Circuito a U con campo magnetico vettoriale
Ho sempre fatto esercizi simili ma questa volta ho un problema col campo magnetico e non so come procedere.
"Un contatto mobile di lunghezza $L=20cm$ e resistenza elettrica trascurabile si muove con velocità $v=2m/s$ lungo due binari rigidi. Il circuito si chiude su di una resistenza costante $R_0=16Omega$ ed è immerso in un campo magnetico costante ed uniforme $B=(0,2,4)T$. Una forza esterna $F_(ext)$ viene applicata al contatto mobile in modo che la velocità rimanga costante. Il contatto si trova inizialmente nella posizione $x=0$. Nell'ipotesi che i binari abbiano esistenza trascurabile, calcolare:
$A)$ La corrente elettrica (intensità e verso) circolante nel circuito.
$B)$ La potenza dissipata nel circuito
$C)$ Il valore della forza $F_(ext)$ necessaria per mantenere $v$ costante.
Supponiamo ora che il binario abbia una resistenza $R=lambdax$ con $lambda=2Omega/m$, calcolare:
$D)$ La corrente circolante nel circuito nell'ipotesi che $v$ rimanga costante.
Calcolare dopo quanto tempo essa diventa la metà di quella iniziale."
La figura è la seguente:
Spiego prima i passaggi che vorrei fare...
$A)$ Allora, innanzi tutto io calcolare il flusso di B e cioè $\Phi(B)=B*L*dx$. Essendo il campo su tutte e tre le componenti come faccio a calcolarlo? Devo fare semplicemente il prodotto di uno scalare per un vettore? Mi calcolo il modulo di B e proseguo? Non so...
Comunque, dopo il flusso, determinerei la f.e.m. indotta con $ f_i=-(delPhi(B))/(delt) $ e dovrebbe venire una cosa come $ f_i=-BLv $ ($f_i$ circola in senso orario). A questo punto, essendo $ f_i=R_0I $ ricaverei la corrente. Qui come ricavo il se il verso della corrente $I$ è orario o antiorario?
$B)$ La potenza dissipata è $P_j=I^2R_0$
$C)$ $P_(erogata)=(f_i)^2/R_0=F_(ext)*v$, quindi $F_(ext)=f_i^2/(R_0*v)$.
Per ora sono arrivato qui... i ragionamenti sono giusti? Come risolvo quella cosa del campo magnetico che poi mi permette di determinare tutto il resto?
"Un contatto mobile di lunghezza $L=20cm$ e resistenza elettrica trascurabile si muove con velocità $v=2m/s$ lungo due binari rigidi. Il circuito si chiude su di una resistenza costante $R_0=16Omega$ ed è immerso in un campo magnetico costante ed uniforme $B=(0,2,4)T$. Una forza esterna $F_(ext)$ viene applicata al contatto mobile in modo che la velocità rimanga costante. Il contatto si trova inizialmente nella posizione $x=0$. Nell'ipotesi che i binari abbiano esistenza trascurabile, calcolare:
$A)$ La corrente elettrica (intensità e verso) circolante nel circuito.
$B)$ La potenza dissipata nel circuito
$C)$ Il valore della forza $F_(ext)$ necessaria per mantenere $v$ costante.
Supponiamo ora che il binario abbia una resistenza $R=lambdax$ con $lambda=2Omega/m$, calcolare:
$D)$ La corrente circolante nel circuito nell'ipotesi che $v$ rimanga costante.
Calcolare dopo quanto tempo essa diventa la metà di quella iniziale."
La figura è la seguente:
Spiego prima i passaggi che vorrei fare...
$A)$ Allora, innanzi tutto io calcolare il flusso di B e cioè $\Phi(B)=B*L*dx$. Essendo il campo su tutte e tre le componenti come faccio a calcolarlo? Devo fare semplicemente il prodotto di uno scalare per un vettore? Mi calcolo il modulo di B e proseguo? Non so...
Comunque, dopo il flusso, determinerei la f.e.m. indotta con $ f_i=-(delPhi(B))/(delt) $ e dovrebbe venire una cosa come $ f_i=-BLv $ ($f_i$ circola in senso orario). A questo punto, essendo $ f_i=R_0I $ ricaverei la corrente. Qui come ricavo il se il verso della corrente $I$ è orario o antiorario?
$B)$ La potenza dissipata è $P_j=I^2R_0$
$C)$ $P_(erogata)=(f_i)^2/R_0=F_(ext)*v$, quindi $F_(ext)=f_i^2/(R_0*v)$.
Per ora sono arrivato qui... i ragionamenti sono giusti? Come risolvo quella cosa del campo magnetico che poi mi permette di determinare tutto il resto?
Risposte
"IngSteve":
$A)$ Allora, innanzi tutto io calcolare il flusso di B e cioè $\Phi(B)=B*L*dx$. Essendo il campo su tutte e tre le componenti come faccio a calcolarlo?
Mi pare che non hai chiaro il significato di flusso. Il flusso riguarda una SUPERFICIE, non il contorno. In ogni istante, visto che B è costante, il flusso è banalmente il prodotto di B per l'area del circuito.
Poi, derivando rispetto al tempo, visto che B è costante, la derivata dell'area è $v*L$, da cui la f.e.m. = $-BLv$.
E che vuol dire "$f_i$ circola in senso orario"? Una f.e.m. non "circola", è la corrente che circola.
Il verso della corrente è quello per cui il flusso di B prodotto dalla corrente stessa si oppone alla variazione: qui, il verso è quello per cui B prodotto dalla corrente ha verso opposto al campo B esistente.
B) e C) vanno bene.
Per il secondo punto devi solo considerare che la resistenza ora non è costante ma cresce linearmente col tempo
Allora, io so che il flusso è $ Phi(B)=int_SB*dS $ . In questo caso, la superficie della sbarra è data dal lato $L$ che si muove sull'asse x e quindi $L*dx$.
Facendo la derivata, ci troviamo che $f_i=-BLv$ ma a questo punto, numericamente, come faccio il calcolo? Utilizzo il modulo di B?
Si hai ragione, ho sbagliato a scrivere.
Facendo la derivata, ci troviamo che $f_i=-BLv$ ma a questo punto, numericamente, come faccio il calcolo? Utilizzo il modulo di B?
E che vuol dire "fi circola in senso orario"? Una f.e.m. non "circola", è la corrente che circola.
Si hai ragione, ho sbagliato a scrivere.
"IngSteve":
Allora, io so che il flusso è $ Phi(B)=int_SB*dS $ . In questo caso, la superficie della sbarra è data dal lato $L$ che si muove sull'asse x e quindi $L*dx$.
NON è la superficie della SBARRA (e poi, cosa sarebbe la superficie di un segmento?)!! E' la superficie del CIRCUITO!!!
L'area del rettangolo!! $S = L*x$!!!
Okok ho capito, la superficie sulla quale si muove la sbarra è $L*x$.
Chiaro. Ma come determino numericamente la fem indotta?
Chiaro. Ma come determino numericamente la fem indotta?
"IngSteve":
. Ma come determino numericamente la fem indotta?
Se $Phi = B*L*x -> (dPhi)/(dt) = B*L*(dx)/(dt) = B*L*v$
Si, giusto. Il punto è che $B=(0,2,4)T$.
se $|B|=sqrt[(0^2+2^2+4^2)]=sqrt(20)$, posso scrivere $f_i=-|B|*L*v=-sqrt(20)*0,2*2 ?$
Va così calcolata la $f_i$? La mia difficoltà sta proprio nel calcolare questa fem siccome il campo $B$ è espresso mediante le tre componenti.
se $|B|=sqrt[(0^2+2^2+4^2)]=sqrt(20)$, posso scrivere $f_i=-|B|*L*v=-sqrt(20)*0,2*2 ?$
Va così calcolata la $f_i$? La mia difficoltà sta proprio nel calcolare questa fem siccome il campo $B$ è espresso mediante le tre componenti.
"IngSteve":
Si, giusto. Il punto è che $B=(0,2,4)T$.
Nel calcolo del flusso compare un prodotto scalare fra $vec B$ e $vec S$, ossia devi considerare solo la componente di B parallela a S, ovvero perpendicolare al piano del circuito, suppongo sia 4
Ah ok, ecco come ragionare. Capito, ti ringrazio.
Mi aiuti un attimo a capire gli ultimi due punti? Cioè $D$ e quello restante...
Come calcolo la corrente ipotizzando che v sia costante? io avevo provato a fare $F_(ext)=I*L*B$ e quindi $I=F_(ext)/(L*B)$ ma non credo sia giusto in quanto non ho utilizzato il dato sulla resistenza che il problema mi ha fornito.
Mi aiuti un attimo a capire gli ultimi due punti? Cioè $D$ e quello restante...
Come calcolo la corrente ipotizzando che v sia costante? io avevo provato a fare $F_(ext)=I*L*B$ e quindi $I=F_(ext)/(L*B)$ ma non credo sia giusto in quanto non ho utilizzato il dato sulla resistenza che il problema mi ha fornito.
"IngSteve":
Come calcolo la corrente ipotizzando che v sia costante? io avevo provato a fare $F_(ext)=I*L*B$ e quindi $I=F_(ext)/(L*B)$ ma non credo sia giusto in quanto non ho utilizzato il dato sulla resistenza che il problema mi ha fornito.
In realtà la resistenza la usi, perchè è contenuta nell'espressione che dà la forza esterna. Comunque è un giro un po' contorto... La corrente è semplicemente data dalla f.e.m. (che è la stessa di prima, $B_z*L*v$) diviso la resistenza (che ora varia col tempo, e vale $R = R_0 + 2lambda *v * t$, e la corrente si dimezza quando la resistenza è diventata doppia, ossia quando $2lambda*v*t = R_0$
Capito tutto, grazie per avermi aiutato!!
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