Cinematica, accelerazione tangenziale e normale
Buon giorno a tutti, vi chiedo un'aiuto su un esercizio di cinematica del mio professore.
Il testo chiede di trovare la traiettoria, l'accelerazione tangenziale e normale e il raggio di curvatura di un punto materiale il cui moto e descritto dalla legge oraria:
$\{ ((x=at^2),(y=2bt))$
la traiettoria si ricava semplicemente sostituendo giusto? quindi dovrebbe essere: $ x=a ((y)/(2b))^2$ mentre l'accellerazione tangenziale e normale non riesco a capire da dove tirarle fuori... in teoria la derivata della legge oraria dovrebbe essere la velocità istantanea del punto, che dovrebbe avere la stessa direzione e verso dell'accelerazione tangenziale giusto? ma poi come devo procedere?
Vi ringrazio
Il testo chiede di trovare la traiettoria, l'accelerazione tangenziale e normale e il raggio di curvatura di un punto materiale il cui moto e descritto dalla legge oraria:
$\{ ((x=at^2),(y=2bt))$
la traiettoria si ricava semplicemente sostituendo giusto? quindi dovrebbe essere: $ x=a ((y)/(2b))^2$ mentre l'accellerazione tangenziale e normale non riesco a capire da dove tirarle fuori... in teoria la derivata della legge oraria dovrebbe essere la velocità istantanea del punto, che dovrebbe avere la stessa direzione e verso dell'accelerazione tangenziale giusto? ma poi come devo procedere?
Vi ringrazio
Risposte
Data la curva liscia $\alpha(t)$, la velocita' e' $dot \alpha$ e l'accelerazione e' $ddot \alpha$.
Costruiti i due vettori, dopo e' solo un problema di proiezione dell'accelerazione sulla velocita' e la sua normale...
Costruiti i due vettori, dopo e' solo un problema di proiezione dell'accelerazione sulla velocita' e la sua normale...
ciao arrigo... il mio problema nasce proprio qui, non riesco a capire come fare queste proiezioni. Spero di non essere troppo fastidioso chiedendoti un esempio o qualcosa di simile...
ti ringrazio
ti ringrazio
La accelerazione radiale ha la direzione del vettore posizione ma verso opposto.
Se consideri il versore del vettore posizione....
La accelerazione tangenziale ha come direzione il versore lungo il vettore velocità.
Prova a individuare i versori.
Poi il prodotto scalare con la accelerazione ....
Se consideri il versore del vettore posizione....
La accelerazione tangenziale ha come direzione il versore lungo il vettore velocità.
Prova a individuare i versori.
Poi il prodotto scalare con la accelerazione ....
Facendo i conti (sperando di non sbagliarli) ...
$ = ||ddot \alpha|| ||dot \alpha|| cos \theta$
$a_{T} = ||ddot \alpha|| cos \theta = {}/{||dot \alpha||}$
$a_{N} = ||ddot \alpha|| sin \theta$.
$
$a_{T} = ||ddot \alpha|| cos \theta = {
$a_{N} = ||ddot \alpha|| sin \theta$.
ok fin qui ho capito... chiarissimi come sempre. Però l'angolo $\theta$ io non c'è l'ho... potrei trovarlo trasformando le cordinate x e y in coordinate polari e poi ricondurmi a ciò che dice Mino_01:
La accelerazione radiale ha la direzione del vettore posizione ma verso opposto.????
Oppure, ricavi semplicemente $cos \theta$ dalla prima ...
ma non ho nemmeno il prodotto scalare tra velocità e accelerazione. Posso fare l'inversa ma cosa sostituisco a $ <\ddot{a}, \dot{a}>$ ???? scusate la mia ignoranza
Giusto:
infatti usando direttamente le coordinate polari che esprimono il vettore accelerazione nella base del versore tangente e versore normale.
Allora derivando 2 volte il vettore posizione $ vec(r)=rhat(r) $ :
ottieni :
$ vec(a)=(ddot(r)- rdot((varphi)^2))hat(r) + (2dot(r)dot(varphi) +rddot(varphi))hat(varphi) $
dove $r$ è il modulo del vettore posizione;
dove $ varphi $ è l' angolo in funzione del tempo del vettore posizione rispetto ad x;
dove $ hat(r) $ è il versore del vettore posizione;
dove $hat(varphi)$ è il versore della velocità tangente alla traiettoria;
Istruttivo è verificare la correttezza della accelerazione derivando 2 volte il vettore posizione....
Ciao e buono studio
infatti usando direttamente le coordinate polari che esprimono il vettore accelerazione nella base del versore tangente e versore normale.
Allora derivando 2 volte il vettore posizione $ vec(r)=rhat(r) $ :
ottieni :
$ vec(a)=(ddot(r)- rdot((varphi)^2))hat(r) + (2dot(r)dot(varphi) +rddot(varphi))hat(varphi) $
dove $r$ è il modulo del vettore posizione;
dove $ varphi $ è l' angolo in funzione del tempo del vettore posizione rispetto ad x;
dove $ hat(r) $ è il versore del vettore posizione;
dove $hat(varphi)$ è il versore della velocità tangente alla traiettoria;
Istruttivo è verificare la correttezza della accelerazione derivando 2 volte il vettore posizione....
Ciao e buono studio
Scusa, Grees, senza conoscere il prodotto scalare temo che affrontare questi argomenti sia impossibile...
ma nel testo non è dato... e usare il sistema di Mino_01 porta risultati diversi...
Il prodotto scalare in $RR^n$ è $ = a_1 b_1 + ... + a_n b_n$.
Si tratta di una formula di base che forse il testo non riporta data la sua estrema popolarità ... Senza di essa non è possibile affrontare questi temi.
Si tratta di una formula di base che forse il testo non riporta data la sua estrema popolarità ... Senza di essa non è possibile affrontare questi temi.
...... era un bel pò che non toccavo fisica... classica figura di m... grazie comunque!...
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