Circuito con sbarretta mobile davanti a piano conduttore
Salve a tutti!
Sono di nuovo qua con un'altra domanda in vista dell'esame di Fisica II. Stavo risolvendo questo esercizio ma non sono del tutto sicuro sul ragionamento che ho fatto per risolvere il secondo punto. Posto di seguto il testo del problema e la risoluzione del primo punto:
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(a)
Si ha ovviamente che il piano conduttore divide lo spazio in due semispazi con \(\displaystyle x<0 \) e \(\displaystyle x>0 \). Tale piano, essendo infinito ed indefinito, può essere scomposto in una serie di fili infniti percorsi da corrente. Per la simmetria del problema, è possibile identificare per ogni filo scelto sul piano un secondo filo simmetricamente opposto rispetto all'asse z. Si osserva subito che per un punto P qualsiasi nello spazio, scelto in questo caso nel semispazio positivo x>0, i due fili simmetrici percorsi da corrente esercitano due contributi il cui risultante è un campo di induzione magnetico parallelo al piano conduttore e diretto nel verso dell'asse z positivo. Lo stesso ragionamento è applicabile per un punto qualsiasi nel semispazion x<0. Per la determinazione del modulo del campo è possibile utilizzare il teorema di circuitazione di Ampère, considerando un curva \(\displaystyle l \) (rettangolare) che attraversi il piano conduttore. Si ottiene allora:
\(\displaystyle \int_{l} \overline{B}_{0} d\overline{l} = B_{0} 2l = \mu_{0} J_{0} l\Rightarrow B_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \)
oss:= La circuitazione del campo \(\displaystyle B_{0} \) lungo i lati del rettangolo normali al piano conduttore è nulla, rimane quindi solo il contributo dei due lati paralleli al piano.
Concludiamo che il campo induzione magnetica nello spazio è:
\(\displaystyle x>0 \Rightarrow \overline{B}_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
\(\displaystyle x<0 \Rightarrow \overline{B}_{0} =-{\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
(b)
Per quanto riguarda questo punto procederei così: il generatore di tensione fa circolare inizialmente una certa corrente \(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} \) nel circuito, che, interagendo con il campo induzione magnetica esterno \(\displaystyle \overline{B}_{0} = B_{0} \hat{z} \) per \(\displaystyle x>0 \), provoca la nascita di una forza di modulo \(\displaystyle F= i(t) l B_{0} \), perpendicolarmente alla sbarretta e diretta verso l'asse x positivo, sulla sbarretta che la mette in moto. Fissando un sistema di riferimento con l'origine nella posizione iniziale, lungo l'asse x, della sbarretta , si osserva che una volta che quest'ultima si è mossa si ha per l'area del circuito che:
\(\displaystyle A(x) = A_{0} + lx \)
Dunque il flusso del campo \(\displaystyle \overline{B}_{0} \) concatenato con il circuito è:
\(\displaystyle \int_{A} \overline{B}_{0} d\overline{A} = B_{0} A(x) = B_{0}A_{0} + B_{0} l x(t) \)
La derivata temporale del flusso comporta quindi l'esistenza di una forza elettromotrice indotta sul circuito data da:
\(\displaystyle f_{i} = -{d \Phi(\overline{B}_{0}) \over dt} = -B_{0} l {d x(t) \over dt}\)
Tale forza elettromotrice indotta si andrà ad opporre alla forza elettromotrice generata dal generatore di corrente, ottenendo una fem complessiva pari a:
\(\displaystyle f_{em} = -f_{i} + f_{e} = -B_{0} l {d x(t) \over dt} + V_{0} \)
Possiamo quindi concludere che nel circuito e quindi nella sbarretta scorre una corrente pari a:
\(\displaystyle i(t) = {f_{em} \over R} = { V_{0} -B_{0} l {d x(t) \over dt} \over R}\)
E' corretto agire così per la determinazione della corrente nella sbarretta o mi sto perdendo qualcosa? Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e la disponbilità!
Sono di nuovo qua con un'altra domanda in vista dell'esame di Fisica II. Stavo risolvendo questo esercizio ma non sono del tutto sicuro sul ragionamento che ho fatto per risolvere il secondo punto. Posto di seguto il testo del problema e la risoluzione del primo punto:
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(a)
Si ha ovviamente che il piano conduttore divide lo spazio in due semispazi con \(\displaystyle x<0 \) e \(\displaystyle x>0 \). Tale piano, essendo infinito ed indefinito, può essere scomposto in una serie di fili infniti percorsi da corrente. Per la simmetria del problema, è possibile identificare per ogni filo scelto sul piano un secondo filo simmetricamente opposto rispetto all'asse z. Si osserva subito che per un punto P qualsiasi nello spazio, scelto in questo caso nel semispazio positivo x>0, i due fili simmetrici percorsi da corrente esercitano due contributi il cui risultante è un campo di induzione magnetico parallelo al piano conduttore e diretto nel verso dell'asse z positivo. Lo stesso ragionamento è applicabile per un punto qualsiasi nel semispazion x<0. Per la determinazione del modulo del campo è possibile utilizzare il teorema di circuitazione di Ampère, considerando un curva \(\displaystyle l \) (rettangolare) che attraversi il piano conduttore. Si ottiene allora:
\(\displaystyle \int_{l} \overline{B}_{0} d\overline{l} = B_{0} 2l = \mu_{0} J_{0} l\Rightarrow B_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \)
oss:= La circuitazione del campo \(\displaystyle B_{0} \) lungo i lati del rettangolo normali al piano conduttore è nulla, rimane quindi solo il contributo dei due lati paralleli al piano.
Concludiamo che il campo induzione magnetica nello spazio è:
\(\displaystyle x>0 \Rightarrow \overline{B}_{0} ={\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
\(\displaystyle x<0 \Rightarrow \overline{B}_{0} =-{\mu_{0} J_{0} \over 2} \hat{z} \)
(b)
Per quanto riguarda questo punto procederei così: il generatore di tensione fa circolare inizialmente una certa corrente \(\displaystyle i(t) = {V_{0} \over R} \) nel circuito, che, interagendo con il campo induzione magnetica esterno \(\displaystyle \overline{B}_{0} = B_{0} \hat{z} \) per \(\displaystyle x>0 \), provoca la nascita di una forza di modulo \(\displaystyle F= i(t) l B_{0} \), perpendicolarmente alla sbarretta e diretta verso l'asse x positivo, sulla sbarretta che la mette in moto. Fissando un sistema di riferimento con l'origine nella posizione iniziale, lungo l'asse x, della sbarretta , si osserva che una volta che quest'ultima si è mossa si ha per l'area del circuito che:
\(\displaystyle A(x) = A_{0} + lx \)
Dunque il flusso del campo \(\displaystyle \overline{B}_{0} \) concatenato con il circuito è:
\(\displaystyle \int_{A} \overline{B}_{0} d\overline{A} = B_{0} A(x) = B_{0}A_{0} + B_{0} l x(t) \)
La derivata temporale del flusso comporta quindi l'esistenza di una forza elettromotrice indotta sul circuito data da:
\(\displaystyle f_{i} = -{d \Phi(\overline{B}_{0}) \over dt} = -B_{0} l {d x(t) \over dt}\)
Tale forza elettromotrice indotta si andrà ad opporre alla forza elettromotrice generata dal generatore di corrente, ottenendo una fem complessiva pari a:
\(\displaystyle f_{em} = -f_{i} + f_{e} = -B_{0} l {d x(t) \over dt} + V_{0} \)
Possiamo quindi concludere che nel circuito e quindi nella sbarretta scorre una corrente pari a:
\(\displaystyle i(t) = {f_{em} \over R} = { V_{0} -B_{0} l {d x(t) \over dt} \over R}\)
E' corretto agire così per la determinazione della corrente nella sbarretta o mi sto perdendo qualcosa? Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e la disponbilità!
Risposte
"Cosmoi":
... La mia domanda è: avendo infatti il generatore nel circuito, la sbarretta non si fermerà come avverrebbe invece nel caso del circuito senza generatore, ......
Che si fermi davvero? ... dopo quanto tempo?
"Cosmoi":
... di conseguenza il secondo estremo di integrazione temporale sarà per \(\displaystyle t_{1} = \infty \)? ...
Certo che sì.
Qual è il risultato che ottieni da quell'integrale?
Ciao, ti ringrazio per l'aiuto prima di tutto. Se ho fatto tutto bene, otterrei come energia dissipata per effetto Joule la seguente quantità:
\(\displaystyle W=\int_{0}^{\infty} R i^{2}(t) dt = \int_{0}^{\infty} R({V_{0} \over R}e^{-{B_{0}^{2}l^{2} \over mR} t})^{2} \Rightarrow W = {V_{0}^{2} m \over 2 B_{0}^{2} l^{2}} \)
\(\displaystyle W=\int_{0}^{\infty} R i^{2}(t) dt = \int_{0}^{\infty} R({V_{0} \over R}e^{-{B_{0}^{2}l^{2} \over mR} t})^{2} \Rightarrow W = {V_{0}^{2} m \over 2 B_{0}^{2} l^{2}} \)
Hai confrontato il tuo risultato con quello della soluzione alternativa che ho proposto 
sì mi sembra che venga lo stesso risultato, considerando che alla fine l'energia dissipata per effetto Joule dovrebbe essere:
\(\displaystyle E_{d} = E_{c} = {1 \over 2} m v_{f}^{2} \)
dove \(\displaystyle v_{f} = {V_{0} \over B_{0}l} \)
\(\displaystyle E_{d} = E_{c} = {1 \over 2} m v_{f}^{2} \)
dove \(\displaystyle v_{f} = {V_{0} \over B_{0}l} \)
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