Cinetica

[Crisso1]

Ho un sistema olonomo, di cui devo calcolare il POTENZIALE e la CINETICA, il mio professore mi ha dato i risultati di quanto devon venire...ho fatto questo esercizio più volte...e la cinetica mi viene leggermente differente dal risultato che mi è stato dato, non riesco a capire dove sbaglio, questo è il testo con il risultato che dovrebbe venire


questa è il mio calcolo della CINETICA (il professore mi ha suggerito di calcolarla sommando i contributi delle due figure separatamente...e quindi calcolando il contributo rotazionale e traslazionale di ognuno rispetto al proprio centro di massa)

$ K= K(rettangolo)+K(triangolo) $

[Sk_Anonymous]

"Crisso":
io quel contributo l'avevo scartato prima di calcolarlo perchè:
1)il triangolo trasla e il polo O non è fisso per esso (ma questo dovrebbe solo eliminare l'uso del teorema di Hyugens)
2)il triangolo è vincolato a scorrere lungo un lato del rettangolo quindi effettivamente non ruota intorno al suo centro di massa
... ho concluso: un corpo che ruota intorno ad un polo (per esso non fisso) produce sempre energia cinetica rotazionale, ed essa è uguale all'energia cinetica rotazionale che si avrebbe se esso ruotasse intorno al suo centro di massa giusto ?

Onestamente, faccio un po' di fatica a seguirti. Per capire se siamo in presenza di rotazione, basta considerare un sistema di riferimento solidale al corpo rigido in questione e vedere se la direzione dei suoi assi varia nel tempo rispetto agli assi di un sistema di riferimento fisso. Quindi, nel modo più efficace possibile, determinare la velocità angolare di questa rotazione. Nel tuo caso, non c'è dubbio che la lamina quadrata sia soggetta a rotazione e che la velocità angolare associata sia proprio $[omega=dotphi]$. Del resto, basta considerare come asse solidale la sua diagonale e rendersi conto che, essendo questo asse solidale anche alla lamina rettangolare, siamo in presenza di rotazione con velocità angolare uguale a quella di quest'ultima, a maggior ragione facilmente determinabile proprio perchè la lamina rettangolare ruota attorno ad un punto fisso. Quindi: $[E_c=1/2mV_G^2+1/2I_Gdotphi^2]$. Questo è quanto. Se poi si sente la necessità di approfondire, si è certamente liberi di farlo. Per esempio, si dimostra che nei moti piani l'atto istantaneo di moto è sempre di pura rotazione attorno ad un punto chiamato centro istantaneo di rotazione, in generale esso stesso in movimento. In pratica, sto parlando di quell'approccio che porta allo studio della "base" e della "rulletta", concetti che non sono sicuro tu debba affrontare. In ogni modo, per darti un'idea, se invece di adottare la formula $[E_c=1/2mV_G^2+1/2I_Gomega^2]$, si determinasse il centro di istantanea rotazione, procedura spesso piuttosto articolata, ebbene, a quel punto potresti scrivere $[E_c=1/2I_Cdotphi^2]$, dove $[C]$ è proprio il centro di istantanea rotazione. Potrebbe essere istruttivo provare l'equivalenza delle due formule nel semplice caso di un disco che rotola senza strisciare sopra un piano orizzontale. In ogni modo, se posso darti un consiglio, mi atterrei alla teoria già collaudata. Ritengo improbabile che si possano determinare nuove regole per il calcolo dell'energia cinetica più efficaci di quelle che puoi trovare nei manuali di meccanica razionale.

Tornando all'esercizio precedente, volevo mostrarti un procedimento molto istruttivo e più generale per determinare una velocità angolare incognita, utile quando risulta difficile pervenire al medesimo risultato applicando il teorema di composizione delle velocità angolari. Il vettore posizione del punto "geometrico" $[T]$ di contatto tra la lamina e il disco ha le seguenti componenti:

$T-O=(4Rcosphi-ssenphi)veci+(4Rsenphi+scosphi)vecj$

Derivando si ottiene la sua velocità:

$vec(v_T)=(-4Rdotphisenphi-dotssenphi-sdotphicosphi)veci+(4Rdotphicosphi+dotscosphi-sdotphisenphi)vecj$

In ogni istante, il punto "geometrico" $[T]$ di contatto tra la lamina e il disco è "occupato" da un punto materiale "fisico" $[L]$ appartenente alla lamina e da un punto materiale "fisico" $[D]$ appartenente al disco. La condizione di rotolamento senza strisciamento impone che le velocità dei rispettivi punti materiali "fisici" siano uguali. Quindi, uguagliando queste due velocità, avendole prima calcolate ricorrendo alla formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, è possibile determinare la velocità angolare del disco. Per quanto riguarda la lamina:

$vec(v_L)=vecomega^^(L-O)=$

$=dotphiveck^^[(4Rcosphi-ssenphi)veci+(4Rsenphi+scosphi)vecj]=$

$=(-4Rdotphisenphi-sdotphicosphi)veci+(4Rdotphicosphi-sdotphisenphi)vecj$

Per quanto riguarda il disco:

$vec(v_D)=vec(v_G)+vecomega^^(D-G)=$

$=(-5Rdotphisenphi-dotssenphi-sdotphicosphi)veci+(5Rdotphicosphi+dotscosphi-sdotphisenphi)vecj+omegaveck^^(-Rcosphiveci-Rsenphivecj)=$

$=(-5Rdotphisenphi-dotssenphi-sdotphicosphi)veci+(5Rdotphicosphi+dotscosphi-sdotphisenphi)vecj+Romegasenphiveci-Romegacosphivecj=$

$=(-5Rdotphisenphi-dotssenphi-sdotphicosphi+Romegasenphi)veci+(5Rdotphicosphi+dotscosphi-sdotphisenphi-Romegacosphi)vecj$

Imponendo la condizione $[vec(v_L)=vec(v_D)]$:

$\{(-4Rdotphisenphi-sdotphicosphi=-5Rdotphisenphi-dotssenphi-sdotphicosphi+Romegasenphi),(4Rdotphicosphi-sdotphisenphi=5Rdotphicosphi+dotscosphi-sdotphisenphi-Romegacosphi):} rarr$

$rarr \{(Rdotphisenphi+dotssenphi=Romegasenphi),(Rdotphicosphi+dotscosphi=Romegacosphi):} rarr [omega=dots/R+dotphi]$

Infine, vale la pena sottolineare la differenza tra la velocità del punto "geometrico" di contatto e la velocità comune dei punti materiali "fisici" che istante dopo istante lo "occupano":

$\{(vec(v_T)=(-4Rdotphisenphi-dotssenphi-sdotphicosphi)veci+(4Rdotphicosphi+dotscosphi-sdotphisenphi)vecj),(vec(v_L)=vec(v_D)=(-4Rdotphisenphi-sdotphicosphi)veci+(4Rdotphicosphi-sdotphisenphi)vecj):} rarr$

$rarr [vec(v_T)-vec(v_L)=vec(v_T)-vec(v_D)=-dotssenphiveci+dotscosphivecj]$

Anche intuitivamente non era difficile immaginare che:

$[vec(v_T)=vec(v_L)=vec(v_D)] harr [dots=0]$

dato che, in questo caso, il sistema costituito dalla lamina e dal disco si comporta, almeno istantaneamente, come un unico corpo rigido.

[dissonance]

Scusa speculor, è molto tardi e forse sto riflettendo troppo poco, ma non riesco a capire come fai ad essere certo che nelle due relazioni
\[\vec{v}_L=\vec{\omega}_1\wedge (L-O)\]
e
\[\vec{v}_D=\vec{v}_G+\vec{\omega}_2\wedge (D-G)\]
sia \(\vec{\omega}_1=\vec{\omega}_2\). Infatti io direi che nella prima equazione ci va la velocità angolare della lamina e nella seconda quella del disco, e non vedo perché debbano essere uguali.

[Sk_Anonymous]

@dissonance
Hai ragione, ho sbadatamente dimenticato il pedice. Per la lamina:

$vec(v_L)=vec(omega_L)^^(L-O)=$

con:

$vec(omega_L)=dotphiveck$

facilmente determinabile perchè ruota attorno ad un punto fisso. Per il disco:

$vec(v_D)=vec(v_G)+vec(omega_D)^^(D-G)=$

con:

$vec(omega_D)=omega_Dveck$

unica vera incognita del problema cinematico. In ogni modo, se hai voglia di ripercorrerla, nel corso della dimostrazione non ho supposto la loro uguaglianza, piuttosto $[vec(v_L)=vec(v_D)]$, la condizione di rotolamento senza strisciamento. Del resto, lo scopo è proprio quello di dimostrare la seguente relazione:

$omega_D=dots/R+dotphi=dots/R+omega_L$

utilizzando il metodo "forza bruta". Come sostenevo in precedenza, possono capitare esercizi in cui la geometria del problema e/o la scelta delle coordinate generalizzate rendono difficoltosa la determinazione di una velocità angolare incognita mediante il teorema di composizione delle velocità angolari da te menzionato. Ebbene, in questi casi, saper procedere anche in questo modo può fare la differenza.

[dissonance]

Ah, ho capito! In effetti era solo questione di un pedice mancante.

Ti ringrazio per questo intervento, quello di puro rotolamento è un concetto che non ho mai digerito, e adesso ne so un po' di più.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":
Ti ringrazio per questo intervento...

Ci mancherebbe. Quello che è giusto è giusto. Anche perchè ieri, in Analisi, ne ho scritte un paio da galera. Però, per fortuna, non sono ancora venuti a prendermi.