Cinematica del punto
come faccio a determinare le equazioni del moto di un punto che si muove di moto circolare, sapendo che il rapporto tra accelerazione tangenziale e accelerazione centripeta si mantiene costantemente uguale a k?
Risposte
$a_t=(dv)/(dt);a_c=v^2/r$
quindi
$(dv)/v^2=k/rdt$
integriamo
$ int_(v_0)^(v) x^(-2)dx=int_(0)^(t) k/r dy $
$1/(v_0)-1/v=k/rt$
$v=(v_0r)/(r-kv_0t)$,con $t in [0,r/(kv_0))$
ad un certo punto si sfascerebbe tutto
quindi
$(dv)/v^2=k/rdt$
integriamo
$ int_(v_0)^(v) x^(-2)dx=int_(0)^(t) k/r dy $
$1/(v_0)-1/v=k/rt$
$v=(v_0r)/(r-kv_0t)$,con $t in [0,r/(kv_0))$
ad un certo punto si sfascerebbe tutto
"stormy":
ad un certo punto si sfascerebbe tutto
posso chiederti il perchè...
Grazie mille, e invece se devo determinare le equazioni del moto che si muove nel riferimento Ox1x2x3 sapendo che accelerazione e la velocità soddisfano la seguente relazione : a(t) = \alpha v(t) \wedge i3 , con \alpha costante positiva , i3 è il versore dell'asse x3 ?
"xnix":
[quote="stormy"]ad un certo punto si sfascerebbe tutto
posso chiederti il perchè...[/quote]
In effetti è interessante anche chiedersi perché il modello individuato non si può applicare ad un ogetto che parte da fermo $ (v_0 = 0) $
A lume di naso direi che se l'oggetto è fermo non ha senso parlare di accelerazione centripeta.
Mi permetto di aggiustare quanto detto da Stormy, e chiedo scusa, dicendo che più che si sfascerebbe tutto , il modello non è più valido.
"ClaudioDC":
Grazie mille, e invece se devo determinare le equazioni del moto che si muove nel riferimento Ox1x2x3 sapendo che accelerazione e la velocità soddisfano la seguente relazione : a(t) = \alpha v(t) \wedge i3 , con \alpha costante positiva , i3 è il versore dell'asse x3 ?
supponendo che l'equazione del moto sia:
\( a(t) = \alpha v(t) \overrightarrow{i_3} \ \)
puoi considerare a(t) \( a=dv/dt \)
da cui \( dv/dt=\alpha v \) \rArr \( dv/v=\alpha dt \)
integrando per parti
\( \int_{v_0}^{v_1} 1/v\, dv=\int_{t_0}^{t_1} \alpha\, dt \)
\( \ln v_1 -\ln v_0= \alpha(t_1 -t_0) \)
in forma esponenziale
$ v_1/ v_0= \exp(\alpha (t_1 -t_0)) $
in conclusione
\( \overrightarrow{V(t)}= v_0 \exp(\alpha (t_1 -t_0)) \overrightarrow{i_3} \ \)
Spero di non aver fatto troppa confusione
"Skylarry":
il modello non è più valido.
scusami potresti essere più dettagliato sulla non validità del sistema
"xnix":
[quote="stormy"]ad un certo punto si sfascerebbe tutto
posso chiederti il perchè...[/quote]
perchè la velocità del punto tende a diventare infinita
qualsiasi sia il meccanismo responsabile del moto ,non reggerebbe la situazione
ma anche l'accellerazione?... cioè il sistema collassa su se stesso
sì, anche l'accelerazione centripeta e tangenziale tendono all'infinito
Skylarry,
direi che tutti i moti partono da una condizione iniziale $v_0 = 0$. Ma qualcuno deve pur dare il calcio di inizio al pallone….
E direi anche che al tendere di $t$ all'estremo superiore dell'intervallo, andiamo a finire nella Relatività, quando la velocità diventa apprezzabile rispetto a $c$, che comunque non può essere superata….
ma si sfascia tutto ugualmente, molto molto prima di arrivare a velocità confrontabili con $c$.
In realtà, rendiamoci conto che questo è soltanto un esercizio di matematica, non è affatto un esercizio di fisica.
Non è modo di insegnare la fisica, questo…qui la fisica non c'entra proprio niente, se non per l'occasionale riferimento alle accelerazioni nel moto circolare.
Ci sono ben altri esercizi che si possono dare, per far capire certe nozioni.
direi che tutti i moti partono da una condizione iniziale $v_0 = 0$. Ma qualcuno deve pur dare il calcio di inizio al pallone….
E direi anche che al tendere di $t$ all'estremo superiore dell'intervallo, andiamo a finire nella Relatività, quando la velocità diventa apprezzabile rispetto a $c$, che comunque non può essere superata….
ma si sfascia tutto ugualmente, molto molto prima di arrivare a velocità confrontabili con $c$.
In realtà, rendiamoci conto che questo è soltanto un esercizio di matematica, non è affatto un esercizio di fisica.
Non è modo di insegnare la fisica, questo…qui la fisica non c'entra proprio niente, se non per l'occasionale riferimento alle accelerazioni nel moto circolare.
Ci sono ben altri esercizi che si possono dare, per far capire certe nozioni.
[ot]Navigatore, hai ragione su tutta la linea, cionodimeno, è certamente interessante cercare di capire se c'è un riscontro fisico per il valore per cui il modello cessa la sua validità. Come certamente puoi insegnarmi (credo tu sia un fisico) le verità è inconoscibile. Tutto ciò che possiamo fare e creare modelli e verificare che siano validi.
[/ot]
[/ot]
ma un punto materiale può viaggiare a velocità prossime a $c$ su di una traiettoria circolare senza collassare su se stesso?... a prescindere dai rapporti tra le due accelerazioni
Skylarry, sono d'accordo con te, la verità è inconoscibile. Anzi, io userei "realtà" , parlando del mondo fisico. La parola "verità" mi sembra ancora più grossa.
Al massimo, abbiamo teorie che funzionano molto bene, a volte benissimo, per la descrizione della "realtà" , di cui possiamo accertare la validità con un ottimo grado di approssimazione….fino a quando talvolta la realtà non smentisce la teoria!
E allora che facciamo? Spesso ne cerchiamo un'altra migliore, che inglobi in sé quella precedente….Come è successo per la Meccanica classica, che un bel giorno è stata fagocitata dalla Relatività.
E poi verrà anche il turno per la Relatività, di essere fagocitata da una teoria migliore, più ampia, che includa pure la Meccanica quantistica….oggi come sai la RG e la MQ sono incompatibili.
E sono d'accordo con te sulla opportunità, e anche la bellezza, di discutere di situazioni estreme che un certo risultato ci sottopone.
xnix,
oggi come oggi, si possono far viaggiare punti materiali su traiettorie circolari a velocità molto prossime a $c$, ma si tratta di particelle elementari, portate a valori elevatissimi della velocità in anelli di accumulazione, ad es. al Cern…ci sono esperimenti di particelle portate a velocità tali che il fattore di Lorentz arriva a valori intorno a $30$ : puoi calcolare da te quanto vale $v$ in questo caso.
Ma un corpo materiale esteso, ad es. un disco di acciaio a elevata resistenza, sicuramente NO . Si rompe molto prima che la velocità periferica arrivi a valori paragonabili a $c$ ! Oggi questo non è possibile. E credo non lo sarà mai.
Per favore, scrivi "accelerazione" con una sola "l" .
Al massimo, abbiamo teorie che funzionano molto bene, a volte benissimo, per la descrizione della "realtà" , di cui possiamo accertare la validità con un ottimo grado di approssimazione….fino a quando talvolta la realtà non smentisce la teoria!
E allora che facciamo? Spesso ne cerchiamo un'altra migliore, che inglobi in sé quella precedente….Come è successo per la Meccanica classica, che un bel giorno è stata fagocitata dalla Relatività.
E poi verrà anche il turno per la Relatività, di essere fagocitata da una teoria migliore, più ampia, che includa pure la Meccanica quantistica….oggi come sai la RG e la MQ sono incompatibili.
E sono d'accordo con te sulla opportunità, e anche la bellezza, di discutere di situazioni estreme che un certo risultato ci sottopone.
xnix,
oggi come oggi, si possono far viaggiare punti materiali su traiettorie circolari a velocità molto prossime a $c$, ma si tratta di particelle elementari, portate a valori elevatissimi della velocità in anelli di accumulazione, ad es. al Cern…ci sono esperimenti di particelle portate a velocità tali che il fattore di Lorentz arriva a valori intorno a $30$ : puoi calcolare da te quanto vale $v$ in questo caso.
Ma un corpo materiale esteso, ad es. un disco di acciaio a elevata resistenza, sicuramente NO . Si rompe molto prima che la velocità periferica arrivi a valori paragonabili a $c$ ! Oggi questo non è possibile. E credo non lo sarà mai.
Per favore, scrivi "accelerazione" con una sola "l" .
[ot]L'unificazione di Mq e RG è un obbiettivo ben lungi dall'essere raggiunto, e a giudicare da quel che sento dire dai colleghi, desintato ad essere mancato (a me manca non aver fatto fisica teorica e relatività) .
La MQ ha evidenza sperimentale, ma manca di coerenza interna, al contrario della magnifica RG che sembra inattaccabile. Anche perché essa stessa predice i propri limiti, in particolare dive trova spazio la MQ
Ma stiamo decisamente divagando.
E comunque veramente un piacere sapere che ci sei[/ot]
La MQ ha evidenza sperimentale, ma manca di coerenza interna, al contrario della magnifica RG che sembra inattaccabile. Anche perché essa stessa predice i propri limiti, in particolare dive trova spazio la MQ
Ma stiamo decisamente divagando.
E comunque veramente un piacere sapere che ci sei[/ot]
[ot]Ma sì, divaghiamo pure…tanto sempre di questioni affascinanti parliamo !
Il piacere è reciproco…ma temo di deluderti : non sono un fisico, e quel po' di Relatività che ho imparato, l'ho imparata da solo, lavorando duramente sulle "sudate carte". Ho dato anche parecchie risposte in merito a quesiti di RR, se fai una ricerca nel forum te ne rendi conto, ed è successo anche che alla fine qualcuno mi ha pure insultato….!
Di MQ invece non so niente, e me ne dispiace.
Ciao Skylarry. Ci ritroveremo su qualche argomento di RR e RG, ne sono sicuro![/ot]
Il piacere è reciproco…ma temo di deluderti : non sono un fisico, e quel po' di Relatività che ho imparato, l'ho imparata da solo, lavorando duramente sulle "sudate carte". Ho dato anche parecchie risposte in merito a quesiti di RR, se fai una ricerca nel forum te ne rendi conto, ed è successo anche che alla fine qualcuno mi ha pure insultato….!
Di MQ invece non so niente, e me ne dispiace.
Ciao Skylarry. Ci ritroveremo su qualche argomento di RR e RG, ne sono sicuro![/ot]
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