Cinetica
Ho un sistema olonomo, di cui devo calcolare il POTENZIALE e la CINETICA, il mio professore mi ha dato i risultati di quanto devon venire...ho fatto questo esercizio più volte...e la cinetica mi viene leggermente differente dal risultato che mi è stato dato, non riesco a capire dove sbaglio, questo è il testo con il risultato che dovrebbe venire
questa è il mio calcolo della CINETICA (il professore mi ha suggerito di calcolarla sommando i contributi delle due figure separatamente...e quindi calcolando il contributo rotazionale e traslazionale di ognuno rispetto al proprio centro di massa)
$ K= K(rettangolo)+K(triangolo) $
questa è il mio calcolo della CINETICA (il professore mi ha suggerito di calcolarla sommando i contributi delle due figure separatamente...e quindi calcolando il contributo rotazionale e traslazionale di ognuno rispetto al proprio centro di massa)
$ K= K(rettangolo)+K(triangolo) $
Risposte
Per favore modifica il titolo eliminando il TUTTO MAIUSCOLO (vedi regolamento). Grazie.
Modificato...ora spero possa esser aiutato da qualcuno
penso che le coordinate dei baricentri non siano corrette.
RETTANGOLO:
$x_G=s+(4l/3+3l/2)sin(\pi/2-\phi)$
$y_G=(4l/3+3l/2)cos(\pi/2-\phi)$
E questo discorso sui seni e coseni vale anche per il triangolo.
RETTANGOLO:
$x_G=s+(4l/3+3l/2)sin(\pi/2-\phi)$
$y_G=(4l/3+3l/2)cos(\pi/2-\phi)$
E questo discorso sui seni e coseni vale anche per il triangolo.
no...non credo di aver sbagliato quello...anche perchè se vai a sostituire con gli angoli associati hai scritto le mie solite coordinate...hai ragionato solo con angoli diversi...ma il risultato è identico
Per favore c'è qualcuno che è in grado di aiutarmi ?!?
Mi convince poco il calcolo del momento d'inerzia del triangolo. Anche perchè, nonostante debba essere baricentrico, applichi il teorema del trasporto con il segno positivo. Quando utilizzato inversamente, magari perchè si conosce un momento d'inerzia non baricentrico, il calcolo di quello baricentrico richiede che si faccia una differenza.
Mi dispiace non essere in grado di aiutare... Comunque, mi sono incuriosito. Quando avete finito, se trovate due minuti, mi spieghereste - concettualmente - come si affronta questo problema?
Per calcolare l'energia cinetica state usando, se non sbaglio, il teorema di Konig. Ma in questo caso non è chiaro quale sia il moto traslazionale del centro di massa, quindi io mi bloccherei.
Invece per il potenziale mi sa che c'è da procedere analiticamente, trovando una primitiva del campo vettoriale assegnato e poi traducendo il tutto nelle coordinate lagrangiane. Giusto?
Grazie!
Per calcolare l'energia cinetica state usando, se non sbaglio, il teorema di Konig. Ma in questo caso non è chiaro quale sia il moto traslazionale del centro di massa, quindi io mi bloccherei.
Invece per il potenziale mi sa che c'è da procedere analiticamente, trovando una primitiva del campo vettoriale assegnato e poi traducendo il tutto nelle coordinate lagrangiane. Giusto?
Grazie!
Ciao dissonance.
Essendo il centro di massa un punto geometrico, non è possibile parlare di un suo moto traslazionale. In generale, si parla di moto traslazionale di un sistema "esteso" quando tutti i suoi punti hanno la stessa velocità. In ogni modo, nella formula $[E_c=1/2mV_G^2+1/2I_G\omega^2]$, $[V_G]$ è la velocità istantanea del centro di massa e il termine $[1/2mV_G^2]$ rappresenta l'energia cinetica che il sistema avrebbe se tutti i suoi punti si muovessero con la velocità del centro di massa, indipendentemente dal fatto che questo accada o meno. Quindi, sotto questa ipotesi, ha perfettamente senso utilizzare il termine "energia cinetica traslazionale" per identificarlo. Tra l'altro, in assenza di rotazione, e quindi in presenza di "reale" traslazione, essendo $[\omega=0]$, esso si identifica con l'energia cinetica complessiva, come la logica sottostante vorrebbe.
Se il campo è conservativo, come spesso accade, senz'altro.
"dissonance":
Per calcolare l'energia cinetica state usando, se non sbaglio, il teorema di Konig. Ma in questo caso non è chiaro quale sia il moto traslazionale del centro di massa, quindi io mi bloccherei.
Essendo il centro di massa un punto geometrico, non è possibile parlare di un suo moto traslazionale. In generale, si parla di moto traslazionale di un sistema "esteso" quando tutti i suoi punti hanno la stessa velocità. In ogni modo, nella formula $[E_c=1/2mV_G^2+1/2I_G\omega^2]$, $[V_G]$ è la velocità istantanea del centro di massa e il termine $[1/2mV_G^2]$ rappresenta l'energia cinetica che il sistema avrebbe se tutti i suoi punti si muovessero con la velocità del centro di massa, indipendentemente dal fatto che questo accada o meno. Quindi, sotto questa ipotesi, ha perfettamente senso utilizzare il termine "energia cinetica traslazionale" per identificarlo. Tra l'altro, in assenza di rotazione, e quindi in presenza di "reale" traslazione, essendo $[\omega=0]$, esso si identifica con l'energia cinetica complessiva, come la logica sottostante vorrebbe.
"dissonance":
Invece per il potenziale mi sa che c'è da procedere analiticamente, trovando una primitiva del campo vettoriale assegnato e poi traducendo il tutto nelle coordinate lagrangiane. Giusto?
Se il campo è conservativo, come spesso accade, senz'altro.
Grazie mille Speculor
sei stato chiaro come sempre...ho altri due esercizi di questo genere in cui i risultati mi differiscono di poco dal risultato che deve venire; io te li posto con i ragionamenti che ho fatto io...così magari riesci a trovare l'errore come in questo
ora non riesco perchè sono a lavoro...appena riesco li scrivo...
sei stato chiaro come sempre...ho altri due esercizi di questo genere in cui i risultati mi differiscono di poco dal risultato che deve venire; io te li posto con i ragionamenti che ho fatto io...così magari riesci a trovare l'errore come in questo
ora non riesco perchè sono a lavoro...appena riesco li scrivo...
Ok. Non ho capito se adesso il risultato del primo esercizio torna.
Ah ecco ho capito. Per l'energia cinetica non è questione di teoremi di Konig né di roba strana, si tratta semplicemente di sfruttare la formula
\[E_c=\frac{1}{2}mV_G^2 + \frac{1}{2}I_G\omega^2\]
e di osservare che \(\vec{\omega}=\dot{\phi}\mathbf{k},\) quindi darci dentro con i conti (che io trovo proibitivi!complimenti agli ingegneri).
Una cosa teorica che vorrei chiedere, però, riguarda l'appellativo "coordinate Lagrangiane". Nei pochi esempi pratici che ho mai considerato, la dinamica dei corpi rigidi è stata sempre descritta per mezzo delle equazioni cardinali. Qui invece, grazie ai calcoli di Crisso, abbiamo bella e pronta una Lagrangiana \(L=T+U\). La domanda è: le equazioni di Lagrange
\[\begin{cases} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{s}}-\frac{\partial L}{\partial s}=0 \\\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0\end{cases}\]
descrivono correttamente l'evoluzione del sistema?
Immagino di si, ma sapete, avendo sempre pensato a queste equazioni come riferite ad un numero finito di punti materiali ora mi stupisco nel pensare di applicarle ad un sistema di questo tipo. Che ne dite?
\[E_c=\frac{1}{2}mV_G^2 + \frac{1}{2}I_G\omega^2\]
e di osservare che \(\vec{\omega}=\dot{\phi}\mathbf{k},\) quindi darci dentro con i conti (che io trovo proibitivi!complimenti agli ingegneri).
Una cosa teorica che vorrei chiedere, però, riguarda l'appellativo "coordinate Lagrangiane". Nei pochi esempi pratici che ho mai considerato, la dinamica dei corpi rigidi è stata sempre descritta per mezzo delle equazioni cardinali. Qui invece, grazie ai calcoli di Crisso, abbiamo bella e pronta una Lagrangiana \(L=T+U\). La domanda è: le equazioni di Lagrange
\[\begin{cases} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{s}}-\frac{\partial L}{\partial s}=0 \\\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0\end{cases}\]
descrivono correttamente l'evoluzione del sistema?
Immagino di si, ma sapete, avendo sempre pensato a queste equazioni come riferite ad un numero finito di punti materiali ora mi stupisco nel pensare di applicarle ad un sistema di questo tipo. Che ne dite?
Per Speculor:
si, il risultato mi torna, nei libri di teoria che ho studiato, affrontano sempre il teorema di Hyugens con esempi in cui calcolano il momento d'inerzia trasportato a un'asse parallelo al centro di massa, quindi il contributo è sempre sommato al momento d'inerzia che passa per il baricentro, questa è la prima volta che mi trovo un procedimento inverso e in effetti appena ho letto la tua risposta ero certo che mi tornasse il risultato prima ancora di svolgere i calcoli (che comunque ho svolto)
Per dissonance:
come non centra il teorema di Konig ? la formula che usi te è proprio il teorema di Konig (se cerchi su internet spesso è chiamato 2° teorema di Konig), ad esempio sul mio libro lo tratta come se fosse l'unico.
Per quanto riguarda le equazioni di Lagrange se descrivono correttamente l'evoluzione del sistema la risposta è si, ma in questo caso, ovvero quando il sistema che si sta trattando è un sistema olonomo.
Un aspetto importante delle equazioni di Lagrange è che non vi compaiono reazioni vincolari; formalmente è come se si avesse il moto di un punto, libero da vincoli.
Se invece vuoi determinare le reazioni vincolari allora si, sei obbligato a utilizzare le equazioni cardinali.
Non so se è questo che chiedevi, e non so se mi sono spiegato bene.
si, il risultato mi torna, nei libri di teoria che ho studiato, affrontano sempre il teorema di Hyugens con esempi in cui calcolano il momento d'inerzia trasportato a un'asse parallelo al centro di massa, quindi il contributo è sempre sommato al momento d'inerzia che passa per il baricentro, questa è la prima volta che mi trovo un procedimento inverso e in effetti appena ho letto la tua risposta ero certo che mi tornasse il risultato prima ancora di svolgere i calcoli (che comunque ho svolto)
Per dissonance:
come non centra il teorema di Konig ? la formula che usi te è proprio il teorema di Konig (se cerchi su internet spesso è chiamato 2° teorema di Konig), ad esempio sul mio libro lo tratta come se fosse l'unico.
Per quanto riguarda le equazioni di Lagrange se descrivono correttamente l'evoluzione del sistema la risposta è si, ma in questo caso, ovvero quando il sistema che si sta trattando è un sistema olonomo.
Un aspetto importante delle equazioni di Lagrange è che non vi compaiono reazioni vincolari; formalmente è come se si avesse il moto di un punto, libero da vincoli.
Se invece vuoi determinare le reazioni vincolari allora si, sei obbligato a utilizzare le equazioni cardinali.
Non so se è questo che chiedevi, e non so se mi sono spiegato bene.
questo è il testo di un altro esercizio che non mi riesce parzialmente...
la potenziale non ho nessun problema e me la sono calcolata...la cinetica...mi viene leggermente diversa dal risultato che deve venire...e come nel precedente esercizio...non sono riuscito a trovare l'errore...
spero che Speculor o altri riescano a trovarlo come prima...
spero che Speculor o altri riescano a trovarlo come prima...
ok..perfetto...ora viene...il mio errore è stato nel considerare una velocità angolare sbagliata del disco...
capisco la relazione s(puntato)/R...ma io avevo pensato che fosse la solita cosa di phi(puntato)...mi puoi spiegare perchè vanno sommati...
capisco la relazione s(puntato)/R...ma io avevo pensato che fosse la solita cosa di phi(puntato)...mi puoi spiegare perchè vanno sommati...
Intanto grazie per la risposta precedente, Crisso! Per questo fatto della velocità angolare ti dico la mia opinione, ma ricorda che l'ultima parola spetta a speculor, io sono solo un dilettante. Il fatto è che il moto del disco è la sovrapposizione di due moti rotatori, non uno solo:
[list=1][*:2nbb3pfa]la rotazione attorno al suo centro di massa, descritta dal parametro \(s / R\) perché il rotolamento avviene senza strisciare; [/*:m:2nbb3pfa]
[*:2nbb3pfa]la rotazione attorno ad \(O\), descritta dal parametro \(\phi\).[/*:m:2nbb3pfa][/list:o:2nbb3pfa]
Un teorema di cinematica relativa (teorema di composizione delle velocità angolari) ci dice che allora la velocità angolare totale è la somma di queste due.
[list=1][*:2nbb3pfa]la rotazione attorno al suo centro di massa, descritta dal parametro \(s / R\) perché il rotolamento avviene senza strisciare; [/*:m:2nbb3pfa]
[*:2nbb3pfa]la rotazione attorno ad \(O\), descritta dal parametro \(\phi\).[/*:m:2nbb3pfa][/list:o:2nbb3pfa]
Un teorema di cinematica relativa (teorema di composizione delle velocità angolari) ci dice che allora la velocità angolare totale è la somma di queste due.
Grazie dissonance, il tuo ragionamento credo sia giusto...
ne aprofitto anche per postare questo esercizio...che stranamente mi viene (quasi)
e il mio svolgimento
inutile dire che ho provato più di una volta a fare i calcoli e anche qui l'errore deve essere una scemata che non riesco a capire dato che l'unica cosa che non mi torna della cinetica è il contributo 1325/3 ml^2phi(puntato)^2 che mi viene 1324/3 !!!
ne aprofitto anche per postare questo esercizio...che stranamente mi viene (quasi)
e il mio svolgimento
inutile dire che ho provato più di una volta a fare i calcoli e anche qui l'errore deve essere una scemata che non riesco a capire dato che l'unica cosa che non mi torna della cinetica è il contributo 1325/3 ml^2phi(puntato)^2 che mi viene 1324/3 !!!
"dissonance":
Il fatto è che il moto del disco è la sovrapposizione di due moti rotatori, non uno solo:
[list=1][*:12voh96w]la rotazione attorno al suo centro di massa, descritta dal parametro \(s / R\) perché il rotolamento avviene senza strisciare; [/*:m:12voh96w]
[*:12voh96w]la rotazione attorno ad \(O\), descritta dal parametro \(\phi\).[/*:m:12voh96w][/list:o:12voh96w]
Un teorema di cinematica relativa (teorema di composizione delle velocità angolari) ci dice che allora la velocità angolare totale è la somma di queste due.
Intanto grazie della fiducia. La relazione $[omega=dots/R+dotphi]$ può essere giustificata anche senza menzionare esplicitamente i centri di rotazione. Se proprio si vuole, allora sarebbe meglio riferirsi ai centri istantanei di rotazione: il punto di contatto tra lamina e disco per l'atto di moto di pura rotazione con velocità angolare $[omega_1=dots/R]$, il punto $[O]$ per l'atto di moto di pura rotazione con velocità angolare $[omega_2=dotphi]$.
"Crisso":
... inutile dire che ho provato più di una volta a fare i calcoli e ...
Hai dimenticato il termine rotazionale $[1/2I_Gomega^2=1/3ml^2dotphi^2]$ nel calcolo dell'energia cinetica della lamina quadrata.
io quel contributo l'avevo scartato prima di calcolarlo perchè:
1)il triangolo trasla e il polo O non è fisso per esso (ma questo dovrebbe solo eliminare l'uso del teorema di Hyugens)
2)il triangolo è vincolato a scorrere lungo un lato del rettangolo quindi effettivamente non ruota intorno al suo centro di massa
ora in effetti visto i tuoi calcoli, è proprio quello il contributo che mi manca numericamente per farmi tornare il risultato; inoltre ragionando su un esercizio precedente con un caso simile ho concluso:
un corpo che ruota intorno ad un polo (per esso non fisso) produce sempre energia cinetica rotazionale, ed essa è uguale all'energia cinetica rotazionale che si avrebbe se esso ruotasse intorno al suo centro di massa
giusto ?
1)il triangolo trasla e il polo O non è fisso per esso (ma questo dovrebbe solo eliminare l'uso del teorema di Hyugens)
2)il triangolo è vincolato a scorrere lungo un lato del rettangolo quindi effettivamente non ruota intorno al suo centro di massa
ora in effetti visto i tuoi calcoli, è proprio quello il contributo che mi manca numericamente per farmi tornare il risultato; inoltre ragionando su un esercizio precedente con un caso simile ho concluso:
un corpo che ruota intorno ad un polo (per esso non fisso) produce sempre energia cinetica rotazionale, ed essa è uguale all'energia cinetica rotazionale che si avrebbe se esso ruotasse intorno al suo centro di massa
giusto ?
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