Circuiti RLC
Ciao ragazzi! Non riesco a risolvere questi due esercizi d'esame.. So che magari potranno sembrare facili
ma per me non lo sono...
Nell'esercizio 2, mi dice che il circuito opera in condizioni di risonanza. In queste condizioni so che lo sfasamento è zero, ovvero che la corrente è in fase con la tensione. Ma qual è la condizione che devo imporre affinchè io possa trovare C?
Avrei una domanda sull'esercizio 3:
Quando mi chiede di calcolare le varie correnti, non incontro alcun problema per quanto riguarda l'induttore e il condensatore, poichè sono formule date... Ma per calcolare la $ I(R) $, non basta togliere dall'ampiezza della corrente totale le altre 2 (quelle di condensatore e resistenza) ? Purtroppo credo che non mi sia ben chiaro il concetto di AMPIEZZA, e CORRENTE TOTALE. Non sono comunque collegate?
ma per me non lo sono...
Nell'esercizio 2, mi dice che il circuito opera in condizioni di risonanza. In queste condizioni so che lo sfasamento è zero, ovvero che la corrente è in fase con la tensione. Ma qual è la condizione che devo imporre affinchè io possa trovare C?
Avrei una domanda sull'esercizio 3:
Quando mi chiede di calcolare le varie correnti, non incontro alcun problema per quanto riguarda l'induttore e il condensatore, poichè sono formule date... Ma per calcolare la $ I(R) $, non basta togliere dall'ampiezza della corrente totale le altre 2 (quelle di condensatore e resistenza) ? Purtroppo credo che non mi sia ben chiaro il concetto di AMPIEZZA, e CORRENTE TOTALE. Non sono comunque collegate?
Risposte
Esercizio 2
Se il generatore opera in condizioni di risonanza, abbiamo che la pulsazione di oscillazione intrinseca del circuito coincide con quella del generatore.
Detta \(v(t)=V\sin(\omega_0 t+\phi)\) l'eccitazione del generatore e \(\omega_n\) la pulsazione di risonanza, abbiamo:
\[\omega_n=\omega_0\]
L'ammettenza della rete è data dalla somma delle singole ammettenze di ciascun ramo del circuito (sul ramo dell'induttore bisogna porre anche un resistore in serie di valore \(R_L\))
Quindi:
\[Y=\frac{1}{R}+\frac{R_L}{R_L^2+(\omega L)^2}+\text{j}\left(\omega C - \frac{\omega L}{R_L^2+(\omega L)^2} \right)\]
Alla pulsazione di risonanza gli effetti reattivi della rete si annichilano tra di loro quindi:
\[\omega_n C - \frac{\omega_n L}{R_L^2+(\omega_n L)^2}=0\]
quindi ricaviamo la seguente espressione:
\[C= \frac{ L}{R_L^2+(\omega_0 L)^2}\]
La corrente totale si determina antitrasformando il termine \(I\) dato dalla relazione:
\[I=YV\]
Esercizio 3
La corrente che scorre nell'induttore si trova come:
\[I_L=\frac{V}{\text{j}\omega L}=-\text{j}\frac{V}{\omega L}\]
analogamente quella che scorre nel condensatore si trova come:
\[I_C=\frac{V}{\frac{1}{\text{j}\omega C}}=\text{j}V\omega C\]
La corrente che scorre nel resistore invece si trova applicando la prima legge di Kirchoff:
\[I_R=I_T-I_L-I_C\]
Se il generatore opera in condizioni di risonanza, abbiamo che la pulsazione di oscillazione intrinseca del circuito coincide con quella del generatore.
Detta \(v(t)=V\sin(\omega_0 t+\phi)\) l'eccitazione del generatore e \(\omega_n\) la pulsazione di risonanza, abbiamo:
\[\omega_n=\omega_0\]
L'ammettenza della rete è data dalla somma delle singole ammettenze di ciascun ramo del circuito (sul ramo dell'induttore bisogna porre anche un resistore in serie di valore \(R_L\))
Quindi:
\[Y=\frac{1}{R}+\frac{R_L}{R_L^2+(\omega L)^2}+\text{j}\left(\omega C - \frac{\omega L}{R_L^2+(\omega L)^2} \right)\]
Alla pulsazione di risonanza gli effetti reattivi della rete si annichilano tra di loro quindi:
\[\omega_n C - \frac{\omega_n L}{R_L^2+(\omega_n L)^2}=0\]
quindi ricaviamo la seguente espressione:
\[C= \frac{ L}{R_L^2+(\omega_0 L)^2}\]
La corrente totale si determina antitrasformando il termine \(I\) dato dalla relazione:
\[I=YV\]
Esercizio 3
La corrente che scorre nell'induttore si trova come:
\[I_L=\frac{V}{\text{j}\omega L}=-\text{j}\frac{V}{\omega L}\]
analogamente quella che scorre nel condensatore si trova come:
\[I_C=\frac{V}{\frac{1}{\text{j}\omega C}}=\text{j}V\omega C\]
La corrente che scorre nel resistore invece si trova applicando la prima legge di Kirchoff:
\[I_R=I_T-I_L-I_C\]
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