Cinematica del corpo rigido. Esercizio.
Il sistema di figura è composto da un'asta $OA$ di lunghezza $l$ e da due aste saldate a forma di $T$. L'asta $OA$ ruota attorno ad una cerniera fissa posta in $O$. L'asta a $T$ scorre senza attrito su di un muro verticale. La parete verticale è posta ad una distanza $d$ da $O$. Sull'estremo $A$ dell'asta $OA$ è montato un carrello che scorre sulla parte orizzontale dell'asta a $T$. Si chiede di calcolare, in funzione di $theta$, le velocità dei punti $A$ e $C$.
Come sarebbe corretto iniziare a pensare una soluzione?
Come sarebbe corretto iniziare a pensare una soluzione?
Risposte
Antonio, questo esercizio e' identico, nei concetti, agli altri che abbiamo risolto nei giorni scorsi.
Ci aspettiamo non solo che tu "inizi a pensare a un modo per risolverlo", ma anche che tu "pensi" al modo di risolverlo e "finisci" pure.
E' un esercizio molto piu' facile di quelli incontrati finora. Non possiamo credere che tu non abbia idea di come affrontarlo.
Vai, risolvi, e torna con la soluzione!
Ci aspettiamo non solo che tu "inizi a pensare a un modo per risolverlo", ma anche che tu "pensi" al modo di risolverlo e "finisci" pure.
E' un esercizio molto piu' facile di quelli incontrati finora. Non possiamo credere che tu non abbia idea di come affrontarlo.
Vai, risolvi, e torna con la soluzione!
Comincio con il dire che il GDL è 1, in quanto $A$ si può muovere lungo l'asse orizzontale della barra a forma di $T$ e questo lo fa grazie alla rotazione dell'asta quando varia $theta$, bloccando $theta$ blocco anche la barra a $T$.
Le velocità che io vedo sono:
$v_A = v_O + omega_(AO) xx (A-O)$
$v_C =dot(y)_C j$
Penso che fino a questo punto ho detto tutto bene?
Ho però un dubbio.....
Ma come intende la distanza $d$ dal punto $C$ ad $O$ ? IO sto intendendo una distanza lungo una orizzontale passante per $O$, è corretto pensarla in questo modo?
Che poi non riesco a capire nemmeno a cosa può servire questo dato $d$
Resta il fatto che la velocità $v_O = 0$ perchè si tratta di un punto fisso e quindi si tratta del nostro CIR, quindi si deve lavorare su queste due formule:
$v_A = omega_(AO) xx (A-O)$
$v_C = y_C j$
Le velocità che io vedo sono:
$v_A = v_O + omega_(AO) xx (A-O)$
$v_C =dot(y)_C j$
Penso che fino a questo punto ho detto tutto bene?
Ho però un dubbio.....
Ma come intende la distanza $d$ dal punto $C$ ad $O$ ? IO sto intendendo una distanza lungo una orizzontale passante per $O$, è corretto pensarla in questo modo?
Che poi non riesco a capire nemmeno a cosa può servire questo dato $d$
Resta il fatto che la velocità $v_O = 0$ perchè si tratta di un punto fisso e quindi si tratta del nostro CIR, quindi si deve lavorare su queste due formule:
$v_A = omega_(AO) xx (A-O)$
$v_C = y_C j$
Fin qui tutto corretto, persino i dubbi. Infatti d non entra in gioco.
Mi raccomando, ricordati che la soluzione deve essere funzione solo di $\theta$ ed eventualmente di $\dot\theta$.
Fino a che non ce l'hai in quella forma non puoi dire di aver risolto
Mi raccomando, ricordati che la soluzione deve essere funzione solo di $\theta$ ed eventualmente di $\dot\theta$.
Fino a che non ce l'hai in quella forma non puoi dire di aver risolto
Edit:
Ho pensato anche ad un possibile calcolo della velocità in $A$ utilizzando le coordinate del punto $A$, pensando ovviamente a proiettare il punto $A$ lungo il prolungamento l'orizzontale dell'asse $x$, chiamato $A'$, si hanno così le seguenti coordinate:
$(A' - O) = l cos theta i$
$(A - A') = l sen theta j$
Se derivo questi vettori dovrei trovare la velocità del punto $A$.
Scusami, ma se ho un grado di libertà, questo vuol dire che basta calcolare la velocità di $A$ e dire che la velocità di $A$ è la stessa della velocità di $C$ solo che quella di $C$ è in $y$ Insomma è come dire che se un punto si muove ad una certa velocità ma lungo la $x$ con il legame che hanno in questo sistema i punti, sarà la stessa della velocità lungo la $y$ e quindi $v_x = v_y$
P.S. Lasciamo stare per un attimo le formule che usiamo in meccanica razionale, il mio dubbio e se utilizzassi la $v= m/s$ come quando si faceva all'asilo
?
Ho pensato anche ad un possibile calcolo della velocità in $A$ utilizzando le coordinate del punto $A$, pensando ovviamente a proiettare il punto $A$ lungo il prolungamento l'orizzontale dell'asse $x$, chiamato $A'$, si hanno così le seguenti coordinate:
$(A' - O) = l cos theta i$
$(A - A') = l sen theta j$
Se derivo questi vettori dovrei trovare la velocità del punto $A$.
Scusami, ma se ho un grado di libertà, questo vuol dire che basta calcolare la velocità di $A$ e dire che la velocità di $A$ è la stessa della velocità di $C$ solo che quella di $C$ è in $y$
Insomma è come dire che se un punto si muove ad una certa velocità ma lungo la $x$ con il legame che hanno in questo sistema i punti, sarà la stessa della velocità lungo la $y$ e quindi $v_x = v_y$ P.S. Lasciamo stare per un attimo le formule che usiamo in meccanica razionale, il mio dubbio e se utilizzassi la $v= m/s$ come quando si faceva all'asilo
?
Velocità in A
La velocità in $A$ la posso tranquillamente calcolare in questo modo:
considerando che:
$(A' - O) = l cos theta i$
$(A - A') = l sen theta j$
$omega_(AO) = dot(theta) k$
$v_O = 0$
$v_A = v_O + omega_(AO) xx (A-O)$
$v_A =dot(theta) k xx (l cos theta i + l sen theta j)$
Velocità in C
La velocità del punto $C$ la ricavo pensando alle coordinate del punto $C$, ma se devo calcolarla in funzione di $theta$ devo proiettare il punto $C$ lungo l'asse delle $x$ passante per $O$ e quindi si ha $C'$, da cui:
$(C - O) = (C - C') sen theta $
dato che ci interessa solo la coordinata in $y$ in quanto $x$ è costante e la derivata di una costante vale zero, si ha che:
$ (C - C') = (C - O)/(sen theta) $
derivo questo vettore $(C-C')$ ed ottengo la velocità in $y$ del punto $C$, quindi:
$ (C - C')' = (-(C - O)*cos theta *dot(theta))/(sen theta)^2 $
$v_C = dot(y)_C j $ cioè $v_C = (-(C - O)*cos theta *dot(theta))/(sen theta)^2 j $
Meglio di così non riesco a fare, cosa ne dici?
La velocità in $A$ la posso tranquillamente calcolare in questo modo:
considerando che:
$(A' - O) = l cos theta i$
$(A - A') = l sen theta j$
$omega_(AO) = dot(theta) k$
$v_O = 0$
$v_A = v_O + omega_(AO) xx (A-O)$
$v_A =dot(theta) k xx (l cos theta i + l sen theta j)$
Velocità in C
La velocità del punto $C$ la ricavo pensando alle coordinate del punto $C$, ma se devo calcolarla in funzione di $theta$ devo proiettare il punto $C$ lungo l'asse delle $x$ passante per $O$ e quindi si ha $C'$, da cui:
$(C - O) = (C - C') sen theta $
dato che ci interessa solo la coordinata in $y$ in quanto $x$ è costante e la derivata di una costante vale zero, si ha che:
$ (C - C') = (C - O)/(sen theta) $
derivo questo vettore $(C-C')$ ed ottengo la velocità in $y$ del punto $C$, quindi:
$ (C - C')' = (-(C - O)*cos theta *dot(theta))/(sen theta)^2 $
$v_C = dot(y)_C j $ cioè $v_C = (-(C - O)*cos theta *dot(theta))/(sen theta)^2 j $
Meglio di così non riesco a fare, cosa ne dici?
L'ultima formula scritta $v_A$ e' corretta:
$v_A=\dot\theta\vec{k}times(lcos\theta,lsin\theta)$.
Pero' mi dovresti compattare la formula svolgendo il prodotto vettoriale e trovando le componenti di $v_A$ lungo gli assi x e y (sempre ovviamente in funzione del parametro $\theta$).
Conoscere la velocita di C e' semplicissima se apri gli occhi! E' banale e semplice. NON pensare a formule strane!
$v_A=\dot\theta\vec{k}times(lcos\theta,lsin\theta)$.
Pero' mi dovresti compattare la formula svolgendo il prodotto vettoriale e trovando le componenti di $v_A$ lungo gli assi x e y (sempre ovviamente in funzione del parametro $\theta$).
Conoscere la velocita di C e' semplicissima se apri gli occhi! E' banale e semplice. NON pensare a formule strane!
In questi esercizi non mi è mai capitato di fare calcoli con la seguente:
$v_A = dot(theta)vec(k) xx (l cos theta, l sen theta)$
non capisco la differenza, puoi aiutarmi a capire il perchè differiscono le dure formule?
Faccio comunque il calcolo per compattarla adattandomi alla formula che hai detto tu, in quanto a quella che ho scritto io so farlo tranquillamente, ma se mi dici che in questo caso è sbagliata, allora mi adatto a quella che hai detto tu, in attesa di capire la differenza tra le formula:
$v_A = dot(theta) l cos theta vec(j) - dot(theta) l sin theta vec(i)$
meglio scritta in questo modo:
$v_A = - dot(theta) l sin theta vec(i) + dot(theta) l cos theta vec(j) $
P.S. Scusami, ma cosa c'è di sbagliato in questa formula ?
$v_C = (-(C - O)*cos theta *dot(theta))/(sen theta)^2 j $
Sai che non mi viene in mente quella più facile così come mi hai consigliato tu?
L'unica cosa che mi viene di dire banalmente è che corrisponde alla derivata della coordinata lungo l'asse delle $y$ e quindi
$v_C = v_y = dot(y)_C j$
solo che poi non compare il richiesto $theta$
$v_A = dot(theta)vec(k) xx (l cos theta, l sen theta)$
non capisco la differenza, puoi aiutarmi a capire il perchè differiscono le dure formule?
Faccio comunque il calcolo per compattarla adattandomi alla formula che hai detto tu, in quanto a quella che ho scritto io so farlo tranquillamente, ma se mi dici che in questo caso è sbagliata, allora mi adatto a quella che hai detto tu, in attesa di capire la differenza tra le formula:
$v_A = dot(theta) l cos theta vec(j) - dot(theta) l sin theta vec(i)$
meglio scritta in questo modo:
$v_A = - dot(theta) l sin theta vec(i) + dot(theta) l cos theta vec(j) $
P.S. Scusami, ma cosa c'è di sbagliato in questa formula ?
$v_C = (-(C - O)*cos theta *dot(theta))/(sen theta)^2 j $
Sai che non mi viene in mente quella più facile così come mi hai consigliato tu?
L'unica cosa che mi viene di dire banalmente è che corrisponde alla derivata della coordinata lungo l'asse delle $y$ e quindi
$v_C = v_y = dot(y)_C j$
solo che poi non compare il richiesto $theta$
No, ti ho detto che la velocita' come l'hai scritta tu e' giusta.
E' solo che rimane in forma compatta di prodotto vettoriale, mentre moltissime volte ti conviene scompattarla nelle componenti degli assi che hai scelto come sistema di riferimento. Ma sono 2 espressioni di $v_A$ del tutto equivalenti.
Per quanto riguarda C.........Quelle formule che hai scritto tu per C sono sbagliate (non ho controllato come ci arrivi).
Ma non occorre scrivere formule: il corpo a T si muove di moto rettilineo, Tutti i suoi punti hanno la stessa velocita'..........quindi $v_C$=$v_A$ (ovviamente A in questo caso appartiene al corpo a T, non all'asta rotante).
Ne consegue che la velocita di C e' uguale alla componente verticale della velocita' di A. E siccome abbiamo scompattoa $v_a$ nelle sue componenti
$\vec{v_c}=L\dot\thetacos\theta\vec{j}$.
E' solo che rimane in forma compatta di prodotto vettoriale, mentre moltissime volte ti conviene scompattarla nelle componenti degli assi che hai scelto come sistema di riferimento. Ma sono 2 espressioni di $v_A$ del tutto equivalenti.
Per quanto riguarda C.........Quelle formule che hai scritto tu per C sono sbagliate (non ho controllato come ci arrivi).
Ma non occorre scrivere formule: il corpo a T si muove di moto rettilineo, Tutti i suoi punti hanno la stessa velocita'..........quindi $v_C$=$v_A$ (ovviamente A in questo caso appartiene al corpo a T, non all'asta rotante).
Ne consegue che la velocita di C e' uguale alla componente verticale della velocita' di A. E siccome abbiamo scompattoa $v_a$ nelle sue componenti
$\vec{v_c}=L\dot\thetacos\theta\vec{j}$.
In effetti avevo scritto qualcosa in un messaggio precedente, dove ho detto le stesse cose tue, solo che non ero sicuro, ma adesso che mi hai dato conferma sono contento di aver compreso la via giusta.
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
Ho il seguente esercizio che a me sembra essere molto simile a quello che abbiamo fatto all'inizio del thread:
Professorkappa, a me sembra molto simile, confermi?
Professorkappa, a me sembra molto simile, confermi?
NI. Prova. Tieni conto che qui non c'e' CIR, sono tutte traslazioni senza rotazioni.
Non ti avventurare in calcoli astrusi. Poche formule e un po' di logic. Vai.
Non ti avventurare in calcoli astrusi. Poche formule e un po' di logic. Vai.
Se varia $x_A$, varierà anche $y_D$, adesso si deve trovare il legame cinematico tra i due 
Proietto $E$ lungo l'asse delle $x$ e chiamo questa proiezione $E'$, di conseguenza la $y_D$ sarà:
$y_D = bar(AE)* sen (pi)/4 $
Avrò anche che
$bar(AE') = bar(AE) * cos (pi)/4$
Accipicchia, si evince che c'è il legame tra $x_A$ e $y_D$, ma il problema è che non sto riuscendo a spiegarlo con le formule!
Help!
Proietto $E$ lungo l'asse delle $x$ e chiamo questa proiezione $E'$, di conseguenza la $y_D$ sarà:
$y_D = bar(AE)* sen (pi)/4 $
Avrò anche che
$bar(AE') = bar(AE) * cos (pi)/4$
Accipicchia, si evince che c'è il legame tra $x_A$ e $y_D$, ma il problema è che non sto riuscendo a spiegarlo con le formule!
Help!
Tu non hai stima nelle tue capacita'.
E' questo il problema. Vedi le soluzioni, le sfiori, ma hai paura di arrivare in fondo.
Pensaci ancora un po'. Guarda che e' banale, non c'e' molto da scrivere.
Dai, su! Un po' di nerbo e di autostima! Hai trovato $y_D$.
E' questo il problema. Vedi le soluzioni, le sfiori, ma hai paura di arrivare in fondo.
Pensaci ancora un po'. Guarda che e' banale, non c'e' molto da scrivere.
Dai, su! Un po' di nerbo e di autostima! Hai trovato $y_D$.
Ti ringrazio per l'incoraggiamento
Trovo allora la $x_A$ dove collegando il punto $y_D$ che forma una ipotenusa con il punto $x_A$, si ha:
$x_A = bar(y_D x_A) * cos ((pi)/4)$
Meglio scritta in questo modo:
$x_A = bar(DA) * cos ((pi)/4)$
Penso che sia corretto!
Trovo allora la $x_A$ dove collegando il punto $y_D$ che forma una ipotenusa con il punto $x_A$, si ha:
$x_A = bar(y_D x_A) * cos ((pi)/4)$
Meglio scritta in questo modo:
$x_A = bar(DA) * cos ((pi)/4)$
Penso che sia corretto!
La prima e sbagliata, la seconda e' giusta, ma Antonietto caro, come lega le due.
La soluzione e'
(1) $x_A+AE*cos(45)=L$
(2) $AEsin(45)=y_D$
Sottrai membro a membro e trovi
$x_A=L-y_D$ da cui trovi $y_D=L-x_A$
Guarda che bella questa formula: ti dice che se $x_A$ aumenta, la $y_D$ diminuisce. Quando $x_A=L$, la $y_D=0$.
La soluzione e'
(1) $x_A+AE*cos(45)=L$
(2) $AEsin(45)=y_D$
Sottrai membro a membro e trovi
$x_A=L-y_D$ da cui trovi $y_D=L-x_A$
Guarda che bella questa formula: ti dice che se $x_A$ aumenta, la $y_D$ diminuisce. Quando $x_A=L$, la $y_D=0$.
Ed in effetti sei stato chiaro e preciso, io stavo pensando delle soluzioni con formule basate sui triangoli.
Sai, mi chiedo cosa ti ha fatto pensare che si doveva sottrarre membro a membro e invece non si doveva sommare membro a membro?
Che poi io so che si utilizza il metodo di sommare e poi sottrarre due equazioni simili, mentre tu hai solo sottratto ed in effetti sei arrivato ad una conclusione vera!
Puoi per favore farmi capire il perche' non hai fatto prima somma e poi differenza di entrambi i membri?
Cosa ti ha fatto pensare di fare solo la differenza?
Sai, mi chiedo cosa ti ha fatto pensare che si doveva sottrarre membro a membro e invece non si doveva sommare membro a membro?
Che poi io so che si utilizza il metodo di sommare e poi sottrarre due equazioni simili, mentre tu hai solo sottratto ed in effetti sei arrivato ad una conclusione vera!
Puoi per favore farmi capire il perche' non hai fatto prima somma e poi differenza di entrambi i membri?
Cosa ti ha fatto pensare di fare solo la differenza?
Quale metodo implica sottrazione e somma?
Qui devi sottrarre per eliminare l'incognita $AEsin(45)$ dale equazioni.
Oppure, il che e' lo stesso, sostuisci la $y_D$ della seconda equazione nella prima.
Qui devi sottrarre per eliminare l'incognita $AEsin(45)$ dale equazioni.
Oppure, il che e' lo stesso, sostuisci la $y_D$ della seconda equazione nella prima.
Quando si ha un sistema di equazioni, si può procedere per sostituzione, oppure se si hanno due equazioni simili, si può sommare e sottrarre per eliminare le incognite.
Questo è quello che volevo dire.
Questo è quello che volevo dire.
Sommare O sottrarre, non sommre E sottrarre
Ok, adesso è tutto chiaro.
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
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