Cinematica ed automobili che si scontrano

[afullo]

Sto ripassando un po' fisica per la prova scritta del TFA. Vorrei chiedervi solo una breve conferma di quello che ho svolto.

Scusate se non scrivo in LaTeX, ma purtroppo non ho tanto tempo.

Un'automobile (A) percorre una strada piana e rettilinea alla velocità costante di 72 km/h. La strada termina con una rotatoria di raggio R = 160/π m che, nello stesso momento, è percorsa da un'altra automobile (B) alla velocità costante di 54 km/h.
Il guidatore dell'auto A decide di arrivare alla rotatoria prima di B e, giunto a 100 m dall'imbocco della rotatoria stessa, accelera con accelerazione costante a_A. Anche il guidatore di B vuole passare prima che A si immetta nella rotatoria e, giunto ad un quarto di giro dall'imbocco della strada percorsa da A, accelera in modo da aumentare costantemente la sua velocità di 2,5 m/s al secondo.
Purtroppo le valutazioni sono sbagliate e le due auto si scontrano. Calcolare:
1) l'accelerazione a_A;
2) le velocità con cui le due auto sono giunte al punto di scontro;
3) la velocità angolare, l'accelerazione angolare, l'accelerazione centripeta e l'accelerazione totale di B nel punto di scontro.

http://tinypic.com/view.php?pic=yz81j&s=6

Soluzione:

Per ognuna delle due automobili, il tempo è dato dallo spazio fratto la velocità media:

S_A / V_mA = S_B / V_mB = t

Se la velocità iniziale è V_i, la velocità media è data da V_m = V_i + at/2. Applicando e sostituendo i valori, le due uguaglianze diventano:

100 m / (20 m/s + a_A * t / 2) = 80 m / (15 m/s + 2.5 m/s² * t / 2) = t

Svolgendo la seconda eguaglianza possiamo trovare il tempo:

80 m = 15 m/s * t + 1.25 m/s² * t²
80 = 15 t/s + 1.25 (t/s)²
5 z² + 60 z – 320 = 0 (ponendo t/s = z e togliendo i decimali)
z = -16 (non accettabile) oppure z = 4 (accettabile), da cui t = 4 s.

A questo punto troviamo l'accelerazione a_A:

100 m / (20 m/s + a_A * 2 s) = 80 m / (15 m/s + 2.5 m/s² * 2 s)
100 m * (15 m/s + 2.5 m/s² * 2 s) = 80 m * (20 m/s + a_A * 2 s)
5 * (15 m/s + 2.5 m/s² * 2 s) = 4* (20 m/s + a_A * 2 s)
75 m/s + 25 m/s = 80 m/s + 8 * a_A * s
a_A = 2.5 m/s²

Le velocità con cui le due auto si scontrano sono:

V_fA = V_iA + at = 20 m/s + 2.5 m/s² * 4 s = 30 m/s
V_fB = V_iB + at = 15 m/s + 2.5 m/s² * 4 s = 25 m/s

Le altre quantità fisiche di B richieste valgono:

ω_B = V_fB / r = 25 m/s / (160/ π) m = 5π/32 rad/s
α_B = a_B / r = 2.5 m/s²/ (160/ π) m = π/64 rad/s²
a_cB = (V_fB)² / r = 625 m²/s²/ (160/ π) m = 125π/32 m/s²
a_tot = \sqrt{a_cB + a_B} = … ( non ho svolto il calcolo esplicito, ma è un'operazione...)

[chiaraotta1]

Trovo anch'io i tuoi stessi risultati, a parte l'ultimo: mi sembra che non dovrebbe essere $a_text(tot) = sqrt(a_(cB) + a_B) $, ma $a_text(tot) = sqrt(a_(cB)^2 + a_B^2)~=12.5 \m*s^-2$.

[afullo]

"chiaraotta":Trovo anch'io i tuoi stessi risultati, a parte l'ultimo: mi sembra che non dovrebbe essere $a_text(tot) = sqrt(a_(cB) + a_B) $, ma $a_text(tot) = sqrt(a_(cB)^2 + a_B^2)~=12.5 \m*s^-2$.

Sì, scusa, ho sbagliato a scrivere qui, sul foglio di carta l'avevo fatto sommando i quadrati.

Grazie per il confronto.