Cinematica del punto
Salve a tutti, dovrei risolvere questo esercizio:
Considerando le lancette dei minuti e delle ore di un orologio a partire dalla posizione di mezzogiorno, determinare le posizioni angolari in cui esse vengono a sovrapporsi
di seguito vi mostro la risoluzione consigliatami, potreste spiegarmi perchè è stato risolto così?
vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto
Considerando le lancette dei minuti e delle ore di un orologio a partire dalla posizione di mezzogiorno, determinare le posizioni angolari in cui esse vengono a sovrapporsi
di seguito vi mostro la risoluzione consigliatami, potreste spiegarmi perchè è stato risolto così?
vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto
Risposte
A mezzogiorno le lancette delle ore e dei minuti coincidono. LA lancetta delle ore, per tornare sulle 12 , deve fare un giro completo , cioè si deve arrivare a mezzanotte. LA lancetta dei minuti , in dodici ore , farà dodici volte il giro completo del quadrante . Quante volte, cosí facendo, la lancetta dei minuti coinciderà con quella delle ore ?
A parte la prima coincidenza, cioè quella di partenza , ci saranno altre 11 coincidenze, compresa la finale. Vuol dire che , tra una coincidenza e l'altra , la lancetta delle ore si sposterà di :
$(12)/(11) "ore" = 1.bar09$ ( periodico , di periodo $09$) .
Trasformando i decimali in minuti e secondi , si ha : $1^h5^m27^s,bar27$
Se vuoi, trasforma questo intervallo di tempo in gradi .
Naturalmente , puoi ragionare sulle velocità angolari : la lancetta delle ore ha una velocità angolare di 1giro/12ore , quella dei minuti ha una velocità angolare 12 volte maggiore.
A parte la prima coincidenza, cioè quella di partenza , ci saranno altre 11 coincidenze, compresa la finale. Vuol dire che , tra una coincidenza e l'altra , la lancetta delle ore si sposterà di :
$(12)/(11) "ore" = 1.bar09$ ( periodico , di periodo $09$) .
Trasformando i decimali in minuti e secondi , si ha : $1^h5^m27^s,bar27$
Se vuoi, trasforma questo intervallo di tempo in gradi .
Naturalmente , puoi ragionare sulle velocità angolari : la lancetta delle ore ha una velocità angolare di 1giro/12ore , quella dei minuti ha una velocità angolare 12 volte maggiore.
"Shackle":
A mezzogiorno le lancette delle ore e dei minuti coincidono. LA lancetta delle ore, per tornare sulle 12 , deve fare un giro completo , cioè si deve arrivare a mezzanotte. LA lancetta dei minuti , in dodici ore , farà dodici volte il giro completo del quadrante . Quante volte, cosí facendo, la lancetta dei minuti coinciderà con quella delle ore ?
A parte la prima coincidenza, cioè quella di partenza , ci saranno altre 11 coincidenze, compresa la finale. Vuol dire che , tra una coincidenza e l'altra , la lancetta delle ore si sposterà di :
$(12)/(11) "ore" = 1.bar09$ ( periodico , di periodo $09$) .
Trasformando i decimali in minuti e secondi , si ha : $1^h5^m27^s,bar27$
Se vuoi, trasforma questo intervallo di tempo in gradi .
Naturalmente , puoi ragionare sulle velocità angolari : la lancetta delle ore ha una velocità angolare di 1giro/12ore , quella dei minuti ha una velocità angolare 12 volte maggiore.
grazie per la risposta;
ritornando all'immagine che ho messo all'inizio, nel sistema sono presenti le leggi orarie dei moti delle lancette (giusto?): potresti spiegarmi perchè c'è il 2 Pi greco ?
Un giro completo di una lancetta equivale a $2pi$ radianti. Quindi la velocità angolare $omega_o$ della lancetta delle ore è uguale a $2pi$ radianti diviso il numero di secondi che ci sono in 12 ore , cioè :
$omega_o = (2pi)/(12*3600) (rad)/s$ . MA non occorre fare il calcolo.
La velocità angolare della lancetta dei minuti è uguale a $2pi$ radianti all’ora : $ omega_m = (2pi)/(3600) (rad)/s$
LA prima coincidenza si ha nell' istante di tempo $t_1$ in cui la lancetta delle ore ha descritto l'angolo :
$theta_o = omega_o*t_1$
e la lancetta dei minuti ha descritto, con velocità angolare $omega_m$ , l'angolo : $theta_m = theta_o + 2pi$ :
$theta_o +2pi = omega_mt_1$
Rapportando membro a membro per eliminare $t_1$ si ha :
$ (theta_o + 2pi)/\theta_o = \omega_m/\omega_o = 12 $
da cui si ricava che : $ 11\theta_o = 2pi \rightarrow theta_o = (2pi)/(11) = (360º)/(11) = 32º.bar(72) $
E cosi via . Questo risultato naturalmente coincide con quello espresso in ore .
$omega_o = (2pi)/(12*3600) (rad)/s$ . MA non occorre fare il calcolo.
La velocità angolare della lancetta dei minuti è uguale a $2pi$ radianti all’ora : $ omega_m = (2pi)/(3600) (rad)/s$
LA prima coincidenza si ha nell' istante di tempo $t_1$ in cui la lancetta delle ore ha descritto l'angolo :
$theta_o = omega_o*t_1$
e la lancetta dei minuti ha descritto, con velocità angolare $omega_m$ , l'angolo : $theta_m = theta_o + 2pi$ :
$theta_o +2pi = omega_mt_1$
Rapportando membro a membro per eliminare $t_1$ si ha :
$ (theta_o + 2pi)/\theta_o = \omega_m/\omega_o = 12 $
da cui si ricava che : $ 11\theta_o = 2pi \rightarrow theta_o = (2pi)/(11) = (360º)/(11) = 32º.bar(72) $
E cosi via . Questo risultato naturalmente coincide con quello espresso in ore .
"Shackle":
Un giro completo di una lancetta equivale a $2pi$ radianti. Quindi la velocità angolare $omega_o$ della lancetta delle ore è uguale a $2pi$ radianti diviso il numero di secondi che ci sono in 12 ore , cioè :
$omega_o = (2pi)/(12*3600) (rad)/s$ . MA non occorre fare il calcolo.
La velocità angolare della lancetta dei minuti è uguale a $2pi$ radianti all’ora : $ omega_m = (2pi)/(3600) (rad)/s$
LA prima coincidenza si ha nell' istante di tempo $t_1$ in cui la lancetta delle ore ha descritto l'angolo :
$theta_o = omega_o*t_1$
e la lancetta dei minuti ha descritto, con velocità angolare $omega_m$ , l'angolo : $theta_m = theta_o + 2pi$ :
$theta_o +2pi = omega_mt_1$
Rapportando membro a membro per eliminare $t_1$ si ha :
$ (theta_o + 2pi)/\theta_o = \omega_m/\omega_o = 12 $
da cui si ricava che : $ 11\theta_o = 2pi \rightarrow theta_o = (2pi)/(11) = (360º)/(11) = 32º.bar(72) $
E cosi via . Questo risultato naturalmente coincide con quello espresso in ore .
ti ringrazio di cuore per la tua risposta! sei stato molto chiaro e disponibile
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