Circuiti rc-carica e corrente in funzione del tempo
Ragazzi,spero possiate aiutarmi perchè ho seri problemi nella comprensione di come si giunge a certe equazioni,sia dal punto di vista matematico che dal punto di vista teorico:
si parla di un circuito costituito da una batteria,un'interruttor,una resistenza e un condensatore.
Applicando la seconda legge di kirchhoff a questo circuito si ottiene che dopo la chiusura dell'interruttore
$\epsilon-(q/C)-IR=0$
IR rappresenta la caduta di potenziale ai capi della resistenza
q/C rappresenta la caduta di potenziale ai capi del condensatore
a t=0 $I_0=\epsilon/R
una volta che il condensatore è caricato fino al suo valore massimo Q la corrente nel circuito diventa 0 e otteniamo che
$Q=C\epsilon$
Sostituisco nella pima equazione considerata I=dq/dt
$(dq)/(dt)=(\epsilon/R)-(q/(RC))$
$(dq)/((C\epsilon)-q) = -(dt)/(RC)$
$\int_0^q(dq)/((C\epsilon)-q) =-1/(RC)\int_0^t(dt)$
$ln(((C\epsilon)-q)/(C\epsilon))=-t/(RC)$
il problema arriva qui:
per la definizione di logaritmo naturale si arriva a scrivere la seguente espressione
$q(t)=C\epsilon[1-e^-(t/(RC))]=Q[1-e^-(t/(RC))]$ dove $Q=C\epsilon$è la carica massima sul condensatore
questa sarebbe quindi l'espressione per q in funzione del tempo.
Qualcuno può scrivermi per esteso con santa pazienza i passaggi che stanno nel passaggio dal logaritmo naturale all'esponenziale??
Si trova poi la corrente in funzione del tempo derivando l'ultima equazione scritta rispetto al tempo e ottenendo:
$I(t)=(\epsilon/R)e^-(t/(RC))
Anche qui qualche spirito gentile potrebbe illuminarmi sui passaggi da fare per arrivare dalla carica in funzione del tempo alla corrente?
Ho capito che bisogna dividere q(t)/dt però non sono in grado derivando di ottenere il risultato scritto sopra...avrei sempre bisogno di una spiegazione dei passaggi!
Grazie mille a chiunque sarà così gentile e avrà la pazienza di spiegarmi!
si parla di un circuito costituito da una batteria,un'interruttor,una resistenza e un condensatore.
Applicando la seconda legge di kirchhoff a questo circuito si ottiene che dopo la chiusura dell'interruttore
$\epsilon-(q/C)-IR=0$
IR rappresenta la caduta di potenziale ai capi della resistenza
q/C rappresenta la caduta di potenziale ai capi del condensatore
a t=0 $I_0=\epsilon/R
una volta che il condensatore è caricato fino al suo valore massimo Q la corrente nel circuito diventa 0 e otteniamo che
$Q=C\epsilon$
Sostituisco nella pima equazione considerata I=dq/dt
$(dq)/(dt)=(\epsilon/R)-(q/(RC))$
$(dq)/((C\epsilon)-q) = -(dt)/(RC)$
$\int_0^q(dq)/((C\epsilon)-q) =-1/(RC)\int_0^t(dt)$
$ln(((C\epsilon)-q)/(C\epsilon))=-t/(RC)$
il problema arriva qui:
per la definizione di logaritmo naturale si arriva a scrivere la seguente espressione
$q(t)=C\epsilon[1-e^-(t/(RC))]=Q[1-e^-(t/(RC))]$ dove $Q=C\epsilon$è la carica massima sul condensatore
questa sarebbe quindi l'espressione per q in funzione del tempo.
Qualcuno può scrivermi per esteso con santa pazienza i passaggi che stanno nel passaggio dal logaritmo naturale all'esponenziale??
Si trova poi la corrente in funzione del tempo derivando l'ultima equazione scritta rispetto al tempo e ottenendo:
$I(t)=(\epsilon/R)e^-(t/(RC))
Anche qui qualche spirito gentile potrebbe illuminarmi sui passaggi da fare per arrivare dalla carica in funzione del tempo alla corrente?
Ho capito che bisogna dividere q(t)/dt però non sono in grado derivando di ottenere il risultato scritto sopra...avrei sempre bisogno di una spiegazione dei passaggi!
Grazie mille a chiunque sarà così gentile e avrà la pazienza di spiegarmi!
Risposte
ciao,
tu sai che $log_e(x)=y ->e^y=x$ quindi l'equazione che hai scritto tu diventa:
$e^(-t/(RC))=frac{Cepsilon-q}{Cepsilon}$ da cui $Cepsilon-Cepsilon*e^(-t/(RC))=q -> q=Cepsilon(1-e^(-t/(RC)))$
derivando rispetto al tempo, sapendo che
se $y=e^(-Kx)$ allora $frac{dy}{dx}=-Ke^(-Kx)$ quindi derivando rispetto al tempo q otteniamo:
$i=frac{dq}{dt}=Cepsilon*(-(-frac{1}{RC}e^(-t/(RC)))=epsilon/Re^(-t/(RC))$
tu sai che $log_e(x)=y ->e^y=x$ quindi l'equazione che hai scritto tu diventa:
$e^(-t/(RC))=frac{Cepsilon-q}{Cepsilon}$ da cui $Cepsilon-Cepsilon*e^(-t/(RC))=q -> q=Cepsilon(1-e^(-t/(RC)))$
derivando rispetto al tempo, sapendo che
se $y=e^(-Kx)$ allora $frac{dy}{dx}=-Ke^(-Kx)$ quindi derivando rispetto al tempo q otteniamo:
$i=frac{dq}{dt}=Cepsilon*(-(-frac{1}{RC}e^(-t/(RC)))=epsilon/Re^(-t/(RC))$
premettendo che ci sarebbe un modo molto più semplice di calcolare quello che accade a circuiti del genere usando la trasformata di laplace che trasforma le equazioni differenziali in equazioni algebriche
una domanda però mi sorge spontanea: la resistenza è in parallelo o in serie al circuito?
una domanda però mi sorge spontanea: la resistenza è in parallelo o in serie al circuito?
in serie se ha scritto l'equazione così
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