[Cinematica] Tempo per percorre un tratto $dx$

[Magma1]

Salve, oggi ho svolto il seguente esercizio:

In un rally automobilistico un pilota deve percorrere nel tempo minimo un tratto $d=1 km$, partendo e arrivando da fermo. Le caratteristiche dell'auto sono tali che l'accelerazione massima è $a_1=2.5 m/s^2$, mentre il sistema di freni permette una decelerazione massima $a_2=-3.8 m/s^2$. Supponendo che il moto sia rettilineo, calcolare il tempo ottenuto nella prova.

Io l'ho risolto nel seguente modo:

$(1)$ $ v_o(t)=a_1 t_1$

$(2)$ $ x_o=1/2a_1 t_1^2$

$(3)$ $ v_1 (t)= a_1 t_1+a_2 (t_2-t_1) $

$ (4)$ $ x_1(t)=a_1 t_1(t_2-t_1)+1/2a_2(t_2-t_1)^2$

da $(2) + (4)$ trovo che:

$(5)$ $ x(t)=1/2a_1 t_1^2+a_1 t_1(t_2-t_1)+1/2a_2(t_2-t_1)^2$



da $(3)$ ricavo che

$(6)$ $(t_2-t_1)=-(v_ot_1)/a_2$ e lo sostituisco in $(5)$

trovando $(7)$ $t_1=sqrt((2dx)/(a_1(1-a_1/a_2)))$

quindi da $(6)$+ $(7)$

ottengo, infine, che $(8)$ $t_2=sqrt((2dx)/(a_1(1-a_1/a_2)))(1-a_1/a_2)$.

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Voi come avreste proceduto nella risoluzione? Sapreste consigliare un metodo alternativo, magari più sbrigativo e intuitivo?

[Falco5x]

Il tuo ragionamento mi pare giusto.
La cosa più intuitiva che si possa fare è riportare più o meno le stesse cose su un grafico nel piano t-v:

Le formule sono le seguenti:
$$\eqalign{
& d = {d_1} + {d_2} = \frac{{{a_1}{t_1}^2 + {a_2}{t_2}^2}}
{2} \cr
& 2d = {a_1}{t_1}^2 + {a_2}{t_2}^2 \cr
& {a_1}{t_1} = {a_2}{t_2} \cr
& \frac{{{a_1}}}
{{{a_2}}}{t_1} = {t_2} \cr
& 2d = {a_1}{t_1}^2 + \frac{{{a_1}^2}}
{{{a_2}}}{t_1}^2 = {t_1}^2{a_1}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}
{{{a_2}}}} \right) \cr
& {t_1} = \sqrt {\frac{{2d}}
{{{a_1}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}
{{{a_2}}}} \right)}}} \cr
& {t_2} = \frac{{{a_1}}}
{{{a_2}}}{t_1} = \frac{{{a_1}}}
{{{a_2}}}\sqrt {\frac{{2d}}
{{{a_1}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}
{{{a_2}}}} \right)}}} = \sqrt {\frac{{2d}}
{{{a_2}\left( {1 + \frac{{{a_2}}}
{{{a_1}}}} \right)}}} \cr
& T = \sqrt {\frac{{2d}}
{{{a_1}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}
{{{a_2}}}} \right)}}} + \sqrt {\frac{{2d}}
{{{a_2}\left( {1 + \frac{{{a_2}}}
{{{a_1}}}} \right)}}} \cr} $$

Nota: con $a_2$ indico il valore assoluto della decelerazione, quindi senza il segno meno.