Cinematica
ciao...ho problemi con questo problema che mi hanno passato:
Durante una partita di calcio un giocatore calcia la palla, ferma a terra, esattamente sui piedi di un compagno di squadra che si trova fermo a distanza d. Dalla ripresa filmata del passaggio si rileva che la palla é stata calciata con un angolo (alfa) rispetto l'orizzontale e che é rimasta in contatto con il piede per un tratto di lunghezza s.
Trascurando qualsiasi forma di attrito calcolare la velocità iniziale V0 della palla e la durata del passaggio sapendo che d=50m e che alfa= 30°;
come calcolo V0?
grazie a tutti ciao!
Durante una partita di calcio un giocatore calcia la palla, ferma a terra, esattamente sui piedi di un compagno di squadra che si trova fermo a distanza d. Dalla ripresa filmata del passaggio si rileva che la palla é stata calciata con un angolo (alfa) rispetto l'orizzontale e che é rimasta in contatto con il piede per un tratto di lunghezza s.
Trascurando qualsiasi forma di attrito calcolare la velocità iniziale V0 della palla e la durata del passaggio sapendo che d=50m e che alfa= 30°;
come calcolo V0?
grazie a tutti ciao!
Risposte
prendiamo un sistema di riferimento dove l'origine $O=(0,0)$ è il punto dove la palla parte mentre il compagno di squadra è in $P(50,0)$.
ragioniamo sulla traettoria... la traettoria sarà una parabola passante per i punti $O$ e $P$ e con concavità verso il basso.. ovviamente vi sono infinite parabole di questo tipo. però è unica quella che nell'origine ha inclinazione di 30° (ovvero la derivata nell'origine vale $tan(pi/6) = 1/sqrt3$).
Quindi prendiamo la generica parabola passante per l'origine $y=ax^2+bx$. facciamola passare per il punto $P=(50,0)$ ed otteniamo la relazione $2500a + 50b = 0$. ora prendiamo la derivata della parabola $y=ax^2+bx$ che è $y' = ax + b$ e imponiamo che in $O=(0,0)$ la derivata valga $1/sqrt3$. usando queste relazioni troviamo che la parabola della traettoria è la seguente $y = -0.01154x^2+0.5773x$. ora sappiamo che il punto di massima elevazione lo raggiunge nel punto medio del volo e quindi al punto $Q=(25,y_Q)$. per ricavare $y_Q$ sostituiamo 25m nella equazione ed otteniamo che la quota è pari a $7.22 m$. la componente verticale della velocità iniziale quindi si calcola con il teorema di conservazione di energia meccanica dove $mgy_Q = (1/2)m(v_y)^2$ e si trova che $v_y = 11.9 m/s$. a questo punto guardando la figura si vede che $v_0 = (v_y)/sin30 = 23.72 m/s = 85 (km)/h$
ragioniamo sulla traettoria... la traettoria sarà una parabola passante per i punti $O$ e $P$ e con concavità verso il basso.. ovviamente vi sono infinite parabole di questo tipo. però è unica quella che nell'origine ha inclinazione di 30° (ovvero la derivata nell'origine vale $tan(pi/6) = 1/sqrt3$).
Quindi prendiamo la generica parabola passante per l'origine $y=ax^2+bx$. facciamola passare per il punto $P=(50,0)$ ed otteniamo la relazione $2500a + 50b = 0$. ora prendiamo la derivata della parabola $y=ax^2+bx$ che è $y' = ax + b$ e imponiamo che in $O=(0,0)$ la derivata valga $1/sqrt3$. usando queste relazioni troviamo che la parabola della traettoria è la seguente $y = -0.01154x^2+0.5773x$. ora sappiamo che il punto di massima elevazione lo raggiunge nel punto medio del volo e quindi al punto $Q=(25,y_Q)$. per ricavare $y_Q$ sostituiamo 25m nella equazione ed otteniamo che la quota è pari a $7.22 m$. la componente verticale della velocità iniziale quindi si calcola con il teorema di conservazione di energia meccanica dove $mgy_Q = (1/2)m(v_y)^2$ e si trova che $v_y = 11.9 m/s$. a questo punto guardando la figura si vede che $v_0 = (v_y)/sin30 = 23.72 m/s = 85 (km)/h$
"giacor86":
...ora prendiamo la derivata della parabola $y=ax^2+bx$ che è $y' = ax + b$ ...
grazie mille giacor86!pero la derivata di $y=ax^2+bx$ nn è $y' = 2ax + b$??
Sì, penso abbia fatto un errore di battitura...
scusate ancora una cosa...come impongo che la derivata in $(0,0)$ valga $1/(sqrt3)$??e se avessi usato $R=(v_0^2sin2alpha)/g$??dove R e la gittata??
e se volessi calcolare ancora:
a) l'energia cinetica della palla sapendo che la sua massa é di m= 420g;
b) l'altezza massima raggiunta dalla palla e la sua energia cinetica in quel punto;
c) la forza media con cui la palla é stata calciata sapendo che s=5 cm.
come potre fare? per il punto b una mezza idea c e l ho...per a e c nn so... $E_c=1/2mv^2$ ma che velocita devo considerare nel punto a?
e se volessi calcolare ancora:
a) l'energia cinetica della palla sapendo che la sua massa é di m= 420g;
b) l'altezza massima raggiunta dalla palla e la sua energia cinetica in quel punto;
c) la forza media con cui la palla é stata calciata sapendo che s=5 cm.
come potre fare? per il punto b una mezza idea c e l ho...per a e c nn so... $E_c=1/2mv^2$ ma che velocita devo considerare nel punto a?
"richard84":
scusate ancora una cosa...come impongo che la derivata in $(0,0)$ valga $1/(sqrt3)$??e se avessi usato $R=(v_0^2sin2alpha)/g$??dove R e la gittata??
e se volessi calcolare ancora:
a) l'energia cinetica della palla sapendo che la sua massa é di m= 420g;
b) l'altezza massima raggiunta dalla palla e la sua energia cinetica in quel punto;
c) la forza media con cui la palla é stata calciata sapendo che s=5 cm.
come potre fare? per il punto b una mezza idea c e l ho...per a e c nn so... $E_c=1/2mv^2$ ma che velocita devo considerare nel punto a?
Applicando la formula $R=(v_0^2sin2alpha)/g$ basta solo isolarsi $v_0$ quindi $v_0=sqrt(((R*g)/(sin2alpha)))=sqrt(((50*9.81*2)/sqrt3))=23.8 m/s$ (valore che coincide con quello calcolato da giacor86
)a) Hai detto bene che non si sa in quale punto va calcolata l'energia (probabilmente nel punto di impatto col suolo o di arrivo, tanto è uguale) quindi $E=(m*v^2)/2=(0.420*23.72^2)/2=119 j$
b) In parte te l'ha risolto giacor86, devi solo svolgere qualche calcolo
c) La velocità $v_0$ è passata da 0 a 23.8 in $0.05 m$ quindi $a=v^2/(2s)=23.8^2/(2*0.05)=5664.4 m/s^2$ adesso completa tu l'ultimo passaggio
grazie a tutti....cmq il modo proposto da giacor e meno immediato rispetto alla formuletta pero mi piace un sacco!!almeno si ragiona un po di piu!!Ciao...
il fatto è che a me la formula della gittata proprio non riesce di ficcarmela in testa 
ti ripeto per me e fighissimo il tuo ragionamento!!
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