[cinematica] trovare velocità in funzione al tempo

[BoG3]

ciao a tutti,

stavo facendo un esercizio (vedi foto sotto):



e per risolvere il punto $a)$ ho pensato di fare così:

la velocità è data da: $v(t) = v_0 + at$, sapendo che $a=-bv^2$
ho sostituito l'accelerazione nella prima formula e ho ottenuto:
$v(t) = v_0 + (-bv^2)t$ ovvero:
$v(t)=v_0-bv^2 t$.

ora il mio dubbio è questo: la velocita' $v$ cambia in continuazione (decresce) e quindi dovrei fare un integrazione di questo tipo:
$v(t)=v_0 + int_{t_0}^t (b*v^2 *t) dt$, dove $t_0 = 0$, essendo $-b$ costante lo porto fuori dall'integrale,
$int_{t_0}^t (v^2 *t) dt = (v^2 *t)-(v^2*t_0)= (v^2 *t)-(v^2*)= (v^2 *t)$ e quindi avrei $v(t)=v_0-bv^2 t$.
tuttavia sono poco convinto. il risultato sul libro è $v = (1/v_0 + bt)^(-1)$ mentre a me viene:

$v=v_0-bv^2 t$

$v/v^2=v_0-b t$

$1/v=v_0-b t$

$v=1/(v_0-b t)$


qualcun sa dirmi dove ho cannato xfavore?

[Zkeggia]

Ci sono numerosi errori di calcolo, che non so se sono errori tuoi di trascrizione o se proprio hai sbagliato. Prima di tutto $int v^2*tdt = v^2*t^2/2$ e lo stesso qualche passaggio sotto hai diviso per $v^2$ ma hai fatto un errore algebrico. Ma il problema è il metodo che hai usato.

Hai sbagliato proprio all'inizio:

$v(t) = v_0 + a*t$ questa formula non è giusta. a infatti dipende esplicitamente da v, quindi non puoi supporre che sia costante rispetto al tempo e integrare. La risoluzione giusta è:

$(dv)/(dt) = -bv^2$ con la condizione iniziale:
$v(0) = v_0$
In generale devi sempre scrivere così. Il fatto che in alcuni moti $v = a*t$ non significa che lo sia in tutti. Infatti se ad esempio hai che $a = k$ con k costante, allora hai $(dv)/(dt) = k -> v = int_(t_0)^t kdt = k*(t-t_0)$ (in questo caso basta integrare perché k non dipende da t e si può portare fuori dall'integrale.

Non so se avete parlato di equazioni differenziali, ma questo è un caso molto semplice.

Per risolverla si usa il metodo di separazione delle variabili

$(dv)/(dt) = -bv^2 -> (dv)/(dt) * 1/(-bv^2) = 1$
integrando rispetto a t ambo i membri si ha

$int(dv)/(dt)* 1/(-bv^2)dt = t - t_0$

ora si sostituisce $x = v -> dx = (dv)/(dt)*dt$ nel primo integrale (Questo è il passaggio chiave della separazione delle variabili) e alla fine dei giochi hai:

$int_(x_0)^(x(t)) 1/(-bx^2)dt = t - t_0$

il primo integrale non è difficile da risolvere perché è quasi immediato:

$int1/(-bx^2)dx = 1/b* int(dx)/(-x^2) = 1/b *1/x$

Quindi alla fine dei giochi hai:
$1/b* ( 1/(v(t)) - 1/(v_0)) = t - t_0$


$t_0 = 0$ quindi si può togliere. Con un po' di passaggi algebrici si può trovare la formula esplicita di v.

Scusa se sono stato un po' prolisso ma al primo anno a me non hanno mai detto queste cose (tranne verso metà del secondo semestre) e quindi volevo essere sicuro che tu capissi.

C'è da dire che non sempre le equazioni sono così facili. Infatti se $a$ dipende non solo dalla velocità, ma anche dalla posizione, l'equazione diventa un po' più difficile. Per esempio se tu avessi $a = k*x - bv+ d$ non devi scrivere $(dv)/(dt) = k*x - bv+ d$ ma sei costretto a scrivere

$(d^2x)/(dt)^2 = k*x - b*(dx)/(dt)+ d$ e si risolve con un altro metodo che se vuoi ti spiego...

[BoG3]

purtroppo no, non abbiamo parlato di queste cose in questi termini, infatti sono sorpreso di incontrare tutte ste cose ancora nel primo semestre ... cmq indaghero' meglio

grazie

EDIT:

scusa ma se io parto da: $(dv(t))/(dt) = a(t)$ e faccio: $d/(dt) *v(t) = a(t)$, integrando a destra e sinistra e ponendo $v_0 = v(t_0)$ ottengo: $v(t) = v_0 + int_{t_0}^t a(t) dt$ ... tuttavia sul liro mette una soluzione che è: $v(t) = v_0 + int_{t_0}^t a(t') dt'$ . non capisco perchè $t'$ al posto del mio $t$.

[Falco5x]

La velocità e l'accelerazione possono essere considerate funzioni del tempo tra le quali esiste la relazione di derivazione, ovvero: se esiste una funzione velocità del tipo $v=f(t)$ la derivata di questa $f'(t)$ si identifica con la funzione accelerazione $a=g(t)=f'(t)$.
La relazione inversa, tenuto conto delle condizioni iniziali, diventa l'integrale definito $v=f(t)=\int_(t_0)^tg(\tau)d\tau+f(t_0)$. Questa è chiaramente una funzione di t, ma come variabile di integrazione si usa una variabile "di servizio" che ha validità locale e quindi solo interna all'operazione di integrazione. La cosa potrebbe essere vista come un cavillo da matematici, ma sono sicuro che se qui intervenisse un matematico saprebbe sostenerne benissimo le ragioni.
Ad ogni modo in fisica e in ingegneria, abituati a essere più grossolani su queste cose, si scrive quasi sempre $v(t)=v_0+\int_(t_0)^ta(t)dt$, e nessun satellite artificiale o ponte sospeso è mai caduto solo per questo
(ma solo perché prima di noi ci sono stati i matematici a spianarci la strada)