Circuitazione d'ampere, studente superiori
Buongiorno, vorrei chiedere come Ampere arriva alla sua prima legge della circuitazione di Ampere
Grazie dell'aiuto
Grazie dell'aiuto
Risposte
Non ho capito bene, vuoi sapere come si ricava la circuitazione di Ampere o sapere proprio come ha fatto lui? In questo secondo caso non saprei dire se il modo classico con cui si ricava sia lo stesso usato da lui. Ma probabilmente cercando in rete si trova qualcosa. Se ti interessa il primo caso dimmelo che provo a spiegarlo in modo semplice da scuola superiore.
Si vorrei sapere il primo caso grazie
Va bene, non so di preciso cosa si faccia alle superiori quindi ti chiedo prima qualcosa: avete fatto le equazioni di Maxwell? Sai cosa significa integrare su una curva e su una superficie? Avete già visto alcuni semplici casi di campi magnetici, ad esempio quello del filo percorso da corrente?
Si
Bene allora saprai che per circuitazione si intende una somma di contributi lungo una linea chiusa. Nella circuitazione di Ampere i contributi sono dati dal campo magnetico e la linea chiusa è presa in modo da avvolgere la sorgente del campo magnetico, che è la corrente; quindi nel caso semplice di un filo di corrente indefinito la circuitazione più semplice è una circonferenza concentrica al filo e giacente su un piano ad esso ortogonale. Sappiamo che il campo generato dal filo dipende dalla distanza da esso e, fissata questa quindi fissato un punto nello spazio, è una serie di vettori tangenti alla circonferenza che passa per questo punto sempre concentrica al filo, sempre ortogonale al filo. Scegliamo il cammino di integrazione, quindi la curva, uguale a questa circonferenza.
$\int_(Circonferenza) B*dl = \int_(Circonferenza)\mu I/(2\pi) (\vect*\vecdl)/r$ dove $ (\vect*\vecdl)$ è il prodotto scalare tra il versore tangente alla circonferenza e l'elemento di curva che è proprio l'arco infinitesimo di circonferenza $ds$ e per trigonometria il rapporto tra arco e raggio è l'angolo sotteso quindi $(ds)/r=\dphi$. A questo punto la circuitazione $\int_(Circonferenza)d\phi$ è ovviamente $2\pi$. Insomma ottieni
$\int_(Circonferenza) B*dl =\muI$ . Se ci sono più sorgenti di campo, quindi più correnti queste si sommano. Contano solo le correnti "concatenate" alla curva su cui stai integrando, cioè quelle che passano dentro la curva chiusa. Se alcune correnti vanno in un verso, entrando nello spazio delimitato dal contorno della curva, ed altre vanno nell'altro verso dovrai sommarle con segno opposto. Ovviamente se la curva non ha nessuna corrente concatenata il valore della circuitazione è nullo. Poi ci sono altre complicazioni, se la configurazione è particolare e il tuo contorno avvolge più volte una corrente dovrai contarle con la relativa molteplicità in base a quante volte ci giri attorno, ma il concetto resta quello.
Questo è un modo pratico per dimostrare la legge di Ampere, ma visto che dici hai fatto le equazioni di Maxwell vediamo anche la deduzione più generale.
Ci serve $rot(\vecB)=\mu \vecJ$ ed un risultato importante della matematica che si chiama Teorema di Stokes. Nella sua forma più semplice diventa il teorema fondamentale del calcolo integrale $\int_a^bf(x) dx = F(b)-F(a)$, mentre la relazione che ci interessa a noi in questo caso è
$\int_(Superficie) rot(B) dS = \int_(C) B*dl$ dove $C$ è il bordo della superficie, ovvero se la superficie è una calotta sferica il bordo è la circonferenza che ha per base (ed analogo per qualunque altra superficie generica).
Ed ora vedi che con questo potente strumento otteniamo subito che $\int_(C) B*dl=\int_(Superficie) rot(B) dS =\int_(Superficie) \mu \vecJ dS=\mu I$ usando il fatto che la corrente è il flusso, quindi l'integrale di superficie, della densità di corrente.
Mi sono impegnato non poco per provare a dire le cose in modo esatto ma non troppo difficile. Non so se sono riuscito a fare entrambe le cose o nessuna delle due...spero che tu riesca a capire
Ho usato solo le definizioni di integrali che hai detto di aver fatto e le equazioni di maxwell del caso statico e nel vuoto, le più semplici. Comunque se non ti torna qualcosa dimmelo e provo a semplificarlo.
$\int_(Circonferenza) B*dl = \int_(Circonferenza)\mu I/(2\pi) (\vect*\vecdl)/r$ dove $ (\vect*\vecdl)$ è il prodotto scalare tra il versore tangente alla circonferenza e l'elemento di curva che è proprio l'arco infinitesimo di circonferenza $ds$ e per trigonometria il rapporto tra arco e raggio è l'angolo sotteso quindi $(ds)/r=\dphi$. A questo punto la circuitazione $\int_(Circonferenza)d\phi$ è ovviamente $2\pi$. Insomma ottieni
$\int_(Circonferenza) B*dl =\muI$ . Se ci sono più sorgenti di campo, quindi più correnti queste si sommano. Contano solo le correnti "concatenate" alla curva su cui stai integrando, cioè quelle che passano dentro la curva chiusa. Se alcune correnti vanno in un verso, entrando nello spazio delimitato dal contorno della curva, ed altre vanno nell'altro verso dovrai sommarle con segno opposto. Ovviamente se la curva non ha nessuna corrente concatenata il valore della circuitazione è nullo. Poi ci sono altre complicazioni, se la configurazione è particolare e il tuo contorno avvolge più volte una corrente dovrai contarle con la relativa molteplicità in base a quante volte ci giri attorno, ma il concetto resta quello.
Questo è un modo pratico per dimostrare la legge di Ampere, ma visto che dici hai fatto le equazioni di Maxwell vediamo anche la deduzione più generale.
Ci serve $rot(\vecB)=\mu \vecJ$ ed un risultato importante della matematica che si chiama Teorema di Stokes. Nella sua forma più semplice diventa il teorema fondamentale del calcolo integrale $\int_a^bf(x) dx = F(b)-F(a)$, mentre la relazione che ci interessa a noi in questo caso è
$\int_(Superficie) rot(B) dS = \int_(C) B*dl$ dove $C$ è il bordo della superficie, ovvero se la superficie è una calotta sferica il bordo è la circonferenza che ha per base (ed analogo per qualunque altra superficie generica).
Ed ora vedi che con questo potente strumento otteniamo subito che $\int_(C) B*dl=\int_(Superficie) rot(B) dS =\int_(Superficie) \mu \vecJ dS=\mu I$ usando il fatto che la corrente è il flusso, quindi l'integrale di superficie, della densità di corrente.
Mi sono impegnato non poco per provare a dire le cose in modo esatto ma non troppo difficile. Non so se sono riuscito a fare entrambe le cose o nessuna delle due...spero che tu riesca a capire
Ho usato solo le definizioni di integrali che hai detto di aver fatto e le equazioni di maxwell del caso statico e nel vuoto, le più semplici. Comunque se non ti torna qualcosa dimmelo e provo a semplificarlo.
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