals are for mathematicians, conservation laws are for physicists" (cit. me medesimo)
a parte gli scherzi, l'osservazione che hai fatto è molto azzeccata, grazie per averlo fatto notare!
@RenzoDF Ah, ok. Non proprio banale... non scomodiamo nessun integrale, ma un'eq. differenziale... Chissà se lo scambio, in una specie di logica scacchistica, è vantaggioso
Non c’è uno scambio.
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