Cinematica - Moto (bidimensionale) del proiettile
Buonasera.
Avrei gentilmente bisogno di un consulto sul seguente problema di cinematica. Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Il puntamento in artiglieria. Sparando un colpo lungo e uno corto rispetto al bersaglio, un artigliere può "azzerare" in modo tale che il terzo colpo cada direttamente sul bersaglio. Supponiamo che quando l'artigliere inclina il cannone di un angolo $theta_1$ rispetto all'orizzonte il colpo cade a una distanza $DeltaR_1$ prima del bersaglio e che, quando l'angolo è $theta_2$, il colpo cada a $DeltaR_2$ oltre il bersaglio.
Si dimostri che l'angolo $theta$ che fa sì che il terzo colpo cada sul bersaglio è dato da $theta=1/2arcsin((DeltaR_1sin(2theta_2)+DeltaR_2sin(2theta_1))/(DeltaR_1+DeltaR_2))$
Risoluzione. Anzitutto prima (tacita
) assunzione che ho fatto: suppongo il modulo della velocità iniziale costante. Poi ho messo l'origine degli assi dove c'è il nostro artigliere e ho trovato, usando le arci-note formule per la gittata, le seguenti equazioni: ($R$ indica la gittata buona che permette di colpire il bersaglio)
$R=(v_0^2sin(2theta_1))/(g) + DeltaR_1$
$R=(v_0^2sin(2theta_2))/(g) - DeltaR_2$
Adesso se trovo $R$ trovo anche il $theta$ buono, perchè $R=(v_0^2sin(2theta))/(g)$... ho provato a pacioccare
le due equazioni di sopra per ricondurmi alla forma finale del problema ma non riesco a cavare fuori nulla di buono.
Perdonate se il quesito è banale, ma è un po' che ci sto su e mi piacerebbe arrivare a capire dove sbaglio.
Vi ringrazio in anticipo.
Avrei gentilmente bisogno di un consulto sul seguente problema di cinematica. Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Il puntamento in artiglieria. Sparando un colpo lungo e uno corto rispetto al bersaglio, un artigliere può "azzerare" in modo tale che il terzo colpo cada direttamente sul bersaglio. Supponiamo che quando l'artigliere inclina il cannone di un angolo $theta_1$ rispetto all'orizzonte il colpo cade a una distanza $DeltaR_1$ prima del bersaglio e che, quando l'angolo è $theta_2$, il colpo cada a $DeltaR_2$ oltre il bersaglio.
Si dimostri che l'angolo $theta$ che fa sì che il terzo colpo cada sul bersaglio è dato da $theta=1/2arcsin((DeltaR_1sin(2theta_2)+DeltaR_2sin(2theta_1))/(DeltaR_1+DeltaR_2))$
Risoluzione. Anzitutto prima (tacita
) assunzione che ho fatto: suppongo il modulo della velocità iniziale costante. Poi ho messo l'origine degli assi dove c'è il nostro artigliere e ho trovato, usando le arci-note formule per la gittata, le seguenti equazioni: ($R$ indica la gittata buona che permette di colpire il bersaglio) $R=(v_0^2sin(2theta_1))/(g) + DeltaR_1$
$R=(v_0^2sin(2theta_2))/(g) - DeltaR_2$
Adesso se trovo $R$ trovo anche il $theta$ buono, perchè $R=(v_0^2sin(2theta))/(g)$... ho provato a pacioccare
le due equazioni di sopra per ricondurmi alla forma finale del problema ma non riesco a cavare fuori nulla di buono. Perdonate se il quesito è banale, ma è un po' che ci sto su e mi piacerebbe arrivare a capire dove sbaglio.
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao
Questo è un bel problema... per quanto semplice decisamente non banale (confesso che avere la soluzione mi ha aiutato non poco nel capire come risolverlo).
I passaggi che ti servono sono questi:
[tex]R - \Delta R_1 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}[/tex]
[tex]R + \Delta R_2 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}[/tex]
il trucco adesso è moltiplicare per i [tex]\Delta R[/tex]
[tex]R \Delta R_2 - \Delta R_1\Delta R_2 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}\Delta R_2[/tex]
[tex]R \Delta R_1 + \Delta R_2\Delta R_1 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}\Delta R_1[/tex]
e sommare
[tex]R ( \Delta R_1 + \Delta R_2 ) = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}\Delta R_1 + \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}\Delta R_2[/tex]
a questo punto
[tex]\frac{v_0^2 sin(2\theta)}{g} ( \Delta R_1 + \Delta R_2 ) = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}\Delta R_1 + \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}\Delta R_2[/tex]
da cui
[tex]sin(2\theta) ( \Delta R_1 + \Delta R_2 ) = sin(2\theta_2)\Delta R_1 + sin(2\theta_1)\Delta R_2[/tex]
che diventa in pochi passaggi la soluzione che hai dato
Questo è un bel problema... per quanto semplice decisamente non banale (confesso che avere la soluzione mi ha aiutato non poco nel capire come risolverlo).
I passaggi che ti servono sono questi:
[tex]R - \Delta R_1 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}[/tex]
[tex]R + \Delta R_2 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}[/tex]
il trucco adesso è moltiplicare per i [tex]\Delta R[/tex]
[tex]R \Delta R_2 - \Delta R_1\Delta R_2 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}\Delta R_2[/tex]
[tex]R \Delta R_1 + \Delta R_2\Delta R_1 = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}\Delta R_1[/tex]
e sommare
[tex]R ( \Delta R_1 + \Delta R_2 ) = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}\Delta R_1 + \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}\Delta R_2[/tex]
a questo punto
[tex]\frac{v_0^2 sin(2\theta)}{g} ( \Delta R_1 + \Delta R_2 ) = \frac{v_0^2 sin(2\theta_2)}{g}\Delta R_1 + \frac{v_0^2 sin(2\theta_1)}{g}\Delta R_2[/tex]
da cui
[tex]sin(2\theta) ( \Delta R_1 + \Delta R_2 ) = sin(2\theta_2)\Delta R_1 + sin(2\theta_1)\Delta R_2[/tex]
che diventa in pochi passaggi la soluzione che hai dato
Wow!
Ti ringrazio molto per la soluzione. Ora mi è chiaro come ci si arriva.
Grazie ancora per il tuo aiuto.
Ti ringrazio molto per la soluzione. Ora mi è chiaro come ci si arriva.
Grazie ancora per il tuo aiuto.
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