Circuito a scala infinito.

[Antonio_80]

Per il circuito a scala infinita che si vede nell'immagine sotto, devo determinare il rapporto $(R_s)/(R_p)$ tale che la tensione di ogni nodo sia la metà della tensione del nodo precedente.


[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
MC 130 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 145 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 200 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 215 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 225 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 240 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 250 95 0 0 ey_libraries.pasres0
LI 140 95 155 95 0
LI 145 100 145 95 0
LI 125 115 155 115 0
LI 210 95 220 95 0
LI 215 100 215 95 0
LI 235 95 245 95 0
LI 240 100 240 95 0
LI 195 115 260 115 0
LI 260 95 270 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 260 115 270 115 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 130 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 150 105 4 3 0 0 0 * Rp
TY 200 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 225 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 250 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 220 105 4 3 0 0 0 * Rp
TY 245 105 4 3 0 0 0 * Rp
MC 20 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 35 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 45 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 60 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 70 95 0 0 ey_libraries.pasres0
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LI 35 100 35 95 0
LI 55 95 65 95 0
LI 60 100 60 95 0
LI 15 115 80 115 0
LI 80 95 90 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 80 115 90 115 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
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TY 45 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 70 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 40 105 4 3 0 0 0 * Rp
TY 65 105 4 3 0 0 0 * Rp
PL 100 103 110 103 1 0
PL 100 108 110 108 1 0
PL 170 105 180 105 1 0
PL 175 100 175 110 1 0[/fcd]

Ma cosa intende quando mi chiede di determinare il rapporto $(R_s)/(R_p)$
Non sto capendo a cosa sta mirando il testo

So perfettamente il fatto che man mano che ci si allontana dalla maglia di sinistra verso quelle di destra, si ha una tensione via via diminuendo!

Ma quando devo determinare il rapporto $(R_s)/(R_p)$ tale che la tensione di ogni nodo sia la metà della tensione del nodo precedente, cosa devo fare

[Omar931]

Intanto puoi partire dal suggermento del testo: se ti metti in uno qualsiasi dei nodi in alto(o in basso) e guardi a destra vedi lo stesso circuito infinito. Ovvero se un numero finito di maglie hai sempre lo stesso circuito. E quindi se togli la maglia sinistra del circuito infinito ottieni lo stesso circuito.

Chiama R la resistenza equivalente dell'intero circuito infinito.

Ora prendi il nodo del circuito equivalente e immagina che ci siano delle correnti. Sapresti continuare? (setta la tensione a terra a 0)

[Antonio_80]

Sinceramente non ho proprio idea di quello che chiede il testo?!
Se immagino delle correnti, allora imposterei il seguente schema, con la LKC:



Dove si evince che la $I=I_1 + I_2$

Comunque non so continuare perche' non sto capendo la richiesta del testo!

[RenzoDF]

Scusa Antonio se mi intrometto, ma provo a completare il discorso che stavo facendoti nel vecchio thread.

Come ti dicevo, la rete infinita può essere vista come somma della prima parte della rete stessa, costituita da una sola Rs serie e da una sola Rp parallelo, collegata in cascata con la rete originale stessa, ovvero vale la seguente equazione circuitale

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
MC 130 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 145 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 200 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 215 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 225 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 240 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 250 95 0 0 ey_libraries.pasres0
LI 140 95 155 95 0
LI 145 100 145 95 0
LI 125 115 155 115 0
LI 210 95 220 95 0
LI 215 100 215 95 0
LI 235 95 245 95 0
LI 240 100 240 95 0
LI 195 115 260 115 0
LI 260 95 270 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 260 115 270 115 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 130 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 150 105 4 3 0 0 0 * Rp
TY 200 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 225 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 250 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 220 105 4 3 0 0 0 * Rp
TY 245 105 4 3 0 0 0 * Rp
MC 20 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 35 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 45 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 60 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 70 95 0 0 ey_libraries.pasres0
LI 30 95 40 95 0
LI 35 100 35 95 0
LI 55 95 65 95 0
LI 60 100 60 95 0
LI 15 115 80 115 0
LI 80 95 90 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 80 115 90 115 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 20 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 45 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 70 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 40 105 4 3 0 0 0 * Rp
TY 65 105 4 3 0 0 0 * Rp
PL 100 103 110 103 1 0
PL 100 108 110 108 1 0
PL 170 105 180 105 1 0
PL 175 100 175 110 1 0
PL 278 102 288 102 1 0
PL 278 107 288 107 1 0
LI 325 100 325 95 0
LI 305 115 345 115 0
TY 310 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 330 105 4 3 0 0 0 * Rp
MC 310 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 325 105 1 0 ey_libraries.pasres0
LI 320 95 345 95 0
LI 345 100 345 95 0
MC 345 105 1 0 ey_libraries.pasres0
TY 301 99 4 3 0 1 2 * R
TY 6 97 4 3 0 1 2 * R
LI 190 107 200 107 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 191 99 4 3 0 1 2 * R
LI 5 105 15 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 300 107 310 107 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 350 105 4 3 0 1 2 * R[/fcd]
e di conseguenza la resistenza equivalente R vista dai morsetti della rete infinita sarà ricavabile dalla seguente equazione [nota]Di secondo grado.[/nota]

$R=R_s+R_p\text{||} R$

Detto ciò, per rispondere alla domanda relativa al rapporto $k=R_s/R_p$ che porta il primo nodo a trovarsi ad un potenziale dimezzato rispetto a quello in ingresso alla rete, ti basterà ricordare il partitore di tensione per affermare che la suddetta condizione si verificherà quando le due resistenze del suddetto partitore risulteranno uguali, ovvero quando la resistenza $R_s$ risulterà uguale a quella del parallelo fra $R_p$ ed $R$; e da questa uguaglianza andrai a ricavarti il valore del rapporto $k$ che la soddisfa.

Tutto qua.

Ciao
Renzo

[Antonio_80]

"RenzoDF":Scusa Antonio se mi intrometto, ma provo a completare il discorso che stavo facendoti nel vecchio thread.

Come ti dicevo, la rete infinita può essere vista come somma della prima parte della rete stessa, costituita da una sola Rs serie e da una sola Rp parallelo, collegata in cascata con la rete originale stessa, ovvero vale la seguente equazione circuitale

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
MC 130 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 145 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 200 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 215 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 225 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 240 105 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 250 95 0 0 ey_libraries.pasres0
LI 140 95 155 95 0
LI 145 100 145 95 0
LI 125 115 155 115 0
LI 210 95 220 95 0
LI 215 100 215 95 0
LI 235 95 245 95 0
LI 240 100 240 95 0
LI 195 115 260 115 0
LI 260 95 270 95 0
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FCJ 0 0 3 2 1 0
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TY 200 85 4 3 0 0 0 * Rs
TY 225 85 4 3 0 0 0 * Rs
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MC 20 95 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 35 105 1 0 ey_libraries.pasres0
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MC 70 95 0 0 ey_libraries.pasres0
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PL 100 108 110 108 1 0
PL 170 105 180 105 1 0
PL 175 100 175 110 1 0
PL 278 102 288 102 1 0
PL 278 107 288 107 1 0
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LI 305 115 345 115 0
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MC 345 105 1 0 ey_libraries.pasres0
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TY 6 97 4 3 0 1 2 * R
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FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 300 107 310 107 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 350 105 4 3 0 1 2 * R[/fcd]

Adesso ho compreso quello che volevi dire!
Sei stato gentile e chiaro!

Ti ringrazio!

"RenzoDF":
e di conseguenza la resistenza equivalente R vista dai morsetti della rete infinita sarà ricavabile dalla seguente equazione [nota]Di secondo grado.[/nota]

$R=R_s+R_p\text{||} R$

Non mi è chiaro quel simbolo $||$ nella formula che hai scritto e che hai detto essere una equazione di secondo grado!
Da dove viene quella equazione di secondo grado

"RenzoDF":
$R=R_s+R_p\text{||} R$

Detto ciò, per rispondere alla domanda relativa al rapporto $k=R_s/R_p$ che porta il primo nodo a trovarsi ad un potenziale dimezzato rispetto a quello in ingresso alla rete, ti basterà ricordare il partitore di tensione per affermare che la suddetta condizione si verificherà quando le due resistenze del suddetto partitore risulteranno uguali, ovvero quando la resistenza $R_s$ risulterà uguale a quella del parallelo fra $R_p$ ed $R$; e da questa uguaglianza andrai a ricavarti il valore del rapporto $k$ che la soddisfa.

E in questo ultimo quote non ti sto riuscendo a seguire, sarà per colpa mia, ma non ti riesco a seguire!

So che il partitore di tensione è una tipologia di circuito costituito da due o più componenti passivi collegati in serie ai capi dei quali se viene applicata una tensione, essa si ripartirà sulle stesse componenti in base al loro valore.

Ho trovato la seguente formula:



Ma non so se si addice al fatto in questione!


L'ho trovato su Wiki, ma non riesco ad immaginarlo fisicamente!

Puoi per favore aiutarmi a capire quello che intendi

[RenzoDF]

"Antonio_80":... Non mi è chiaro quel simbolo $||$ nella formula che hai scritto e che hai detto essere una equazione di secondo grado! Da dove viene quella equazione di secondo grado

Quel simbolo sta a significare il parallelo fra i resistori, ovvero

$R=R_s+R_p\text{||} R=R_s+\frac{R_p R}{R_p+R}$

e l'equazione di secondo grado in R deriva dallo sviluppo della relazione; chiaramente l'unica soluzione accettabile sarà la radice positiva.

"Antonio_80":... E in questo ultimo quote non ti sto riuscendo a seguire, sarà per colpa mia, ma non ti riesco a seguire! ... Ho trovato la seguente formula:

Proprio quella, con un partitore di tensione andiamo a "partire" ovvero dividere una tensione e il problema sostanzialmente ti chiede in che rapporto devono stare quelle due resistenze R1 ed R2 affinchè la tensione di uscita Vout sia metà di quella di ingresso Vin.
Questo chiaramente avviene per $\alpha=0.5$ ovvero per $R_1=R_2$, e nel tuo caso particolare $R_1$ corrisponde a $R_s$, mentre $R_2$ corrisponde al parallelo fra $R_p$ e la resistenza equivalente R.

[Antonio_80]

Come hai detto, ho calcolato quell'equazione di secondo grado:

$R = R_s + (R_p * R)/(R_p + R)$

Dalla quale si ottiene:

$-R^2 + R*R_s + R_s *R_p=0 ->R^2 - R*R_s - R_s *R_p=0 $

$Delta = (-R_s)^2 + 4R_s * R_p = R_s^2 + 4R_s * R_p $

$R_(1,2) = (- R_s +- sqrt(R_s^2 + 4R_s * R_p))/(2)$

E come fai a sapere qual'è la soluzione positiva se non hai valori numerici

Per quanto riguarda il partitore, allora penso che il testo indica che la tensione in uscita sia la metà di quella in ingresso e quindi penso che si debba scrivere la seguente:

$v_(o u t) = alpha*1/2*v_(i n)$

Giusto

Ma tu hai indicato con $k$ quello che dovrebbe essere $alpha$

E come arrivo a determinare la soluzione che vuole il testo

EDIT: Ho sistemato il caos che avevo fatto per distrazione sui segni ecc.!

[RenzoDF]

... occhio a segni e denominatori.

... se editi e correggi poi rispondo al resto.

[Antonio_80]

Ho editato e corretto!

TI ringrazio per avermi fatto notare gli errori di distrazione, sai, dopo una giornata di lavoro e dopo che sono stato sequestrato dai miei tre figlioletti che mi hanno imposto di portarli in spiaggia, la testa fa dei Tilt. a raffica!

[RenzoDF]

"Antonio_80":Come hai detto, ho calcolato quell'equazione di secondo grado:

$R^2 - R*R_s - R_s *R_p=0 $

"Antonio_80": ...

$R_(1,2) = (- R_s +- sqrt(R_s^2 + 4R_s * R_p))/(2)$

$R_(1,2) = ( + R_s +- sqrt(R_s^2 + 4R_s * R_p))/(2)$

"Antonio_80": ... E come fai a sapere qual'è la soluzione positiva se non hai valori numerici

Semplicemente notando che il discriminante è maggiore del quadrato di $R_s$.

"Antonio_80": ... Per quanto riguarda il partitore, allora penso che il testo indica che la tensione in uscita sia la metà di quella in ingresso e quindi penso che si debba scrivere la seguente:

$v_(o u t) = alpha*1/2*v_(i n)$

Giusto

No, come ti dicevo dovrai avere $\alpha=1/2$ per ottenere $v_(o u t) = 1/2*v_(i n)$

"Antonio_80": ... Ma tu hai indicato con $k$ quello che dovrebbe essere $alpha$

No, il $k$ è diverso da $\alpha$, e proprio riscrivendo il secondo in funzione del primo potrai ricavarti il k che corrisponde all'alfa voluto di 1/2, ma lascio a te questo passaggio.

"Antonio_80": ... E come arrivo a determinare la soluzione che vuole il testo

Vedi sopra.

[Antonio_80]

"RenzoDF":
No, il $k$ è diverso da $\alpha$, e proprio riscrivendo il secondo in funzione del primo potrai ricavarti il k che corrisponde all'alfa voluto di 1/2, ma lascio a te questo passaggio.

Allora, se $k= (R_s)/(R_p)$, ed abbiamo detto che $alpha = 1/2$, sapendo che $alpha = (R_2)/(R_1 + R_2)$, non trovo analogia con i pedici, tutto al più potrei immaginare che $alpha = (R_s)/(R_s + R_p)$, ma l'ho detto per un intuito e non son se si addice al nostro caso ?

Comunque non sto riuscendo a decodificare quello che hai detto tu, per poter arrivare a trovare il $k$ voluto!
Puoi per favore darmi qualche altra dritta così potrò scrivere la soluzione

[RenzoDF]

"Antonio_80":... Puoi per favore darmi qualche altra dritta così potrò scrivere la soluzione

La dritta te l'avevo data in precedenza ed è la seguente: nel tuo caso particolare il resistore R1 è rappresentato da Rs. mentre il resistore R2 dal parallelo fra Rp e R, come puoi facilmente ricavare dal termine finale dell'equazione circuitale che ti ho postato.

[Antonio_80]

Ma proprio non riesco a venirne a capo!

Non sto capendo ancora

Perdonami, ma sto facendo tante supposizioni che mi sta per venire il mal di testa!

Tu hai detto che:

$R=R_s+R_p\text{||} R$

Detto ciò, per rispondere alla domanda relativa al rapporto $k=R_s/R_p$ che porta il primo nodo a trovarsi ad un potenziale dimezzato rispetto a quello in ingresso alla rete, ti basterà ricordare il partitore di tensione per affermare che la suddetta condizione si verificherà quando le due resistenze del suddetto partitore risulteranno uguali, ovvero quando la resistenza $R_s$ risulterà uguale a quella del parallelo fra $R_p$ ed $R$; e da questa uguaglianza andrai a ricavarti il valore del rapporto $k$ che la soddisfa.

E da quello che ho compreso devo impostare la seguente uguaglianza:

$R_s = (R_p*R)/(R_p +R)$

Ovviamente la $R$ e' data dalla soluzione positiva dell'equZione di secondo grado.

E da dove ricavo il $k$

Ho compreso la domanda del testo grazie a te, ma non sto proprio riuscendo a decifrare la risposta e magari è pure una risposta banale!

Help!

P.S. RenzoDF, è interessante e piacevole ascoltare i tuoi consigli, si nota che conosce bene la materia, sei un ottimo esempio per chi sta studiando questi concetti!

[RenzoDF]

"Antonio_80":... E da quello che ho compreso devo impostare la seguente uguaglianza:

$R_s = (R_p*R)/(R_p +R)$

Esatto!

"Antonio_80":... Ovviamente la $R$ e' data dalla soluzione positiva dell'equZione di secondo grado.

"Antonio_80":... E da dove ricavo il $k$

Lo puoi evidenziare già nella relazione per $R$, notando che la stessa può essere riscritta raccogliendo $R_s$ nel seguente modo

$R=R_s\frac{1+\sqrt(1+4/k)}{2}$

e di conseguenza l'uguaglianza $R_s=R_p\text{||}R$, che portrà per comodità di calcolo essere scritta anche come uguaglianza fra le conduttanze, ovvero

$1/R_s=1/R_p+1/R$

ti permetterà di ottenere una equazione (irrazionale) nella sola $k$.

BTW Grazie.

P.S. Giusto una curiosità legata alla rete a scala infinita: a quale "notevole" valore di $R$ si perverrebbe con $R_s=R_p=1 \Omega$

[Antonio_80]

Ho ricavato il $k$, ho ottenuto quanto segue:

$k= (4)/(((2R)/(R_s))^2-1)$

Penso che adesso sia risolto il problema, giusto?

Vorrei rispondere al tuo P.S., ma non sto riuscendo ad immaginare il fenomeno!

Puoi per favore dirmi qualcosa in piu' cosi' provo a rispondere?

[RenzoDF]

"Antonio_80":Ho ricavato il $k$, ho ottenuto quanto segue: ... Penso che adesso sia risolto il problema, giusto?

Non devi lasciare R indicata. la soluzione per k può essere numerica e non solo simbolica, in quanto quella uguaglianza fra le conduttanze del partitore può essere semplificata; a partire infatti dalla

$\frac{1}{R_s}=\frac{1}{R_p}+\frac{2}{ R_s(1+\sqrt{1+4/k}) }$

moltiplicando ambo i membri per $R_s$, avrai come sola incognita il $k$,

$1=k+\frac{2}{ 1+\sqrt{1+4/k} }$

e quindi la soluzione finale (ottenibile con un paio di passaggio)

$k=1/2$

"Antonio_80": ... Vorrei rispondere al tuo P.S., ma non sto riuscendo ad immaginare il fenomeno!
Puoi per favore dirmi qualcosa in piu' cosi' provo a rispondere?

Prova a scrivere R per quella condizione e a cercare nella tua memoria il Numero famosissimo che avrai sotto agli occhi ... legato ad un famoso Leonardo figlio di Bonacci e ad un famosissimo trattato, di un grandissimo frate francescano del quattrocento.

[Antonio_80]

Scrivo $R$ pensando ad $R_s = R_p= 1 o h m$

$R=R_s+R_p\text{||} R$

$R = 1 o h m + (1 o h m)^2/(2 o h m)$

$R = 3/2 ohm = 1.5 ohm$

Non so fare altro anche se sono andato a vedere chi fosse Bonacci ............!

Non ho capito ancore chi fosse quel frate .............!

Help!

[RenzoDF]

"Antonio_80":Scrivo $R$ pensando ad $R_s = R_p= 1 o h m$

$R=R_s+R_p\text{||} R$

$R = 1 o h m + (1 o h m)^2/(2 o h m)$

$R = 3/2 ohm = 1.5 ohm$

No, non ci siamo, usa la corretta formula per R.

"Antonio_80":Non so fare altro anche se sono andato a vedere chi fosse Bonacci ............!

Sto parlando del figlio, Leonardo Fi...bonacci.

"Antonio_80":Non ho capito ancore chi fosse quel frate .............!

Luca Pacioli.

[Antonio_80]

Io ho usato questa:


$R=R_s+R_p\text{||} R=R_s+\frac{R_p R}{R_p+R}$

Oppure intendevi l'equazione di secondo grado e quindi questa seguente?

$R_(1,2) = ( + R_s +- sqrt(R_s^2 + 4R_s * R_p))/(2)$

Ti riferisci a quest'ultima?

[RenzoDF]

"Antonio_80":Io ho usato questa:

Quella è l'equazione ...

"Antonio_80": ... Oppure intendevi l'equazione di secondo grado e quindi questa seguente?

$R_(1,2) = ( + R_s +- sqrt(R_s^2 + 4R_s * R_p))/(2)$

... mentre questa è la soluzione.

"Antonio_80": Ti riferisci a quest'ultima?

Certo, e precisamente all'unica soluzione accettabile, ovvero a quella positiva.

[Antonio_80]

QUindi se $R_s = R_p = 1 o h m$, si ha:

$R_(1,2) = ( + R_s +- sqrt(R_s^2 + 4R_s * R_p))/(2)$

$R_(1,2) = ( + 1 +- sqrt(1 + 4))/(2)$

Le due soluzioni sono:

$R_1= 1.618 o h m$ che è l'unica soluzione positiva, mentre quella che non ci interessa è quella negativa che è $R_2= -0.618 o h m$

Va tutto bene così

Adesso mi viene un dubbio....

Ma esistono valori di resistenze negativi
Quando ho studiato fisica 2, concettualmente non esistivano resistenze con valore negativi, in quanto non avevano senso dei valori negativi!
Qui in elettrotecnica, vale lo stesso