Circolazione, vortice di Burgers e un piccolo problemino di analisi...
Il problema è che una volta presa la soluzione di Burgers per la vorticità di un flusso stazionario e assialsimmetrico di un fluido incompribile e calcolata la circolazione, se vado a calcolare la variazione di questa nel tempo mi viene diversa da zero nel caso in cui la superficie di integrazione non si estenda all'infinito.
La soluzione di Burgers per la vorticità è:
\[
\vec{\omega}=\begin{pmatrix}
\omega_1 \cdot \exp\left( \frac{-\alpha r^2 }{4 \nu} \right) \\ 0\\ 0\\
\end{pmatrix}
\]
dove il vettore $\vec{\omega}$ è definito in coordinate cilindriche con le componenti disposte come $(x,r,\theta)$; dunque la prima componente è quella lungo la direzione $x$, la seconda è quella nella direzione radiale e la terza quella in direzione azimutale. È chiaro da quel che ho scritto che il flusso è assialsimmetrico e stazionario.
Io mi calcolo la circolazione, che è definita come $ C=\int_S \vec{\omega} \cdot d\vec{S} $, su un cerchio che giace sul piano con normale parallela all'asse $x$ (dunque versore $\hat{x}$ ) quindi:
\[
C=\int_S \vec{\omega} \cdot d\vec{S} = 2 \pi \int_0^R \omega(r) \cdot r dr = \frac{4 \nu \pi}{\alpha} \cdot \omega_1 \cdot\left[ 1- exp \left( -\frac{\alpha R^2}{4 \nu} \right) \right]
\]
in cui $\omega(r)$ è la prima componente del vettore $\vec{\omega}$.
A questo punto a me pare di capire che $C$ è una costante che varia con l'estensione della superficie di integrazione e anzi è proprio così. Questa non dipende affatto dal tempo, poiché è scelta a nostra indiscrezione, dunque uno si aspetterebbe $\frac{dC}{dt}=0$; che poi è quello che accade se si svolge direttamente la derivata della soluzione precedente.
Io però voglio calcolarmi la derivata in un altro modo: passando attraverso l'integrazione del doppio rotore della vorticità.
Se volete dimostro la formula, che ad ogni modo non ho inventato io, ma si trova scritta in un qualsiasi testo ed è, per il caso specifico in cui pressione, densità e forze di volume sono gradienti (dunque i loro integrali su linee chiuse sono zero) e il fluido è incomprimibile ($\nabla \cdot u =0$):
\[
\frac{dC}{dt}=-\nu \int_S \nabla \times \nabla \times \vec{\omega} \cdot d\vec{S} = \nu \int_S \nabla^2 \vec{\omega} \cdot d\vec{S}
\].
Nel caso di coordinate cilindriche disposte come ho scritto sopra e con il vettore $\vec{\omega}$ in questione, il Laplaciano proiettato lungo la normale alla superficie di integrazione è:
\[
\nabla^2 \vec{\omega} \cdot \hat{x} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \cdot \frac{\partial \omega}{\partial r}\right)=\frac{1}{r} \frac{d}{d r} \left( r \cdot \frac{d \omega}{d r}\right)
\]
quindi l'integrale di prima diventerà:
\[
\begin{align}
\nu \int_S \nabla^2 \vec{\omega} \cdot d\vec{S} &= 2 \pi \nu \int_0^R \frac{1}{r} \frac{d}{d r} \left( r \cdot \frac{d \omega}{d r}\right) r \ dr \\
& = 2 \pi \nu \left[ r \cdot \frac{d \omega}{d r} \right]_0^R\\
& = 2 \pi \nu \left[ r \omega_1 \cdot \frac{- \alpha r}{2 \nu} exp \left( \frac{-\alpha r^2}{4 \nu}\right) \right]_0^R\\
& = 2 \pi \nu \omega_1 \cdot \frac{- \alpha R^2}{2 \nu} exp \left( \frac{-\alpha R^2}{4 \nu}\right) \\
\end{align}
\]
È chiaro quello che dicevo all'inizio: la derivata nel tempo della circolazione non si annulla! Lo fa solo per $R \to \infty$, che, per carità è esatto, ma dovrebbe essere costantemente nulla (o no?).
Ho provato a pensarci da un punto di vista fisico e sono giunto alla conclusione che non abbia alcun senso avere una vorticità che cambi nel tempo anche per una superficie finita (che non copra l'intero spazio disponibile); essendo la vorticità stazionaria.
Se trovate errori nel ragionamento, vi prego di farmeli notare, così magari mi schiarisco le idee e risolvo questo piccolo problemino. Grazie in anticipo dell'aiuto!
La soluzione di Burgers per la vorticità è:
\[
\vec{\omega}=\begin{pmatrix}
\omega_1 \cdot \exp\left( \frac{-\alpha r^2 }{4 \nu} \right) \\ 0\\ 0\\
\end{pmatrix}
\]
dove il vettore $\vec{\omega}$ è definito in coordinate cilindriche con le componenti disposte come $(x,r,\theta)$; dunque la prima componente è quella lungo la direzione $x$, la seconda è quella nella direzione radiale e la terza quella in direzione azimutale. È chiaro da quel che ho scritto che il flusso è assialsimmetrico e stazionario.
Io mi calcolo la circolazione, che è definita come $ C=\int_S \vec{\omega} \cdot d\vec{S} $, su un cerchio che giace sul piano con normale parallela all'asse $x$ (dunque versore $\hat{x}$ ) quindi:
\[
C=\int_S \vec{\omega} \cdot d\vec{S} = 2 \pi \int_0^R \omega(r) \cdot r dr = \frac{4 \nu \pi}{\alpha} \cdot \omega_1 \cdot\left[ 1- exp \left( -\frac{\alpha R^2}{4 \nu} \right) \right]
\]
in cui $\omega(r)$ è la prima componente del vettore $\vec{\omega}$.
A questo punto a me pare di capire che $C$ è una costante che varia con l'estensione della superficie di integrazione e anzi è proprio così. Questa non dipende affatto dal tempo, poiché è scelta a nostra indiscrezione, dunque uno si aspetterebbe $\frac{dC}{dt}=0$; che poi è quello che accade se si svolge direttamente la derivata della soluzione precedente.
Io però voglio calcolarmi la derivata in un altro modo: passando attraverso l'integrazione del doppio rotore della vorticità.
Se volete dimostro la formula, che ad ogni modo non ho inventato io, ma si trova scritta in un qualsiasi testo ed è, per il caso specifico in cui pressione, densità e forze di volume sono gradienti (dunque i loro integrali su linee chiuse sono zero) e il fluido è incomprimibile ($\nabla \cdot u =0$):
\[
\frac{dC}{dt}=-\nu \int_S \nabla \times \nabla \times \vec{\omega} \cdot d\vec{S} = \nu \int_S \nabla^2 \vec{\omega} \cdot d\vec{S}
\].
Nel caso di coordinate cilindriche disposte come ho scritto sopra e con il vettore $\vec{\omega}$ in questione, il Laplaciano proiettato lungo la normale alla superficie di integrazione è:
\[
\nabla^2 \vec{\omega} \cdot \hat{x} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \cdot \frac{\partial \omega}{\partial r}\right)=\frac{1}{r} \frac{d}{d r} \left( r \cdot \frac{d \omega}{d r}\right)
\]
quindi l'integrale di prima diventerà:
\[
\begin{align}
\nu \int_S \nabla^2 \vec{\omega} \cdot d\vec{S} &= 2 \pi \nu \int_0^R \frac{1}{r} \frac{d}{d r} \left( r \cdot \frac{d \omega}{d r}\right) r \ dr \\
& = 2 \pi \nu \left[ r \cdot \frac{d \omega}{d r} \right]_0^R\\
& = 2 \pi \nu \left[ r \omega_1 \cdot \frac{- \alpha r}{2 \nu} exp \left( \frac{-\alpha r^2}{4 \nu}\right) \right]_0^R\\
& = 2 \pi \nu \omega_1 \cdot \frac{- \alpha R^2}{2 \nu} exp \left( \frac{-\alpha R^2}{4 \nu}\right) \\
\end{align}
\]
È chiaro quello che dicevo all'inizio: la derivata nel tempo della circolazione non si annulla! Lo fa solo per $R \to \infty$, che, per carità è esatto, ma dovrebbe essere costantemente nulla (o no?).
Ho provato a pensarci da un punto di vista fisico e sono giunto alla conclusione che non abbia alcun senso avere una vorticità che cambi nel tempo anche per una superficie finita (che non copra l'intero spazio disponibile); essendo la vorticità stazionaria.
Se trovate errori nel ragionamento, vi prego di farmeli notare, così magari mi schiarisco le idee e risolvo questo piccolo problemino. Grazie in anticipo dell'aiuto!
Risposte
Forse dovevo metterlo in Analisi matematica?
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