Cinematica relativa. Esercizio.
Un punto materiale $P$ si muove di moto rettilineo uniforme lungo l'asse $Y$, con velocità $v_P = v j$. Il moto viene osservato da un sistema di riferimento rotante con origine coincidente con l'origine del sistema fisso e con velocità angolare costante $Omega = Omegak $ (il primo omega al membro di sinistra è in grassetto, l'Omega al membro a destra non è in grassetto, lo dico perchè non so il comando da digitare) . Si determini il vettore posizione, la traiettoria e la velocità del punto $P$ rispetto al sistema di riferimento rotante.
Avrei bisogno per favore di qualche consiglio in merito a come impostare bene l'esercizio.
Il problema è che non sto riuscendo ad immaginare il moto!
SI ha il punto materiale che si muove a velocità costante lungo l'asse delle $Y$, poi si ha un osservatore che si trova in un sistema rotante e l'origine è lo stesso sia per il punto che si muove lungo la $Y$ che per il corpo rotante, dove quest'ultimo ha una velocità angolare $Omega$.
Fin qui va bene!
Ma poi come faccio a calcolare il vettore posizione?
Per il vettore velocità e accelerazione non è un problema, in quanto si può pensare alle derivazioni del vettore posizione, ma come faccio a calcolare il vettore posizione?
Help!
Avrei bisogno per favore di qualche consiglio in merito a come impostare bene l'esercizio.
Il problema è che non sto riuscendo ad immaginare il moto!
SI ha il punto materiale che si muove a velocità costante lungo l'asse delle $Y$, poi si ha un osservatore che si trova in un sistema rotante e l'origine è lo stesso sia per il punto che si muove lungo la $Y$ che per il corpo rotante, dove quest'ultimo ha una velocità angolare $Omega$.
Fin qui va bene!
Ma poi come faccio a calcolare il vettore posizione?
Per il vettore velocità e accelerazione non è un problema, in quanto si può pensare alle derivazioni del vettore posizione, ma come faccio a calcolare il vettore posizione?
Help!
Risposte
Ho pensato che la velocità del punto $P$ si possa calcolare facendo la somma delle velocità lineare e angolare, in termini di calcolo dovrebbe essere come pensare ad un unico sistema e si sommano le due velocità!
Cosa ne dite?
Dite che c'entra qualcosa con questo:
Cosa ne dite?
Dite che c'entra qualcosa con questo:
C'entra e non c'entra.
L'equazione che regge il tutto e'
$v_p\vec{j}=\vec{v_r}+\Omega\vec{k}xx(\xi\vec{tau}+\eta\vec{nu})$
Dove:
$v_p$ e' la velocita nel sistema di riferimento assoluto x-y
$v_r$ e' la velocita' relativa nel sistema rotante $\xi$-$\eta$
$\xi$ ed $\eta$ sono le coordinate di P nel sistema rotante
$\tau$ e $\nu$ sono i versori associati agli assi $\xi$ ed $\eta$
In pratica, in parole, la velocita' assoluta e' pari alla somma della velocita' relativa e della velocita' di trascinamento.
Da qui ricavi $v_r$
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$
Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$
la soluzione di questo sistema di equazioni differenziali (che non mi sembra banale a prima vista) ti fornisce $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e quindi il vettore posizione relativo al sistema di riferimento rotante $OP_r(t)=\dot\xi\vec{tau}+\dot\eta\vec{nu}
$
L'equazione che regge il tutto e'
$v_p\vec{j}=\vec{v_r}+\Omega\vec{k}xx(\xi\vec{tau}+\eta\vec{nu})$
Dove:
$v_p$ e' la velocita nel sistema di riferimento assoluto x-y
$v_r$ e' la velocita' relativa nel sistema rotante $\xi$-$\eta$
$\xi$ ed $\eta$ sono le coordinate di P nel sistema rotante
$\tau$ e $\nu$ sono i versori associati agli assi $\xi$ ed $\eta$
In pratica, in parole, la velocita' assoluta e' pari alla somma della velocita' relativa e della velocita' di trascinamento.
Da qui ricavi $v_r$
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$
Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$
la soluzione di questo sistema di equazioni differenziali (che non mi sembra banale a prima vista) ti fornisce $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e quindi il vettore posizione relativo al sistema di riferimento rotante $OP_r(t)=\dot\xi\vec{tau}+\dot\eta\vec{nu}
$
"Antonio_80":[ot]Scusa se imbratto il tuo post andando fuori dal seminato, ma volevo chiederti che testo è: sembra ben fatto, con tutte le sue dimostrazioncine... Grazie in anticipo!!![/ot]
Dite che c'entra qualcosa con questo
"professorkappa":
Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$
la soluzione di questo sistema di equazioni differenziali (che non mi sembra banale a prima vista) ti fornisce $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e quindi il vettore posizione relativo al sistema di riferimento rotante $OP_r(t)=\dot\xi\vec{tau}+\dot\eta\vec{nu}
$
Comprendo chiaramente tutto, ma sto trovando difficolta a comprendere ciò che è scritto nel quote.
Quando dici che moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$, che passaggi fai per arrivare a queste?
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$
Il problema è che non sto capendo i passaggi da fare e poi non capisco perché indichi quei $xi$ e $eta$ con il puntino sopra che sta a significare la derivata prima? Poi faccio fatica a comprendere la simbologia che usi, io preferisco chiamare i versori $e_x;e_y; e_z$, possiamo utilizzare questi versori? Se io utilizzo questi versori riesco a dire quello che segue, solo che se seguo la simbologia che hai utilizzato, faccio confusione.
Help!
Dico qualcosa che mi è venuto in mente, (utilizzo i versori $e_x;e_y; e_z$), ma è forse molto vago e non si avvicina alla risoluzione del problema:
La velocità relativa al punto $P$ può essere indicata come $v^(r) = v^(r) e_y$.
Il vettore velocità angolare $Omega = Omega k$ e il vettore posizione, espresso nella terna mobile, è $(P - O) = y e_y$.
Rispetto ad un riferimento assoluto, (sistema $(O; X,Y,Z)$), il punto si muove con velocità:
$v = v^(r) + Omega xx (P-O) = v^(r)e_y + Omegak xx ye_y = v^(r)e_y - yOmega e_x$
La velocità di trascinamento $Omega xx (P-O)$ è perpendicolare alla velocità relativa e il suo modulo cresce linearmente con la distanza $y$ del centro del sistema rotante. Il modulo della velocità $v$ è:
$v = sqrt((v^(r))^2 + y^2Omega^2)$
Non so se ho detto cose giuste!
Come faccio a calcolare il vettore posizione del punto $P$
No, stai sbagliando quasi tutto.
Punto per punto:
Comprendo chiaramente tutto, ma sto trovando difficolta a comprendere ciò che è scritto nel quote.
Quando dici che moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$, che passaggi fai per arrivare a queste?
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$
[/quote]
semplicemente moltiplico entrambi i membri per $\vec{tau}$ e $\vec{nu}$
Non ci sono passaggi. Moltiplicando per $\vec{tau}$ ottieni a sinistra, la componente della velocita' relativa $\dot\xi$. il puntino e' un modo piu' veloce di scrivere ${d\xi}/{dt}$.
No. Nella terna mobile, non puoi usare y. Quella e' la coordinata della terna fissa. Io ho usato $\eta$, ma va bene anche "giovanni".
Inoltre, la nella terna mobile, nessuno ti dice che la velocita' e parallela solo a $e_y$.
Quindi la velocita relativa del punto P nel sistema mobile la devi indicare come somma della variazione delle coordinate:
$\vec{v_r}={{d\xi}/{dt}\vec{e_1}+{d\eta}/{dt}\vec{e_2}$
Il vettore velocita' angolare non si riferisce al punto P, ma alla velocita di rotazione della terna mobile:
$\vec{\Omega}$=\Omega\vec{k}=\Omega\vec{e_3}, poiche il vettore $\vec{k}$ della terna fissa coincide con il vettore $\vec{e_3}$ della terna mobile.
Ovviamente qui hai sbagliato le conclusioni perche hai sbagliato le premesse: con le premesse corrette, dovresti scrivere
"Rispetto ad un riferimento assoluto, (sistema $(O; X,Y,Z)$), il punto si muove con velocità $\vec{v_p}=v_p\vec{j}$: Qundi possiamo scrivere
$v_p\vec{j} = v_r + \vec{\Omega} xx (P-O) = \dot\xi\vec{e_1} + \dot\eta\vec{e_2} + Omegak xx (\xi\vec{e_1}+\eta\vec{e_2})$
Nella maniera piu' assoluta, no. La velocita' relativa NON e' perpendicolare alla velocità relativa. Puo' darsi che lo sia in qualche istante, ma in generale no. La velocita' relativa e' perpendicolare al vettore posizione relativo $\xi\vec{e_1}+\eta\vec{e_2}$
Te l'ho detto, devi integrare, le due equazioni che trovi seguendo il ragionamento logico.
In quel modo ottieni $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e il vettore posizione e' dato da $\xi(t)\vec{e_1}+\eta(t)\vec{e_2}$, come gia' scritto sopra
Punto per punto:
"Antonio_80":
[quote="professorkappa"]
Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$
la soluzione di questo sistema di equazioni differenziali (che non mi sembra banale a prima vista) ti fornisce $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e quindi il vettore posizione relativo al sistema di riferimento rotante $OP_r(t)=\dot\xi\vec{tau}+\dot\eta\vec{nu}
$
Comprendo chiaramente tutto, ma sto trovando difficolta a comprendere ciò che è scritto nel quote.
Quando dici che moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$, che passaggi fai per arrivare a queste?
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$
[/quote]
semplicemente moltiplico entrambi i membri per $\vec{tau}$ e $\vec{nu}$
"Antonio_80":
Il problema è che non sto capendo i passaggi da fare e poi non capisco perché indichi quei $xi$ e $eta$ con il puntino sopra che sta a significare la derivata prima? Poi faccio fatica a comprendere la simbologia che usi, io preferisco chiamare i versori $e_x;e_y; e_z$, possiamo utilizzare questi versori? Se io utilizzo questi versori riesco a dire quello che segue, solo che se seguo la simbologia che hai utilizzato, faccio confusione.
Non ci sono passaggi. Moltiplicando per $\vec{tau}$ ottieni a sinistra, la componente della velocita' relativa $\dot\xi$. il puntino e' un modo piu' veloce di scrivere ${d\xi}/{dt}$.
"Antonio_80":
La velocità relativa al punto $P$ può essere indicata come $v^(r) = v^(r) e_y$.
Il vettore velocità angolare $Omega = Omega k$ e il vettore posizione, espresso nella terna mobile, è $(P - O) = y e_y$.
No. Nella terna mobile, non puoi usare y. Quella e' la coordinata della terna fissa. Io ho usato $\eta$, ma va bene anche "giovanni".
Inoltre, la nella terna mobile, nessuno ti dice che la velocita' e parallela solo a $e_y$.
Quindi la velocita relativa del punto P nel sistema mobile la devi indicare come somma della variazione delle coordinate:
$\vec{v_r}={{d\xi}/{dt}\vec{e_1}+{d\eta}/{dt}\vec{e_2}$
Il vettore velocita' angolare non si riferisce al punto P, ma alla velocita di rotazione della terna mobile:
$\vec{\Omega}$=\Omega\vec{k}=\Omega\vec{e_3}, poiche il vettore $\vec{k}$ della terna fissa coincide con il vettore $\vec{e_3}$ della terna mobile.
"Antonio_80":
Rispetto ad un riferimento assoluto, (sistema $(O; X,Y,Z)$), il punto si muove con velocità:
$v = v^(r) + Omega xx (P-O) = v^(r)e_y + Omegak xx ye_y = v^(r)e_y - yOmega e_x$
Ovviamente qui hai sbagliato le conclusioni perche hai sbagliato le premesse: con le premesse corrette, dovresti scrivere
"Rispetto ad un riferimento assoluto, (sistema $(O; X,Y,Z)$), il punto si muove con velocità $\vec{v_p}=v_p\vec{j}$: Qundi possiamo scrivere
$v_p\vec{j} = v_r + \vec{\Omega} xx (P-O) = \dot\xi\vec{e_1} + \dot\eta\vec{e_2} + Omegak xx (\xi\vec{e_1}+\eta\vec{e_2})$
"Antonio_80":
La velocità di trascinamento $Omega xx (P-O)$ è perpendicolare alla velocità relativa
Nella maniera piu' assoluta, no. La velocita' relativa NON e' perpendicolare alla velocità relativa. Puo' darsi che lo sia in qualche istante, ma in generale no. La velocita' relativa e' perpendicolare al vettore posizione relativo $\xi\vec{e_1}+\eta\vec{e_2}$
"Antonio_80":
Come faccio a calcolare il vettore posizione del punto $P$
Te l'ho detto, devi integrare, le due equazioni che trovi seguendo il ragionamento logico.
In quel modo ottieni $\xi(t)$ e $\eta(t)$ e il vettore posizione e' dato da $\xi(t)\vec{e_1}+\eta(t)\vec{e_2}$, come gia' scritto sopra
"professorkappa":
$v_p\vec{j}=\vec{v_r}+\Omega\vec{k}xx(\xi\vec{tau}+\eta\vec{nu})$
Scusami, ma dal prodotto scalare che fai tu:
$k xx tau = xi$
$k xx nu = tau$
Se vogliamo scrivere un prodotto con uno standard conosciuto $k$ e $i$ e $j$, tu cosa indichi con $tau$ e $nu$ ed $xi$ ?
Potresti per favore usare $k$ e $i$ e $j$ ?
Allora non hai letto bene.
i, j e k li ho riservati per il sistema di riferimento fisso x-y.
$\tau$, $\nu$ e $\k$ li ho riservati per il sistema di riferimento mobile di assi $\xi$ e $\eta$.
Non ci sono standard conosciuti, in qualche modo bisogna chiamarli, le lettere sono 26, eh?
A scanso di equivoci:
$AxxB$ e' un prodotto scalare
$A*B$ e' un prodotto vettoriale.
Quello che sopra chaimi "scalare" e' in realta' un vettoriale
Piu' chiaro, ora?
i, j e k li ho riservati per il sistema di riferimento fisso x-y.
$\tau$, $\nu$ e $\k$ li ho riservati per il sistema di riferimento mobile di assi $\xi$ e $\eta$.
Non ci sono standard conosciuti, in qualche modo bisogna chiamarli, le lettere sono 26, eh?
A scanso di equivoci:
$AxxB$ e' un prodotto scalare
$A*B$ e' un prodotto vettoriale.
Quello che sopra chaimi "scalare" e' in realta' un vettoriale
Piu' chiaro, ora?
$AxxB$ e' un prodotto scalare
$A*B$ e' un prodotto vettoriale.
Ma come?
Se il prodotto scalare tutti i miei testi lo descrivono come $A*B$ mentre il prodotto vettoriale lo descrivono in questo modo
$A xx B$!
Forse ti starò facendo impallare?
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare
Ecco il prodotto vettoriale:
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_vettoriale
So cosa sono prodotto scalare e vettoriale, solo che non riesco a ricostruire i tuoi calcoli fatti in quanto segue:
"professorkappa":
Da qui ricavi $v_r$
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$
Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$ (1)
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$ (2)
Vediamo, voglio arrivare alla (1).
Partendo da questa:
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$
Penso che hai moltiplicato per $tau$ e allora avresti dovuto fare così:
$tau v_r = tau * v_p j - tau*xiOmega nu + tau*etaOmegatau$
E' questo quello che hai fatto?
Ma poi scrivi la seguente:
$tau v_r =v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
E' questo che non sto capendo! Come hai moltiplicato?
Compare un $sinOmega t$, da dove viene fuori quel $sen$ ? E da dove viene fuori quel $t$ ?
Ecco cosa non sto capendo adesso!
Errore mio, ero sovrappesniero
$AxxB$ e' vettoriale
$A*B$ e' scalare
$t*j$ e' il prodotto scalare tra i due versori. Se il riferimento mobile e' ruotato di $\theta$ rispetto all'asse x $\vec{t}*\vec{j}=1*1*cos(90-\theta)=sin\theta$
$AxxB$ e' vettoriale
$A*B$ e' scalare
$t*j$ e' il prodotto scalare tra i due versori. Se il riferimento mobile e' ruotato di $\theta$ rispetto all'asse x $\vec{t}*\vec{j}=1*1*cos(90-\theta)=sin\theta$
Avevo capito che era un errore di distrazione, sei troppo bravo e non era da te un errore del genere 
Adesso non riesco a ricostruire i tuoi calcoli fatti in quanto segue:
Vediamo, voglio arrivare alla (1).
Partendo da questa:
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$
Penso che hai moltiplicato per $tau$ e allora avresti dovuto fare così:
$tau v_r = tau xx v_p j - tau xx xiOmega nu + tau xx etaOmegatau$
E' questo quello che hai fatto?
Ma poi scrivi la seguente:
$tau v_r =v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
E' questo che non sto capendo! Come hai moltiplicato?
Compare un $sinOmega t$, e il $sen$ hai già detto da dove viene, si tratta di una rotazione, bene, ma da dove viene fuori quel $t$ ? E come hai ottenuto il secondo addendo $tau v_r =.........+\eta\Omega$
Ecco cosa non sto capendo adesso!
Adesso non riesco a ricostruire i tuoi calcoli fatti in quanto segue:
"professorkappa":
Da qui ricavi $v_r$
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$
Moltiplichi scalarmente per $vec{tau}$ e $vec{nu}$ e ottieni 2 equazioni:
$\dot\xi=v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$ (1)
$\dot\eta=v_p*cos\Omegat-\xi\Omega$ (2)
Vediamo, voglio arrivare alla (1).
Partendo da questa:
$v_r=v_p\vec{j}-\xi\Omega\vec{nu}+\eta\Omega\vec{tau}$
Penso che hai moltiplicato per $tau$ e allora avresti dovuto fare così:
$tau v_r = tau xx v_p j - tau xx xiOmega nu + tau xx etaOmegatau$
E' questo quello che hai fatto?
Ma poi scrivi la seguente:
$tau v_r =v_p*sin\Omegat+\eta\Omega$
E' questo che non sto capendo! Come hai moltiplicato?
Compare un $sinOmega t$, e il $sen$ hai già detto da dove viene, si tratta di una rotazione, bene, ma da dove viene fuori quel $t$ ? E come hai ottenuto il secondo addendo $tau v_r =.........+\eta\Omega$
Ecco cosa non sto capendo adesso!
"Antonio_80":
Penso che hai moltiplicato per $tau$ e allora avresti dovuto fare così:
$tau v_r = tau xx v_p j - tau xx xiOmega nu + tau xx etaOmegatau$
Infatti e' proprio cosi.
Dopo che moltiplichi basta che noti che
$\vec{tau}* v_r$ E' la componente lungo l'asse $\xi$ della velocita' relativa. Quindi vale $\dot\xi$
$\vec{tau}*v_p\vec{j}$ (attenzione, e' un prodotto scalare, non vettoriale come scrivi tu). Questa e' componente della velocita' assoluta lungo l'asse delle $\xi$. Siccome sai l'angolo compreso tra $\vec{tau}$ e $\vec{j}$ e' $(90-\theta)$, poiche assumiamo che il sistema ruota di $\theta$ contato a partire dall'asse x, allora $\vec{tau}*\vec{j}=cos(90-\theta)=sin(\theta)$. Ma l'angolo $\theta$ non e' costante, perche il sistema di riferimento mobile ruota di velocita' angolare $\Omega$ e quindi vale che $\theta=\Omega*t$ - dove t e' il tempo. Quindi $\vec{tau}*\vec{j}=sin\Omega*t$
$tau xx xiOmega nu$. Di nuovo qui hai moltiplicato vettorialmente. E' una moltiplicazione scalare $\vec{tau}*xiOmega \vec{nu}$. i vettori $\tau$ e $\nu$ sono ortogonali tra di loro, quindi questo prodotto scalare e' nullo, si toglie di mezzo.
$tau xx etaOmegatau$. Ancora hai sbagliato, devi moltiplicare scalarmente. $tau* etaOmegatau$.
Ma $\vec{tau}*\vec{tau}=1$. Quindi questo termine diventa $etaOmega$
Fai lo stesso moltplicando scalarmente per $\mu$ e ottieni le 2 equazioni.
Adesso, sai risolvere i sistemi di equazioni differenziali? Ci sei arrivato. Perche senza quella tecnica, non puoi andare avanti.
"professorkappa":
Adesso, sai risolvere i sistemi di equazioni differenziali? Ci sei arrivato. Perche senza quella tecnica, non puoi andare avanti.
Si, in Analisi 2 ho risolto equazioni differenziali, ho un po' di rugine in testa, ok, puoi dirmi quale metodo si deve utilizzare in questo caso? Ci sono vari metodi risolutivi, puoi accennarmi per favore quale si deve utilizzare in questo caso?
Ti ringrazio anticipatamente!
Moltiplichi la (1) per $\Omega$
Derivi la (2)
Sommi membro a membro e ti viene un eq. differ. in $\ddot\eta$, $\eta$ e $sin\Omegat$.
la risoluzione ti da $\eta(t)$. Per sostituzione, trovi poi $\xi(t)$.
Pero' non so se l'eq. differenziale che ottieni e' risolvibile analiticamente, bisognerebbe vederla scritta, a mente non ci riesco
Derivi la (2)
Sommi membro a membro e ti viene un eq. differ. in $\ddot\eta$, $\eta$ e $sin\Omegat$.
la risoluzione ti da $\eta(t)$. Per sostituzione, trovi poi $\xi(t)$.
Pero' non so se l'eq. differenziale che ottieni e' risolvibile analiticamente, bisognerebbe vederla scritta, a mente non ci riesco
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