Cinematica del punto
un punto materiale si muove nello spazio Oxyz con accelerazione $a=2^(1/2)e^(t)i+2*3^(1/2)j-2sentk$.
sapendo che $P_0=(2^(1/2),-3^(1/2),0)$ ed $v_0=(2^(1/2),0,2)$ determinare:
l'equazioni finite del moto.
l'equazioni cartesiana della traiettoria
la rappresentazione intrinseca di v ed a
la posizione del centro C della circonferenza osculatrice alla traiettoria del punto materiale nellla posizione $P_0$.
non riesco ad applicare la teoria studiata a quast'esercizio...;( è il primo esercizio di cinematica che faccio... suggerimenti?
sapendo che $P_0=(2^(1/2),-3^(1/2),0)$ ed $v_0=(2^(1/2),0,2)$ determinare:
l'equazioni finite del moto.
l'equazioni cartesiana della traiettoria
la rappresentazione intrinseca di v ed a
la posizione del centro C della circonferenza osculatrice alla traiettoria del punto materiale nellla posizione $P_0$.
non riesco ad applicare la teoria studiata a quast'esercizio...;( è il primo esercizio di cinematica che faccio... suggerimenti?
Risposte
Devi integrare l'accelerazione per trovare la velocità, e poi devi integrare la velocità per trovare lo spazio in funzione del tempo. Le condizioni iniziali ( posizione e velocità) sono date.
Otterrai delle equazioni parametriche ( di parametro $t$, il tempo) sia per la velocità che per lo spazio.
Per trovare l'equazione cartesiana della traiettoria, devi eliminare il parametro $t$ dalle tre componenti $x(t)$ , $y(t)$ , $z(t)$, esprimendo per esempio la $z$ come funzione di $x$ e $y$.
La rappresentazione intrinseca di $vecv$ e $veca$ non è altro che la scrittura di tali vettori in funzione dei versori della terna intrinseca ( tangente, normale principale, binormale). Qui naturalmente devi fare un po' di attenzione, e ricordare bene ciò che dice la teoria....
E infine, il centro del cerchio osculatore in $P_0$ è il centro di curvatura della traiettoria in quel punto, che giace in un certo piano... il raggio di curvatura ha a che fare con l'accelerazione centripeta in quel punto.
Ho suggerito come hai chiesto. Ma tu devi darti a fare, ora.
Otterrai delle equazioni parametriche ( di parametro $t$, il tempo) sia per la velocità che per lo spazio.
Per trovare l'equazione cartesiana della traiettoria, devi eliminare il parametro $t$ dalle tre componenti $x(t)$ , $y(t)$ , $z(t)$, esprimendo per esempio la $z$ come funzione di $x$ e $y$.
La rappresentazione intrinseca di $vecv$ e $veca$ non è altro che la scrittura di tali vettori in funzione dei versori della terna intrinseca ( tangente, normale principale, binormale). Qui naturalmente devi fare un po' di attenzione, e ricordare bene ciò che dice la teoria....
E infine, il centro del cerchio osculatore in $P_0$ è il centro di curvatura della traiettoria in quel punto, che giace in un certo piano... il raggio di curvatura ha a che fare con l'accelerazione centripeta in quel punto.
Ho suggerito come hai chiesto. Ma tu devi darti a fare, ora.
si per la prima parte avevo pensato pure io di effettuare quelle integrazioni...
ora vedo di svolgere la seconda parte, e postero' i miei risultati
ora vedo di svolgere la seconda parte, e postero' i miei risultati
ottengo
$s=sqrt(2)e^(t)i+sqrt(3)t^(2)j+2sentk$
$v=sqrt(2)e^(t)i+2*sqrt(3)tj+2costk$
$x(t)=sqrt(2)e^(t)$
$y(t)=sqrt(3)t^(2)$
$z(t)=2sent$
non riesco pero' ad eliminare t
dalla prima $t=lg(x/sqrt(2))$
dalla terza $t=arcsen(z/2)$
dalla seconda $t=+-sqrt(y/sqrt(3))$
la rappresentazione intrinseca di v è $v=vT$ di a è $a=aT+(v^(2)/p )*N$ dove N versore normale T versore tangente (alla
traiettoria) p è il raggio di curvatura ed è uguale al raggio del cerchio osculatore.
$s=sqrt(2)e^(t)i+sqrt(3)t^(2)j+2sentk$
$v=sqrt(2)e^(t)i+2*sqrt(3)tj+2costk$
$x(t)=sqrt(2)e^(t)$
$y(t)=sqrt(3)t^(2)$
$z(t)=2sent$
non riesco pero' ad eliminare t
dalla prima $t=lg(x/sqrt(2))$
dalla terza $t=arcsen(z/2)$
dalla seconda $t=+-sqrt(y/sqrt(3))$
la rappresentazione intrinseca di v è $v=vT$ di a è $a=aT+(v^(2)/p )*N$ dove N versore normale T versore tangente (alla
traiettoria) p è il raggio di curvatura ed è uguale al raggio del cerchio osculatore.
"marixg":
ottengo
$s=sqrt(2)e^(t)i+sqrt(3)t^(2)j+2sentk$
$v=sqrt(2)e^(t)i+2*sqrt(3)tj+2costk$
$x(t)=sqrt(2)e^(t)$
$y(t)=sqrt(3)t^(2)$
$z(t)=2sent$
Le espressioni fin qui trovate sono giuste.
non riesco pero' ad eliminare t
dalla prima $t=lg(x/sqrt(2))$
dalla terza $t=arcsen(z/2)$
dalla seconda $t=+-sqrt(y/sqrt(3))$
sì, non è semplice l'eliminazione di $t$ ...ci penserò un po'....ma sei sicuro dell'espressione iniziale?
la rappresentazione intrinseca di v è $v=vT$ di a è $a=aT+(v^(2)/p )*N$ dove N versore normale T versore tangente (alla traiettoria) p è il raggio di curvatura ed è uguale al raggio del cerchio osculatore.
Si, ok , ma si tratta di calcolare queste quantità a partire dai dati iniziali.
si, i dati iniziali sono copiati correttamente-.. aspetto tuoi suggerimenti per andare avanti:(
Mi sono accorto di un errore.
Quando si calcola un integrale indefinito, non bisogna dimenticarsi della costante di integrazione, il cui valore è determinato dalle condizioni iniziali. Nel tuo caso, ci sono tre costanti di integrazione per le tre componenti della velocità, che in base alle condizioni iniziali date ( $v_0$ che deve corrispondere a $t=0$ ) sono tutte nulle.
Ci sono poi tre costanti di integrazione per le coordinate, di cui quella per la $y$ è diversa da zero. Deve essere alla fine : $y= sqrt3(t^2-1)$ , altrimenti non si trova con $y_0$ . Tutte le altre vanno bene. Controlla.
Si ha dunque, se non ho fatto errori (ometto la freccetta di vettore sui versori $i,j,k$ per alleggerire la scrittura) :
$vecv = sqrt(2)*e^t*i + 2sqrt(3)t*j + 2cost * k $ --------(1)
da cui si ricava il modulo della velocità : $ v = sqrt(2e^(2t) + 12t^2 + 4cos^2t)$ --------(2)
Lo spazio è dato da : $vec s = sqrt(2)e^t *i + sqrt(3)(t^2-1)*j + 2 sent* k $ ------------(3)
Il versore tangente alla traiettoria è dato da : $vecT = (vecv)/v $-----(4)
che si può scrivere in componenti cartesiane a partire da (1) e (2).
Naturalmente : $ vecv = v*vecT$.
Poichè : $veca = d/(dt)(v*vecT) = (dv)/(dt)*vecT + v (dvecT)/(dt) = (dv)/(dt)*vecT + v^2/r*vecN$
si può anche dire che l'accelerazione centripeta è data da : $v^2/r*vecN = veca - (dv)/(dt)*vecT$ --------(5)
Nella (5), conosci $veca$ perchè è un dato del problema. Ti calcoli il modulo dell'accelerazione tangenziale $(dv)/(dt)$ derivando la (2) e moltiplichi per $vecT$, che hai ricavato nella (4).
Per cui la (5) ti consente di ricavare l'accelerazione centripeta $v^2/r*vecN$, sempre in funzione dei tre versori $i,j,k$ ( espressione cartesiana, come differenza di due vettori. Ma se preferisci il modulo dell'accelerazione centripeta lo puoi calcolare anche col teorema di Pitagora.....).
Ne calcoli il modulo $a_c$, e scrivi : $a_c= v^2/r$ , dove $v^2$ è dato dalla (2).
Di qui, ti ricavi l'espressione per il raggio di curvatura.
Naturalmente io ho fatto il caso generale, non ho calcolato le quantità coinvolte in un solo dato punto.
Non sono riuscito ad eliminare il tempo $t$ per ottenere l'eq cartesiana della traiettoria, ma non credo si possa fare facilmente.
Quando si calcola un integrale indefinito, non bisogna dimenticarsi della costante di integrazione, il cui valore è determinato dalle condizioni iniziali. Nel tuo caso, ci sono tre costanti di integrazione per le tre componenti della velocità, che in base alle condizioni iniziali date ( $v_0$ che deve corrispondere a $t=0$ ) sono tutte nulle.
Ci sono poi tre costanti di integrazione per le coordinate, di cui quella per la $y$ è diversa da zero. Deve essere alla fine : $y= sqrt3(t^2-1)$ , altrimenti non si trova con $y_0$ . Tutte le altre vanno bene. Controlla.
Si ha dunque, se non ho fatto errori (ometto la freccetta di vettore sui versori $i,j,k$ per alleggerire la scrittura) :
$vecv = sqrt(2)*e^t*i + 2sqrt(3)t*j + 2cost * k $ --------(1)
da cui si ricava il modulo della velocità : $ v = sqrt(2e^(2t) + 12t^2 + 4cos^2t)$ --------(2)
Lo spazio è dato da : $vec s = sqrt(2)e^t *i + sqrt(3)(t^2-1)*j + 2 sent* k $ ------------(3)
Il versore tangente alla traiettoria è dato da : $vecT = (vecv)/v $-----(4)
che si può scrivere in componenti cartesiane a partire da (1) e (2).
Naturalmente : $ vecv = v*vecT$.
Poichè : $veca = d/(dt)(v*vecT) = (dv)/(dt)*vecT + v (dvecT)/(dt) = (dv)/(dt)*vecT + v^2/r*vecN$
si può anche dire che l'accelerazione centripeta è data da : $v^2/r*vecN = veca - (dv)/(dt)*vecT$ --------(5)
Nella (5), conosci $veca$ perchè è un dato del problema. Ti calcoli il modulo dell'accelerazione tangenziale $(dv)/(dt)$ derivando la (2) e moltiplichi per $vecT$, che hai ricavato nella (4).
Per cui la (5) ti consente di ricavare l'accelerazione centripeta $v^2/r*vecN$, sempre in funzione dei tre versori $i,j,k$ ( espressione cartesiana, come differenza di due vettori. Ma se preferisci il modulo dell'accelerazione centripeta lo puoi calcolare anche col teorema di Pitagora.....).
Ne calcoli il modulo $a_c$, e scrivi : $a_c= v^2/r$ , dove $v^2$ è dato dalla (2).
Di qui, ti ricavi l'espressione per il raggio di curvatura.
Naturalmente io ho fatto il caso generale, non ho calcolato le quantità coinvolte in un solo dato punto.
Non sono riuscito ad eliminare il tempo $t$ per ottenere l'eq cartesiana della traiettoria, ma non credo si possa fare facilmente.
grazie mille.. sai ci avevo pensato pure io al fatto delle costanti:)
cmq domani risolvero' il problema e poi posto...
forse ho risolto per la traiettoria:)
domani scrivo il tutto:)
cmq domani risolvero' il problema e poi posto...
forse ho risolto per la traiettoria:)
domani scrivo il tutto:)
scusa, una domanda.. una volta che trovo il raggio di curvatura, per trovare la posizione del centro C (come dice la traccia) mi calcolo la distanza $CP_0$ imponendola uguale a tale raggio ??
"marixg":
scusa, una domanda.. una volta che trovo il raggio di curvatura, per trovare la posizione del centro C (come dice la traccia) mi calcolo la distanza $CP_0$ imponendola uguale a tale raggio ??
Mi aspettavo la domanda, perchè non te l'ho detto prima.
Una volta calcolato il vettore accelerazione centripeta $a_(c)$, che come ripeto è la differenza vettoriale tra la accelerazione data $veca$ e l'accelerazione tangenziale $ (dv)/(dt)*vecT$, ( ci sei fin qui ? Spero di sì), puoi calcolare il versore $vecN = veca_(c)/a_(c)$ , come rapporto tra $veca_(c)$ ed il suo modulo ( nè più nè meno di come hai calcolato $vecT$ a partire dalla velocità, ti pare ? ). Quindi $vecN$ verrà fuori in funzione dei versori $i,j,k$ degli assi cartesiani.
Perciò, noto il versore $vecN$ della normale principale, puoi scrivere : $(C-P_0) = r*vecN$, e quindi trovare le coordinate cartesiane del centro di curvatura $C$.
E' chiaro ? Insomma è solo algebra vettoriale.
PS : Purtroppo la scrittura dei pedici, quando c'è la freccetta sopra il vettore, viene male, il pedice si sovrappone al simbolo del vettore. Ma spero tu abbia capito.
si, tranquillo:) si capisce benissimissimo!
quindi il mio ragionamento era sbagliato...(che domanda stupida allora che avevo fatto)pensavo che si faceva in quel modo..
cmq grazie
quindi il mio ragionamento era sbagliato...(che domanda stupida allora che avevo fatto)pensavo che si faceva in quel modo..
cmq grazie
"marixg":
l'equazioni cartesiana della traiettoria
... suggerimenti?
Si tratta di una linea nello spazio e quindi può essere rappresentata in forma parametrica (l'hai già ottenuta con parametro $t$) ma non certo con un'unica funzione (implicita o esplicita) come si può fare invece nel piano. Al più la puoi rappresentare come intersezione di due superfici definite cartesiamente. Se vuoi questo, ricava il tempo da una componente della legge oraria e sostituscilo nelle alre due.
posto qui i miei risultati(non mi convincono)
il versore tangente $T=i+(t^(2)-1)/(2)j+k$
accelerazione centripeta $a_c=e^(t)(sqrt(2)-4e^(t))i+2(sqrt(3)-6t^(3)+6t)j-2sent(1+4sent)k$
il modulo di $a_c$ lo ottengo come radice quadrata dei quadrati delle sue componenti....
$N=a/a_c$
io mi sono calcolata le $N_x $ $N_y $ $N_z $
ottenendo
$N_x =(sqrt(2))/(2e^(2t)(1+4e^(2t)-4sqrt(2)e^(t)))$ dove la quantita' al denominatore è la componente di $v_x$ al quadrato
similmente per $N_y$ ed $N_z$
cosi posso scrivere $N=N_x i+N_y j+ N_z k$
poi ricavo $r=(v^(2)N)/a_c$
come prima lavoro sulle componenti $r$ $r_x$ $r_y$ $r_z$
e poi risolvo $(C-P_0)=rN$
dove $(C-P_0)_x=x-sqrt(2)$
dove $(C-P_0)_y=y+sqrt(3)$
dove $(C-P_0)_z=z$
ma nn riesco a semplificare N (le sue componenti)
e di conseguenza r ...
il versore tangente $T=i+(t^(2)-1)/(2)j+k$
accelerazione centripeta $a_c=e^(t)(sqrt(2)-4e^(t))i+2(sqrt(3)-6t^(3)+6t)j-2sent(1+4sent)k$
il modulo di $a_c$ lo ottengo come radice quadrata dei quadrati delle sue componenti....
$N=a/a_c$
io mi sono calcolata le $N_x $ $N_y $ $N_z $
ottenendo
$N_x =(sqrt(2))/(2e^(2t)(1+4e^(2t)-4sqrt(2)e^(t)))$ dove la quantita' al denominatore è la componente di $v_x$ al quadrato
similmente per $N_y$ ed $N_z$
cosi posso scrivere $N=N_x i+N_y j+ N_z k$
poi ricavo $r=(v^(2)N)/a_c$
come prima lavoro sulle componenti $r$ $r_x$ $r_y$ $r_z$
e poi risolvo $(C-P_0)=rN$
dove $(C-P_0)_x=x-sqrt(2)$
dove $(C-P_0)_y=y+sqrt(3)$
dove $(C-P_0)_z=z$
ma nn riesco a semplificare N (le sue componenti)
e di conseguenza r ...
Non so che calcoli tu abbia fatto. So quelli che ho fatto io, e controllato almeno due volte, ma nei calcoli c'è sempre possibilità di sbagliare....Ti faccio osservare che il tuo problema richiede d i trovare alcune grandezze vettoriali e scalari solo nel punto $P_0$ , quindi per quale motivo ricavare le grandezze stesse in generale? IO l'ho fatto per farti capire l'impostazione, ma una volta capita questa, limitati al calcolo nel solo punto detto!
Ti riporto i valori che ho trovato nel punto $P_0$ (devi anche far riferimento al post dove ti ho messo la parte generale):
-modulo della velocità $ v = sqrt6$
-versore $vecT = sqrt(1/3)veci + sqrt(2/3)veck $
-modulo dell'accelerazione tangenziale $ (dv)/(dt)= sqrt(2/3)$
-accelerazione tangenziale $veca_T= sqrt2/3veci + 2/3veck$
-accelerazione centripeta $veca_c = veca - veca_T = 2/3sqrt2veci + 2sqrt3vecj-2/3veck$
-modulo dell'accelerazione centripeta $ a_c = 2sqrt(10/3)$
-raggio di curvatura $ r = v^2/a_c = 3sqrt(3/10)$
-versore normale principale $ vecN = veca_c/a_c = sqrt(1/15)veci + 3/sqrt(10)vecj -1/sqrt(30)veck$
-posizione centro di curvatura $ C-P_0 = rvecN = 3sqrt2/10veci + 9sqrt3/10vecj - 3/10veck$
- coordinate del centro di curvatura $ C = (13sqrt2/10 , - sqrt3/10 , -3/10) $
Ripeto che questi sono i valori delle quantità che interessano in $P_0$, li ho controllati un paio di volte, ma potrei anche aver fatto degli errori di calcolo.
Ora controllali tu, seguendo il procedimento che ti ho suggerito.
Ti riporto i valori che ho trovato nel punto $P_0$ (devi anche far riferimento al post dove ti ho messo la parte generale):
-modulo della velocità $ v = sqrt6$
-versore $vecT = sqrt(1/3)veci + sqrt(2/3)veck $
-modulo dell'accelerazione tangenziale $ (dv)/(dt)= sqrt(2/3)$
-accelerazione tangenziale $veca_T= sqrt2/3veci + 2/3veck$
-accelerazione centripeta $veca_c = veca - veca_T = 2/3sqrt2veci + 2sqrt3vecj-2/3veck$
-modulo dell'accelerazione centripeta $ a_c = 2sqrt(10/3)$
-raggio di curvatura $ r = v^2/a_c = 3sqrt(3/10)$
-versore normale principale $ vecN = veca_c/a_c = sqrt(1/15)veci + 3/sqrt(10)vecj -1/sqrt(30)veck$
-posizione centro di curvatura $ C-P_0 = rvecN = 3sqrt2/10veci + 9sqrt3/10vecj - 3/10veck$
- coordinate del centro di curvatura $ C = (13sqrt2/10 , - sqrt3/10 , -3/10) $
Ripeto che questi sono i valori delle quantità che interessano in $P_0$, li ho controllati un paio di volte, ma potrei anche aver fatto degli errori di calcolo.
Ora controllali tu, seguendo il procedimento che ti ho suggerito.
non capisco come calcolare tali quantità in$P_0$
mi fai un esempio di una quantità che hai calcolato tu per piacere?
mi fai un esempio di una quantità che hai calcolato tu per piacere?
"marixg":
non capisco come calcolare tali quantità in$P_0$
mi fai un esempio di una quantità che hai calcolato tu per piacere?
ah no. ho capito:)
devo porre t=0
Esatto. Una volta calcolata l'espressione che ti serve in funzione del tempo ( velocità, accelerazioni , versori ecc) per avere i valori in $P_0$ poni $t=0$ nell' espressione. E così ti calcoli tutte le quantità nel punto dato.
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