Cinematica
Un aereo decolla con angolo $alfa$ rispetto al suolo e con accelerazione $a$ costante. Una pallina viene lasciata cadere dal soffitto dell'aereo, che si trova ad altezza $d$ rispetto al pavimento. Dopo quanto tempo $T$ la pallina raggiunge il pavimento e in quale punto?
Ho ragionato così:
Ho scritto le equazioni orarie dell'aereo sull'asse x parallelo al pavimento e sull'asse y. I moti su entrambe le direzioni sono uniformemente accelerati, perché l'accelerazione è inclinata di un angolo $alfa$ rispetto al suolo:
$X_f=1/2(a*cosalfa)t^2$
$Y_f=1/2(a*sinalfa)t^2$
Ho sostituito a $Y_f$ $d$, e a $t$ $t_0$, che è il tempo che l'aereo impiega ad arrivare all'altezza $d$. Ricavo $t_0$
$t_0=sqrt[(2d)/(a*sinalfa)]
Poi ho pensato alla pallina: non appena verrà lasciata dall'aereo, continuerà ad avere la velocità orizzontale e la velocità verticale dell'aereo, per poi iniziare un moto rettilineo uniforme sull'asse x e uno uniformemente accelerato (con accelerazione di gravità) sull'asse y. Ho trovato la velocità $V_x$ e $V_y$ dell'areo al tempo $t_0$, cioè al tempo in cui si trova all'altezza $d$ e lascia cadere la pallina. $V_x$ e $V_y$ saranno anche le velocità che assumerà poi la pallina nell'istante iniziale del suo moto:
$V_x=(a*cosalfa)*sqrt[(2d)/(a*sinalfa)]=sqrt[(2da*cosalfa)/(sinalfa)]$
$V_y=(a*sinalfa)*sqrt[(2d)/(a*sinalfa)]=sqrt(2da*sinalfa)$
Ora, per trovare il tempo che la pallina impiega ad arrivare a terra ho sostituito all'equazione oraria:
$y_f=d+V_yT-1/2gT^2$
al posto di $y_f$ ho messo 0. Ottengo un'equazione di secondo grado ad incognita $T$:
$4,9T^2-sqrt(2da*sinalfa)T-d=0$
da cui l'unico $T$ accettabile è: $T=[sqrt(2da*sinalfa)+sqrt(2da*sinalfa+19,6d)]/9,8$
Poi, ho anche trovato il punto in cui cade, ma prima vorrei sapere da voi se questo ragionamento è giusto.
A me sembrano folli tutti questi calcoli..
Ho ragionato così:
Ho scritto le equazioni orarie dell'aereo sull'asse x parallelo al pavimento e sull'asse y. I moti su entrambe le direzioni sono uniformemente accelerati, perché l'accelerazione è inclinata di un angolo $alfa$ rispetto al suolo:
$X_f=1/2(a*cosalfa)t^2$
$Y_f=1/2(a*sinalfa)t^2$
Ho sostituito a $Y_f$ $d$, e a $t$ $t_0$, che è il tempo che l'aereo impiega ad arrivare all'altezza $d$. Ricavo $t_0$
$t_0=sqrt[(2d)/(a*sinalfa)]
Poi ho pensato alla pallina: non appena verrà lasciata dall'aereo, continuerà ad avere la velocità orizzontale e la velocità verticale dell'aereo, per poi iniziare un moto rettilineo uniforme sull'asse x e uno uniformemente accelerato (con accelerazione di gravità) sull'asse y. Ho trovato la velocità $V_x$ e $V_y$ dell'areo al tempo $t_0$, cioè al tempo in cui si trova all'altezza $d$ e lascia cadere la pallina. $V_x$ e $V_y$ saranno anche le velocità che assumerà poi la pallina nell'istante iniziale del suo moto:
$V_x=(a*cosalfa)*sqrt[(2d)/(a*sinalfa)]=sqrt[(2da*cosalfa)/(sinalfa)]$
$V_y=(a*sinalfa)*sqrt[(2d)/(a*sinalfa)]=sqrt(2da*sinalfa)$
Ora, per trovare il tempo che la pallina impiega ad arrivare a terra ho sostituito all'equazione oraria:
$y_f=d+V_yT-1/2gT^2$
al posto di $y_f$ ho messo 0. Ottengo un'equazione di secondo grado ad incognita $T$:
$4,9T^2-sqrt(2da*sinalfa)T-d=0$
da cui l'unico $T$ accettabile è: $T=[sqrt(2da*sinalfa)+sqrt(2da*sinalfa+19,6d)]/9,8$
Poi, ho anche trovato il punto in cui cade, ma prima vorrei sapere da voi se questo ragionamento è giusto.
A me sembrano folli tutti questi calcoli..
Risposte
$V_x=sqrt[(2da*cos^2alfa)/(sinalfa)]$
e
$T=[sqrt(2da*sinalfa)+sqrt(2da*sinalfa+19,6d)]/(9,8)$
e
$T=[sqrt(2da*sinalfa)+sqrt(2da*sinalfa+19,6d)]/(9,8)$
Nessuna idea? 
La pallina viene lasciata cadere all'inizio?
Francesco Daddi
Francesco Daddi
Se è così non ci sono particolari problemi, visto che la pallina descrive un segmento (rispetto ad
un osservatore esterno, ovviamente).
La lunghezza di questo segmento è uguale a $s = frac{d}{cos alpha}$
($d$ è l'altezza del soffitto nell'aereo);
il tempo che impiega ad arrivare sul pavimento dell'aereo è pari a:
$bar t = sqrt{frac{2s}{g}}$.
Vediamo ora il punto di impatto con il suolo:
la pallina, con l'aereo immobile inclinato con angolo $alpha$, cadrebbe a
$d cdot tan alpha$
dalla sua proiezione ortogonale sul pavimento;
ma, visto che c'è accelerazione, mentre la pallina cade l'aereo ha percorso
un tratto lungo
$frac{1}{2} a bar t ^2 = frac{1}{2} cdot a cdot frac{2s}{g} = frac{a cdot s}{g}$.
Mettendo tutto assieme si trova che la pallina cade a
$d cdot tan alpha + frac{a cdot s}{g} = d cdot tan alpha + frac{a cdot d}{g cdot cos alpha}$
dalla sua proiezione sul pavimento.
La soluzione si può semplificare così:
$frac{d}{cos alpha} cdot (sin alpha +frac{a}{g})$
Se metti $alpha = 0$ trovi il risultato aspettato: è il caso dell'autobus che accelera..
Spero di non aver fatto errori di calcolo!
Francesco Daddi
un osservatore esterno, ovviamente).
La lunghezza di questo segmento è uguale a $s = frac{d}{cos alpha}$
($d$ è l'altezza del soffitto nell'aereo);
il tempo che impiega ad arrivare sul pavimento dell'aereo è pari a:
$bar t = sqrt{frac{2s}{g}}$.
Vediamo ora il punto di impatto con il suolo:
la pallina, con l'aereo immobile inclinato con angolo $alpha$, cadrebbe a
$d cdot tan alpha$
dalla sua proiezione ortogonale sul pavimento;
ma, visto che c'è accelerazione, mentre la pallina cade l'aereo ha percorso
un tratto lungo
$frac{1}{2} a bar t ^2 = frac{1}{2} cdot a cdot frac{2s}{g} = frac{a cdot s}{g}$.
Mettendo tutto assieme si trova che la pallina cade a
$d cdot tan alpha + frac{a cdot s}{g} = d cdot tan alpha + frac{a cdot d}{g cdot cos alpha}$
dalla sua proiezione sul pavimento.
La soluzione si può semplificare così:
$frac{d}{cos alpha} cdot (sin alpha +frac{a}{g})$
Se metti $alpha = 0$ trovi il risultato aspettato: è il caso dell'autobus che accelera..
Spero di non aver fatto errori di calcolo!
Francesco Daddi
La pallina non viene fatta cadere all'inizio. Essa viene fatta cadere dopo che l'areo è arrivato a quota $d$
No, nel tuo testo c'è scritto che $d$ è la distanza tra il soffitto e il pavimento dell'aereo.
Francesco Daddi
Francesco Daddi
io ho ragionato cosi:
arriviamo a vedere la pallina lasciata dall'aereo dopo $t=sqrt(2d/a sinalpha)$
la pallina ha due componenti della velocità:
$v_x=sqrt(2ad/sinalpha)cosalpha$ e $v_y=sqrt(2ad sinalpha)$.fin qui no problem.
ora bisogna studiare il moto verticale della pallina;lo suddivido in due parti:la salita e la discesa (quello orizzontale non influisce sul tempo di discesa, che è cio che sto calcolando con questo post).
1) quando sale, percorre un tratto $x$ prima di fermarsi, che ricaviamo dalla conservazione dell'en.meccanica:
$mgd+1/2mv_y^2=mg(d+x)$ da cui $x=v_y^2/2g$. adesso si ha l'equazione del moto in salita
$x=v_yt-1/2gt^2$. sostituendo $x$ si ricava $t$.
2)ora è un moto dii caduta libera
$d+x=1/2gt_1^2$ e si ricava $t_1$. adesso il tempo totale che impiega la pallina per toccare il suolo sarà:
$T=sqrt(2d/a sinalpha)+t+t_1$.
per quanto riguarda la gittata, considerazioni analoghe, considerando anche v_x, dovrebbero condurre agilmente al risultato (ancora non l'ho fatto).
@elios
erano una quantità allucinante di conti, però la fisica è molto spesso cosi...
chiedete se emergono errori o dubbi
arriviamo a vedere la pallina lasciata dall'aereo dopo $t=sqrt(2d/a sinalpha)$
la pallina ha due componenti della velocità:
$v_x=sqrt(2ad/sinalpha)cosalpha$ e $v_y=sqrt(2ad sinalpha)$.fin qui no problem.
ora bisogna studiare il moto verticale della pallina;lo suddivido in due parti:la salita e la discesa (quello orizzontale non influisce sul tempo di discesa, che è cio che sto calcolando con questo post).
1) quando sale, percorre un tratto $x$ prima di fermarsi, che ricaviamo dalla conservazione dell'en.meccanica:
$mgd+1/2mv_y^2=mg(d+x)$ da cui $x=v_y^2/2g$. adesso si ha l'equazione del moto in salita
$x=v_yt-1/2gt^2$. sostituendo $x$ si ricava $t$.
2)ora è un moto dii caduta libera
$d+x=1/2gt_1^2$ e si ricava $t_1$. adesso il tempo totale che impiega la pallina per toccare il suolo sarà:
$T=sqrt(2d/a sinalpha)+t+t_1$.
per quanto riguarda la gittata, considerazioni analoghe, considerando anche v_x, dovrebbero condurre agilmente al risultato (ancora non l'ho fatto).
@elios
erano una quantità allucinante di conti, però la fisica è molto spesso cosi...
chiedete se emergono errori o dubbi
Come puoi sostituire $x$?
$x$ viene dalla conservazione dell'energia meccanica, e si sostituisce nell'equazione del moto
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